孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.5 霍尔系数和磁致电阻效应

1、5.5 霍尔系数和磁致电阻效应霍尔系数和磁致电阻效应本节主要内容：本节主要内容：一、一、霍尔系数和磁致电阻霍尔系数和磁致电阻 二、二、双能带模型双能带模型-霍尔效应和磁致电阻霍尔效应和磁致电阻 一、一、霍尔系数和磁致电阻霍尔系数和磁致电阻 这一节我们从玻尔兹曼方程出发，再次讨论这一节我们从玻尔兹曼方程出发，再次讨论这一问题这一问题5.5 霍尔系数和磁致电阻霍尔系数和磁致电阻效应效应 第一章，我们在单电子的准经典第一章，我们在单电子的准经典动力学方程动力学方程的基础上，讨论了自由电子在的基础上，讨论了自由电子在电场和磁场电场和磁场联合联合作用下的行为作用下的行为-霍尔效应和磁致电阻效应霍尔效应和

2、磁致电阻效应 设样品上加有设样品上加有电场电场e和和磁场磁场(磁感应强度磁感应强度b)，没有温度梯度，没有温度梯度，则相应的则相应的玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程为：为：011()kfffeeevbkk0001()()kkffffee vfee v仅有电场时的仅有电场时的玻尔兹曼方程为玻尔兹曼方程为: : 假设同时加有电场和磁场时：假设同时加有电场和磁场时：001()kffefdevdk011()kfffeeevbkkd为待定矢量假定讨论的是自由电子，则：假定讨论的是自由电子，则：*km vk*01()kffemd所以：*kkvm*01ffemdk将将 代入代入玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 11ffk和

3、000kfffvkk 000*1()kkkfffeeeve v dvb edm得：*()kkkev ev dvb dm整理得：*()()kkkkevv dveb dvmedb dm*()eedb dm所以有：134kejf v dk我们已知稳态电流密度：203d()d4kkkfesjv v dv 整理得：01()kffevd把代入上式： 所以积分的贡献主要来自所以积分的贡献主要来自 = f附近，这样附近，这样上述积分简化为在费米面上述积分简化为在费米面sf上的面积分。上的面积分。0f(),f f231d4kkfskv vejsdv f2031d4k kfskv vesv 是无外磁场时的电导率所

4、以：所以：0jd简写为：010相应的电阻率：*()eedb dm得：00jdj将：代入00*()eejb jm0*/00()jejejejb jjmjjj将等式两边同时点乘得：如果磁场垂直于电流方向，则横向如果磁场垂直于电流方向，则横向霍尔电场霍尔电场为：为： 上式和没有磁场时的情形一样，表明此时上式和没有磁场时的情形一样，表明此时磁场不改变样品的电阻，因而磁场不改变样品的电阻，因而磁电阻为零磁电阻为零。0*heebjm相应的霍尔系数为：相应的霍尔系数为：0*hheerbjm*0201mne对自由电子，由于：0*1hheerbjmne所以：这与前面得到的结果相同。这与前面得到的结果相同。/0e

5、j 即沿着电流即沿着电流j的方向的方向: 00*()eejb jm 霍尔角霍尔角 的正切函数定义为霍尔电场的正切函数定义为霍尔电场 与沿电流方向电场与沿电流方向电场 之比，即：之比，即：hhe/e/tanhhee00*/ebjjm *ebm *()eedb dmd对于这一关于 的矢量方程来说，可以证明它的解为：可以证明它的解为：*2 22 21()11ccemdeb e*2 22 21()11ccemdeb e将代入*()eedb dm中得：*2 2*2 22 22 211()()1111cccceemmeb eeeb eebm -2*2 2*2 22222()()11()111cccceem

6、mb eb eemebb e 2*222221()11ccemeb e 2222*22221111cceebbmmeee *cebm得证得证*2 22 21()11ccemdeb e*()eedb dm由和2 2*1()ced eb em亦即：可以画出它们之间的矢量图*()eb emed2 2cd*ebdm 上面上面,我们得到了磁场下电流密度和电场强度我们得到了磁场下电流密度和电场强度之间的关系之间的关系 ,从而表明金属的从而表明金属的磁电阻为零磁电阻为零./0ej上述结果和实验并不吻合上述结果和实验并不吻合. 实验上所有金属的实验上所有金属的磁电阻并不为零磁电阻并不为零,而是在磁而是在磁场下

7、都表现出电阻率的增加场下都表现出电阻率的增加.原因何在呢？原因何在呢？ 原因在于上述的讨论中原因在于上述的讨论中,实际上假定了所有实际上假定了所有电子都具有电子都具有相同的相同的漂移速度漂移速度,相同的相同的质量质量,相同的相同的弛豫时间弛豫时间.亦即忽略了能带结构的差异亦即忽略了能带结构的差异,把能带看把能带看成是一个成是一个各向同性的单带结构各向同性的单带结构,从而从而, 磁场中的磁场中的洛伦兹力洛伦兹力均被霍尔场引起的均被霍尔场引起的电场力电场力完全抵消完全抵消,结结果不引起电阻率的变化果不引起电阻率的变化. 一方面一方面,金属的金属的各向同性单带各向同性单带几乎不存在几乎不存在,因而因

8、而电子的速度电子的速度,有效质量等与方向和能带有关有效质量等与方向和能带有关.从而，从而，只有部分电子的运动满足只有部分电子的运动满足洛伦兹力与霍尔场引洛伦兹力与霍尔场引起的电场力平衡起的电场力平衡;实际上实际上,能带论告诉我们能带论告诉我们, ： 另一方面另一方面,电子的输运特性往往是由几个未满电子的输运特性往往是由几个未满能带决定的能带决定的.比如比如,假定有两个各向同性的未满能假定有两个各向同性的未满能带带,这样就有两组不同速度这样就有两组不同速度,不同有效质量的载流不同有效质量的载流子子.霍尔场取某一平均值霍尔场取某一平均值,则导致两种载流子所受则导致两种载流子所受到的洛伦兹力均未被霍

9、尔场引起的电场力完全到的洛伦兹力均未被霍尔场引起的电场力完全抵消抵消,结果引起电阻率的变化结果引起电阻率的变化. 即使是即使是简单的金属简单的金属,等能面也不是球形等能等能面也不是球形等能面面.因此电子的因此电子的速度速度,有效质量有效质量,弛豫时间弛豫时间都依赖都依赖于能带结构于能带结构.这样总的平均霍尔场不能平衡不同这样总的平均霍尔场不能平衡不同电子在磁场中的电子在磁场中的洛伦兹力洛伦兹力. 更更复杂的金属或半导体复杂的金属或半导体,输运性质往往由输运性质往往由几几个未满能带个未满能带决定决定,即使假定每个能带是各向同性即使假定每个能带是各向同性的的,也存在若干种不同的载流子也存在若干种不

10、同的载流子, 因而其磁致电因而其磁致电阻也不为零阻也不为零. 下面我们以下面我们以简单双能带模型简单双能带模型为例为例,讨论其霍尔讨论其霍尔效应和磁致电阻效应和磁致电阻二、二、双能带模型双能带模型霍尔效应和磁致电阻霍尔效应和磁致电阻121122jjjdd 对于有两个各向同性的未满能带的所谓双带对于有两个各向同性的未满能带的所谓双带模型模型,假定存在两种类型的载流子假定存在两种类型的载流子,每种载流子分每种载流子分别具有单一的有效质量别具有单一的有效质量 和和 ,平均平均弛豫时间弛豫时间分别为分别为 和和 ,此时总电流密度可写为：此时总电流密度可写为：*1m*2m12*22221()11iici

11、 ici iemdeb e 将代入得：121122jjjdd*101011110122221 11 1/()11ccemjdeb e *202022220222222 22 2/()11ccemjdeb e 12jjj所以：*102010112022222222221 12 21 12 2/()1111ccccememeb e *102010112022222222221 12 21 12 2/()1111ccccememjeb e 假定磁场沿假定磁场沿 z z 轴方向轴方向, ,电场在电场在x-yx-y平面内平面内. . 00yxxyzxyzbebbe xbe yeee 则：*1020101

12、12022222222221 12 21 12 21020101 1202 2222222221 12 21 12 2/11111111xxyccccccxyccccememjebeee *102010112022222222221 12 21 12 2101 1202 21020222222221 12 21 12 2/11111111yyxccccccxyccccememjebeee 1020101 1202 2222222221 12 21 12 21111ccxxyccccjee 101 1202 21020222222221 12 21 12 21111ccyxyccccjee 0/

13、yhyxjrebj按照霍尔系数的定义：要求，1 12 21;1cc 我们仅讨论低场情形，即：101 1202 21020222222221 12 21 12 201111ccyxyccccjee 令：1 12 21;1cc 且考虑到：101 1202 210200ccxyee 则：1020101 1202 2xyxcceej ，代入 表达式中得：1020101 1202 2xxccyjee 21020101 1202 2101 1202 2()()yccyccee 221020101 1202 2101 1202 2()()ccycce 21020101 1202 2()ycce 210201

14、01 1202 2()xyccje 101 1202 221020()yccxej *cebm*10 1120 2221020/()eb meb m *10 11202221020/()yxee me mbj 所以：2211221020*11222102011()n en emn emn e 2210120221020()hhrr2*iiiinem1hiirne -霍尔系数霍尔系数两种载流子如为电子和空穴，则两种载流子如为电子和空穴，则 有不同的符号。有不同的符号。12hhrr和0,yyxjee此外，令还可以得到：关于 的表达式。xjyx这样，将e 代入 表达式中,可得到j与e 的关系式。,x

15、xje令则系数 即为加磁场以后的电导率。01020001020()则定义为：磁电导1 12 21;1cc 在低场下：101 1202 21020222222221 12 21 12 21111ccyxyccccjee 2222101 1202 21 1102 220(1)(1)0yccxccyjee 101 1202 222221 1102 220(1)(1)ccyxccee 101 1202 222221 1102 220(1)(1)ccyxccee 将代入得：1020101 1202 2222222221 12 21 12 21111ccxxyccccjee 22221 1102 2201

16、01 1202 2(1)(1)ccxccyee 22222101 1202 21 1102 22022221 1102 220()(1)(1)(1)(1)ccxccxxccjee 2222221 1102 220101 1202 222221 1102 220(1)(1)()(1)(1)ccccxcce 2222221 1102 220101 1202 222221 1102 220(1)(1)()(1)(1)cccccc 所以：00010201按定义电导：磁22222210201 1102 220101 1202 2222210201 1102 220() ()()() ()cccccc 2

17、22222102010201 1102 220101 1202 2222210201 1102 220()2()() ()() ()cccccc 22 2222102010201 1102 220101 1202 22 222010201 1102 2201020()2()() ()1() () ()cccccc 22 2222102010201 1102 220101 1202 22 222010201 1102 2201020()2()() ()1() () ()cccccc 2222210201 1102 220101 1202 222222102010201 1102 220()() ()()()()cccccc 210201 12221020()()cc 210201 122201020()()cc 所以所以,对对两个各向同性的未满能带的所谓双带两个各向同性的未满能带的所谓双带模型的磁电导模型的磁电导为：为：可见可见,磁电导是小于零的磁电导是小于零的对于磁致电阻来说：对于磁致电阻来说：0( )(0)(0)b210201 122201020()0()cc 因为00 00001/1/1/所以：1由于：00000可见： 上述模型虽然简单上述模型虽然简单,但是得到的结果却给出但是得到的结果却给出了金