数值分析期末试题

1、数值分析期末试题-、填空题(2 X10=20分)1'15-21(1)设 A =-210'则 RL13oII II oO3_822x1-5 x 2=1"02.51(2)对于方程组丿,Jacobi迭代法的迭代矩阵是Bj = |10 x1- 4X2=32 .5° 一(3) 3 x *的相对误差约是 x *的相对误差的1倍。3(4)求方程x = f (x)根的牛顿迭代公式是Xn - f (xn ) X" - Xn _ i + f '皿)3(5)设 f(x)=x x -1，则差商 f0,1,2,3=1。(6 )设n xn矩阵G的特征值是 扎i,打,，

2、九n，则矩阵G的谱半径P(G ) = max打 i空(7)已知A =2 则条件数Cond (A 91 一(8)为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln(x_.x2_1)改写为 -ln( x(9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n 一 1次。1 3(10)拟合三点(xf ( x 1 )， ( x 2, f ( x2 ) ， ( x 3, f (x3 )的水平直线是 yf ( x i) o3 r2X1X2 十 X3=1二、(10分)证明：方程组+x2 +x3 =1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。严 +x2 2x3 =1证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为-00.5-0.5

3、 1B j =-10-1-0.50.50B j的特征多项式为1TT2det(打B J =1九 1=九血初.25)0.5 0.5 九Bj 的特征值为，=0 ,、2 = ,1.25 i ,- - 1.25 i，故"Bj ) »1.25 > 1，因而迭代法不收敛性。三、(10分)定义内积1(f , g)f ( x )g ( x )dx0试在H 1二Span U , x 中寻求对于f (x )二x的最佳平方逼近元素p(x) o解：0(x)=1 ,二(X)三 x ,(0, f )法方程解得c151dx = 1.x dx_2(亠0)=1xdx(,f )二 ° x x d

4、x11(1,1)二1x2dx?112o所求的最佳平方逼近元素为15412p(x)x ,0 空 x E11515四、(10分)给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解：y(x) = c0 亠 sx-1一 24-8 11一 11-1A =100011111248c2 x 2 c3 x 350100T010034A A =100340-0340130Ay = (2.9,4.2,7 ,14 .4)法方程TTA Ac = A y的解为 c° = 0.4086 ，c1 =0.39167，c2 =0.0857， c3 = 0.00833

5、得到三次多项式5y( x)二 0.40860.39167x 0.08572x 0.00833误差平方和为 二3 =0.000194五. (10分)依据如下函数值表x0124f (x)19233用它计算f (2.2)建立不超过三次的Lagrange插值多项式,，并在假设(4)(x)下，估计计算误差。解:先计算插值基函数 ( x)(x -1)( x -2)( x -4)(01 )( 02)( 04)1 ( x)(x -0)( x -2)( x -4)(1 0)(1 2)(1 4)2( x )(x - 0)( x -1 )( x - 4)(2 0)(2 1)(2 4)3( x )(x -0)( x

6、-1)( x -2)(4 0)(4 1)( 4 2)24丄X12所求Lagrange插值多项式为L3(x)八 f(Xi )li (x)二 l0(x)9l1 (x)23l2(x)3J(x)从而 f (2.2):L 3(2.2) = 25 .0683据误差公式(4)-_f ( ,、，R 3 ( X)(XXo)(XXt4!)(X - X 2)( X - x3 )及假设f(4)(x)得误差估计:R3(x)f仏)|(2.2 _ 0 )( 2 .2 _ 1)( 2 .2 _ 2 )( 2 .2 _ 4)4!10.95044!=0.03960 21 0241 0102001011243103171020 1

7、I211u22u23u24I31I321u33u34ISI 42I 431u44六. （10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组'I01109由矩阵乘法可求出uij和I ij12132101I314243112223243334u442 1解下三角方程组10 11 2 10 1 0有丫1=5 ，2=3 ，3=6，4=4。再解上三角方程组1 0 2 0 'xj5 11 0 1X232 1X36- 2 一宀一1 l4得原方程组的解为 x1 =1， x2七. （10分）试用Simpson公式计算积分e % dx的近似值，并估计截断误差解：(e61.54e1e 2 ) = 2.0263(

8、4)1 12二(-87x x366x24)e(4 )(4 )max f ( x) = f (1)=佃8 .431誉<截断误差为R25(21)<2880max1空空(4)f (x)=0.06890要求八 . （10分）用Newton法求方程x 一 in x = 2在区间（2,：）内的根,x k x k 18:<10 -。lxk解：此方程在区间（2,：）内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设f(x) = x - ln x 21f ''(x)f '( x) =1 -xNewton法迭代公式为x k In x k 2X k 1 = x k11 -XkXk(

9、1 ln Xk )，k = 0,1,2,x k - 1取 x0 =3，得 S x4 = 3.146193221九.(10分)给定数表x-1012f (x)10141615f '(x)10.1求次数不高于5的多项式H（x），使其满足条件H 5(Xj ) = f (Xj ), i =0,1,2, 3H5(Xi)=f(Xi),i=0,2其中 Xj = _1i , i = 0,1,2, 3。解：先建立满足条件P3(x) = f (Xi ) , i =0,1,2,3的三次插值多项式p3(x)。采用Newton插值多项式P3(x)=f(Xo)亠 f X 0 , X1 (x - Xo)亠 f Ix 0 , X 1 , X 2 ( X - Xo)(X-Xi) +f Ix 0 , X 1X2X3X X°)(X X1)(X X2)1=10 4 ( x 1 ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 619213=14 x xx6 6再设H 5(x) = p 3( x )(axb)( x 1)x(x -1)( x 2)，由H 5(1)= P3(1)+( +b