微点深化解析几何中的隐形圆问题

1、微点深化解析几何中的“隐形圆”问题高考中圆的方程是C级知识点，其重要性不言而喻但在一些题目中，条件没有 直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题 .【例1】（1）（2018南通、泰州调研）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（ 4, 0），B（0，4）,从直线AB上一点P向圆x2+ y2= 4引两条切线PC, PD，切点分 别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为.已知实数a，b，c满足a2 + b2 = c2，0,那么一牛的取值范围为.解析（1）法一（几何法）因为直线AB的方程为

2、y=x+ 4,所以可设P（a,a + 4）,设C(xi,屮)，D(x2, y2)，所以 PC 方程为 x1x+ yy=4, PD: x2x+y2y=4,将 P(a,ax1+( a + 4) y1= 4,a + 4)分别代入PC, PD方程，则直线CD的方程为ax+、ax2+( a + 4) y2 = 4,(a+ 4)y= 4,即a(x+ y) = 4 4y,所以直线CD过定点N( 1,1),又因为OM丄CD, 所以点M在以ON为直径的圆上（除去原点）,又因为以ON为直径的圆的方程为 x+ 2 2+ y 2 2 =1 所以AM的最大值为.4 +1 2 + 1彳+今=3 2.法二（参数法）因为直线

3、AB的方程为y=x + 4,所以可设P（a, a + 4）,同法一可4 4y知直线CD的方程为ax+ (a+4)y=4,即a(x+y)= 4 4y,得a=.又因为O,x+ yP, M三点共线，所以ay (a + 4)x= 0,得a=&.因为a=yx4 4y=层 x+y yx，所以点M的轨迹方程为、2 /、2x+1 + y 2 = 2（除去原点），所以AM的最大值为由已知得+ b = 1,设|=x , 2= y,贝U x2 + y2= 1 , bbc =丄a 2c a q x 2c- 2问题就转化为求单位圆上的点与点(2, 0)连线斜率的取值范围设直线的方程为y|-2k|J3=k(x 2

4、),即 kx y 2k= 0,由 d= r,得=1,解得 k= ±z_ ,所以所求斜率的取值范围为 -扌Vk2+(- 1) 23即汽勺取值范围为-f ,拧.答案(1)3 2一彳,-J【例2】(1)(2018南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，若直线y= k(x-3 3)上存在一点P,圆x2+ (y-1)2 = 1上存在一点Q,满足OP = 3OQ,贝U实数k 的最小值为.(2018南通一调)在平面直角坐标系xOy中，点A(1 , 0), B(4, 0).若直线x-y1+ m= 0上存在点P使得PA= PB，则实数m的取值范围是.解析(1)设点 P(x,y),由OP= 3OQ可得

5、 Q 3, 3 又点 Q在圆 x2 + (y1)2= 1 上, 可得 3 2+ 3- 1 2= 1,即 x2+ (y-3)2二9,所以点 P 既在圆 x2+ (y-3)2= 9 上, 又在直线y= k(x- 3 .3)上,即直线与圆有交点,所以圆心到直线距离I-3-33k|._ < 3,解得,3< k< 0.''1 + k2设 P(x, y)，由 PA= *PB，得(x- 1) 2+ y2 =1(x-4) 2 + y2，化简得 x2+ y2二4，问题等价于直线与圆有交点,即d=罟2，解得m -2忑,吋2.答案3 (2)-2 2, 2 2【例3】 在平面直角坐标

6、系xOy中，已知圆C: (x a)2+ (y-a+ 2)2= 1,点A(0, 2)，若圆C上存在点M，满足MA2+ MO2= 10,则实数a的取值范围是(2)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆M : (x a)2+ (y+ a 3)2= 1(a>0),点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为.解析(1)设点 M(x, y),由 A(0, 2), 0(0, 0)及 MA2+ MO2= 10,得 x2 + (y 2)2 2 2 2 2 2 2+ x + y = 10,整理得 x + (y 1) = 4,即点 M 在圆 E: x + (y 1)

7、= 4 上.若圆 C 上存在点M满足MA2 + MO2 = 10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以|2 1|< CEW 2+ 1,即 |2 1|w- .a2+( a 3) 2<2+ 1,整理得 K2a2 6a + 9< 9, 解得0Wa<3,即实数a的取值范围是0, 3.圆M的圆心M(a, 3 a)在直线x+ y= 3上，点O到直线x+ y 3= 0的距离3 2为它>2,所以ON>21 = 1圆M与圆N至多有一个公共点，则两圆内含或 内切(圆M在圆N内)，所以MN = K ON 1,所以ONA 2,即(ON)min>2,所以 OM 1>2,即卩

8、a2 + (3 a)2>9(a>0),解得 a>3.故 a 的最小值为 3.答案 (1)0, 3(2)3探究提高(1)如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下五个策略：策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；策略二：动点P对两定点A, B的张角是90°kPx kPB= 1或PA PB= 0)确定隐形 圆；策略三：两定点A, B,动点P满足PA PB=入确定隐形圆；策略四：两定点A, B,动点P满足FA2+ PB2是定值确定隐形圆；策略五：两定点A, B,动点P满足AP= X BP心0,存1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) “隐形圆”发掘

9、出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相 关知识点，例1、例2和例3分别从三个方面作了考查，一般解决思路可从 “代 数角度”或“几何角度”入手【训练】 若实数a, b, c成等差数列，点P(-1, 0)在动直线ax+ by+ c= 0 上的射影为点M，点N(3, 3),则线段MN长度的最大值为 .(2016 镇江模拟)已知集合 M = (x, y)X-3<y<x- 1 , N= P|PA> , 2PB,A(- 1, 0), B(1, 0)，则表示M n N的图形面积等于 .解析(1 )由题意，2b = a+ c,所以动直线的方程为2ax+ (a+ c)y+ 2c= 0,即a(2x+ y) + c(y+ 2) = 0,所以动直线 ax+ by + c= 0过定点 A(1, 2).设点 M(x, y),由2 2MP丄MA可求得点M的轨迹方程为圆Q: x + (y+ 1) = 2,故线段MN长度的最大值为QN+ r = 5+ 2.令 P(x, y)，所以(x+ 1)2+ y2>2(x- 1)2+ y2.所以 x2- 6x + y2+ 1< 0,所以(x-3)