大学2021年专业课线性代数考试试卷及答案

1、共页，第页共页，第页姓名：学号：学院：专业：年级：班级：密封线大学 2021年专业课线性代数考试试卷考试时间：试卷类型： a 题号一二三四五六七八九十成绩复 核签字得分登分签字说明：本试卷分四部分，共四大题，共100 分；答题要求：闭卷考生须知 : 1. 姓名、学号、系、专业、年级、班级必须写在密封线内指定位置。2. 答案必须用蓝、 黑色钢笔或圆珠笔写在试卷上，字迹要清晰， 卷面要整洁， 写在草稿纸上的一律无效。得分阅卷人一、填空题（共5 题，每题 2 分，共 10分）1、2211_; 2、_321321；3、设向量tt)1 , 1, 1(,)2, 1 ,1 (，则,2_；4、若 ax=b 有

2、无穷多个解，则ax=0 解的情况为 _；5、二次型312123222122462xxxxxxxq所对应的实对称矩阵为_。得分阅卷人二、判断题（共10题，每题 1 分，共 10 分）1、若一组向量包含零向量，则该向量组一定线性相关。（）2、线性方程组两个解的和仍是该方程组的解。（）3、若 n 阶方阵 a 与 b 相似，那么ebea.( ) 4、如果向量组n,21线性相关，则1可由n,32线性表示。（）共 4 页，第1 页共4 页，第2 页5、321321321987654321),(),(xxxxxxxxxf是三元二次型。 （）6、设 a为 n 阶方阵， 其秩nrar)(，那么任意r 个列向量就

3、是a 的列向量组的一个最大无关组。（）7、设 a为nm型的矩阵， b为sn型的矩阵，则)(),(min)(brarabr（）8、如果02a，那么0a( ) 9、设 a、b为 n 阶方阵，则22bababa（）10、设 a为 n 阶方阵，若a的某一行向量可以表成其余行向量的线性组合，则0a（）得分阅卷人三、计算题（共 6 题，每题 10 分，共 60 分）1、计算3111131111311113d2、设323513123a，证明 a可逆并求出1a。3、解线性方程组0424524132321321321xxxxxxxxx。得分阅卷人共 4 页，第3 页共4 页，第4 页线性代数（ a）课程考试试题

4、参考答案及评分标准开课单位：机电工程学院课程类别：公共课专业课基础课课程编号学分 / 学时3/3 试卷a卷b卷出题教师考试方式闭卷开卷其他专业 / 年级修读方式必修选修一、填空题（共5 题，每题2 分，共 10 分）1、0； 2、14； 3、8； 4、有非零解； 5、211160104。二、判断题（共10 题，每题1 分，共 10 分）1-5 6-10 三、计算题（共6 题，每题10 分，共 60 分）1、解：分分1048200002000020111165311113111131111163116131611361116d2、解：分分82102110021101023326700121021

5、100211010292270035101200011410021903101200011410001123100323010513001123),(ea由era可知， a 可逆，其逆阵为210212112332671a10 分3、解：对线性方程组的增广矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩阵，可得1000210013125110021001312041245241312分a第三个方程为矛盾方程，因此所求的方程组无解。 10分4、解：设4321,构成矩阵),(4321a对 a施以初等行变换ba00004460413166904460413141311221222832 5分可见2ar）（，即向

6、量组4321,的秩为 2。 8分由 b可知，21,为向量组的一个最大无关组。 10分5、解：对系数矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩阵，000000002271012301814404720472015117931181332111511a5 分r(a)=24 ，基础解系由两个线性无关的解构成，原方程组的同解方程组为0227023432431xxxxxx其中43, xx为自由未知量，取2413,cxcx得原线性方程组的通解为22112143211021012723ccccxxxx8 分所以原方程组的基础解系为1021,0127232110 分.6、解： a 的特征多项式为)7)(2(254

7、3ea所以 a 的特征值为7,2215 分当21时，解方程（a+2e）x=0，由0054145452ea得1541p是21的特征向量，它的所有特征向量为)0(111cpc；8 分当72时，解方程（a-7e） x=0，由001155447ea得,112p，所以属于72的所有特征向量是。不为零 ),(222cpc10 分四、证明题（共2 题，每题10 分，共 20 分）1、证明：设有数321,xxx使0332211xxx即有0)()()(133322211xxx得0)()()(332221131xxxxxx5 分因为321,线性无关，所以得000322131xxxxxx8 分这个齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为02110011101，由克莱姆法则知方程组仅有零解，即向量组321,线性无关。10 分2、证明：由题设知：11pap，222pap，故221121)(ppppa。用反证法，假设21pp