欧拉公式的证明和应用

1、数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一.序2.欧拉公式的证明31.1 极限法31.2 指数函数定义法 41.3 分离变量积分法41.4 复数幕级数展开法41.5 变上限积分法51.6 类比求导法7三. 欧拉公式的应用2.1 求高阶导数72.2 积分计算82.3 高阶线性齐次微分方程的通解 92.4 求函数级数展开式92.5 三角级数求和函数102.6 傅里叶级数的复数形式10四. 结语 11参考文献11欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一1，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。ix丄“本文关注的欧拉公式 e二cos x t sin x，在复数域中它把指数函数联系在一起。特别当 x二时,欧拉

2、公式便写成了 二7 =0，这个等式将最富有特色的五个数。丄巳二绝妙的联系在一起，“ 1是实数的基本单位，i是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位， 都具有代表性。i源于代数，二源于几何，e源于分析，e与二在超越数之中独具特色。这五个 数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。” 2公式e" - 1-0成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特 性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教 育质量具有重要意义。二.欧拉公式的证明欧拉公式elx = cosx i sinx

3、有广泛而重要的应用， 关于该公式的证明方法目前有如下六种:首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法2;另外从对数函数特征性质变量积分法；再者采用复数幕级数展开式法来验证x匹 J或 竺=ex出发3,利用微分方程分离 dx x dx3;再其次采用变上限积分法验证；用Lagrange中值定理的推论来证明3。1.1极限法当x =0时，欧拉公式显然成立;当 x=0时，考虑极限 lim (1 )n,( R,n N),nc方面，令tn "亠 则有IX另一方面，将lim (1%)nn厂 nix1化为三角式，得nix二e ；(1)由棣莫弗公式得

4、(心)nxxx()2cos(arctan(-)i sin(arctan(-)；nnn二1 (_)2 2cos(narctan()i sin(narctan(-),n ，nX、=lim e2nn ：:何1 弋)2 jmi1(n)xx”m cos(narctan)=cosim narctan)= cosx,lim sinn )：:(n arcta ng)= nsin lim n arctanC) = sin x ,精选资料，欢迎下载所以有lim(1 与nr：n二 cosx i sinx.由(1)、(2)两式得eix 二 cosxi sin x。1.2指数函数定义法因为对任何复数z=x iy,(x,

5、 y R)，复指数函数 ez =ex iy =ex(cos y i si ny)4所以，当复数z的实部x=0时，就得eiy = cos y is in y。1.3分离变量积分法设复数z =cosx isin x,（x：二R）,两边对x求导数，得= -sinx i cosx = i2 sinx i cosx 二 i(cosx i sin x) =iz， dx分离变量并对两边积分，1dz = idx , In z = ix c, 'z '取x =0，得z = cosx i sinx = 0,c = 0,故有In z =ix，即eix = cosx i sin x。1.4复数幕级数展

6、开法4xcosx =1( 1)2!4!x2n而！心3 R)， n£(2n)!24,L(ix)丄(ix)cosx =1-2!4!曲.(2n)!八空(x R) n凶(2n)!3 x sin x 二 x - 一 3!5U (_1)n 25!2n 1丄_ -(2n1)!n 2 2n 1寸(T)x / _ c、,(x R)， n£(2n1)!.3.5. 2n 1ix ixn '2IXisin x = ix(T)3!5!(2n +1)!=区1!.应.应3!2n 1+.* 十(IX)十5!(2n 1)!:（ix）2n 1爲亦，（X R）2 e =i .他 1! 2!n!八 a,(

7、x. R) n卫n!cosx isinxt 回2n 1 吃虫 n 卫(2n)! n(2n 1)!2n-n八空卅。n£ n!1.5变上限积分法考虑变上限积分 因为又因为1t1 2 1dty1dty=arctant | = arctany ,4ln2(y i)y21ln( -1)。再设 arcta ny =二由此得y = tanr，即(y i)2y2 1ln (-1)丄(丄)dt1 -2i t - i t -1= ；l n(t i)-l n(t-i)|0=-l n(y i)l n( y i) l n i l n( -i) 2ln (-1)sec2 二2 2ln(cos)-2isin jc

8、osv - sin v)I222ln(cos (-R 2isin(-j)cos(-j) i sin (-)i2ln(cos(_)i sin(_R)=i ln(cos( - v) i sin( -v)；ix = ln( cos x is in x),即有id n(cos(-R isi n(“),ixe cosx i sin x。1.6类比求导法构造辅助函数xef (x),为在Icosx +i sinxeix 禾口 cosx - isinx 可导，且cosx i sinxO，所以在区间1=(-二厂：)上，f (x)处处可导，且f (x)二2(cosx isin x)iex(cosx i sin x

9、) -ex(-sin x i sin x)ixe (i cosx-sin x+sinx-icosx)cos2x i sin 2x根据Lagrange微分中值定理的一个重要推论“如果函数f(x)在区间I上的导数恒为0 ,那么f(x)在区间I上是一个常数”，f(x)在区间|上是一个常数，即存在某个常数 C，使得-x三I =(-“，,-)，都有f(X)三 C；又因为f (0) =1，所以c = 1,从而f (x)三1，即ixe cosx i sin x。三.欧拉公式在高等数学的应用举例欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数 学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各

10、举一个例子来说明。2.1求高阶导数设 f (x)二 e“xcos4x,求f (n)(x)。3 4解：设 g(x)二e x sin4x,- - arctaw ,并记 F (x)二 f (x) ig (x)，3根据欧拉公式，有(-3 4i)xF (x) =ex(cos4x isinAxIreCxF(n)=(-3 4i)ne2 4i)x =(-5d )nen -3x (n '4x)i=(-5) e= (-5)nexcos(n ：4x) isin(n ：4x),分离其实部和虚部，即可得所求之结果f(n)=(_5)ne；xcos(4x_ narctanf)。22积分计算求不定积分：xe2x si

11、n 3xdx 禾口 xe2x cos3xdx。解：记 f (x) = xe2x cos 3xdx , g (x) = xe2x sin 3xdx，则f(x) ig(x)二 xe2xcos3xdx i xe2xsin 3xdx= xe2x(cos3x i sin 3x) dx1 xde(2 3i)x2 3i1 r(243i)x1(2 期)x ix ee c2 3i2 3i1 、，亠(2卞i)x1卞i)x丄亠二x e2 e c2 3i(2 3i)2_ 2 _3i x e(2 3i)x . 512i e(2 朴 c1316926 -39i (2 3i)x 5 12i(2s)x=x ee c16916

12、92xe3ix(26x 5) -(39x-12)i e c1692xe(26x 5) -(39x-12)i (cos3x isin 3x) c1692xe(26x 5)cosx (39x-12)sin 3x1692xe(12-39x)cosx (26x 5)sin 3x c169分离实部和虚部(上式中 c为任意复数，c和c2分别为其实部和虚部)2xxe2xecos3xdx (26x 5) cosx (39xT2)sin3x169e2xxe2xsin 3xdx(12 -39x) cosx (26x 5)sin 3x C2 。16922.3高阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程y(5)-12y

13、" 144y，=0的通解。解：因为原方程的特征方程为5322-12'144 =0,即即 ( 6)108 = 0 ,可知有一个实数特征根为'1 ，其余四个特征根由=66. 3i =12e 3，可求得另四个特征根为:2 =2.3e = .、3 3i,=2. 3e_ = _、3 _3i,.匸4 =2.3e 63 _3i, ,5 =2、3e 6 =3 3i,即两对共轭复根3 _3i和_ 3 _3i ,所以原方程组通解为:迈 x,_3xy =G(C2 cos3x + C3sin3x)(C4 cos3x + C5sin3x)。2.4求函数的级数展开式展开函数f(x) =e4x(4

14、cos3x 5sin3x)为麦克劳林级数。解：作辅助函数g,x) = e4x cos3x ,g2(x)二 e4xsin 3x ,4x 3xi (4 -3i) xG(x) =gdx) ig2(x) =e e、3并记：-arctan ，4则有G(x)的麦克劳林展开式；Hn1- n/ ：i5nnG(x) (4 3i)x(5e x)(cosnx 亠isinn、£)xn£n!nn!心 n!分离其实部和虚部，则有“(X)八：5n=0n!g2(x)八：5xn,n=0n!f (x) =4gi(x) 5g2(x)=所以n34cosn：£ 亠5sinn、冷x ,( : =arcta叮

15、)。2.5三角级数求和函数三角级数求和函数的问题是将函数展开为傅里叶级数的逆问题，对这类问题如不用欧拉公式, 一般比较难求解。n求三角级数 7sinnx在收敛域(_：,“)上的和函数s(x)。 経 n!n解：构造类似于给定三角级数在上收敛的三角级数<r3 cosnx ，7 n!并设其和函数为：(x)，即:3n： 1 3n -二(x) is(x) 八 一(cosnx i sin nx) 八 一enxi心 n!nd n!xixi n 3e3(cosx：i sinx)(3e ) e en卫n!= e3cosxcos(3sin x) +i sin(3sin x),煮 3n sin nx分离其实部

16、和虚部，从而可得所求之三角级数为，心 n!其在收敛域(-：,：)上的和函数为s(x) = e3cosxsi n(3si n x)。2.6傅里叶级数的复数形式若函数f (x)以2二为周期，在-二，二连续或至多有有限个第一类间断点，且-二，二上至多有有限个单调区间，则傅里叶级数为a0' (an cosnxbn sin nx)，2 n d其中傅里叶级数计算公式为anf (x) cosnxdx, n = 0,1,2,3/ ,Jl -n1 -bnf (x)s inn xdx, n=0,1,2,3,Jl -31在式中，若以(n)代替n，则有a = an, b_n = -bn。这里是傅里叶级数的实数

17、形式，但在某些场合，复数形式的傅里叶级数更好用一些，这就需要 利用欧拉公式进行转换了，因为1 / inx + -inx、 1 ( inx-inx、cosnx (e e ), sinnx (e -e ),2 2i所以有舒RnCOSnx+bnSin 心加 2(导)八(协",1 i记cnanbn,n二0一1,_2, _3,，则可得函数f (x)的傅里叶级数有如下的复数形式2 20_inxcne,n =-：其中系数计算公式为：1Cn =2佝-叫)1if (x)(cos nx - i s inn x)dx2 -1 ILinxf (x)e dx。2 二四结语经过这段时间的数学文化课学习，我逐渐了解到了数学的美妙之处，尽管有费尔马达定理，四色问 题，哥德巴赫猜想等许多我们无法求解的难题，但同样的也有许多如欧拉公式这种我们能证明并使 用的有趣数学问题。数学其实可以称作自然哲学，它反映了深刻的自然现象，是对自然，生活的一 种深入研究。能对这些伟大的研究有所了解，