安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学二教案：4.1.2圆的一般方程

1、学必求其心得，业必贵于专精长丰县实验高中20162017 学年第一学期高二年级数学( 文科 ) 集体备课教案项目内容课题4.1。2 圆的一般方程（1 课时）修 改 与创新教学目标1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2y2dxeyf=0 表示圆的条件 ,通过对方程x2y2dxeyf=0 表示圆的条件的探究 ,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2。能通过配方等手段 ,把圆的一般方程化为圆的标准方程 .能用待定系数法和轨迹法求圆的方程， 同时渗透数形结合、 化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质,激励学生创新， 勇于

2、探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.教学重、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化， 根据已知条件确定方程中的系数 d、e、f。教学难点： 对圆的一般方程的认识、 掌握和运用学必求其心得，业必贵于专精教学准备多媒体课件教学过程导入新课说出圆心为 (a,b), 半径为r 的圆的标准方程.学生练习：将以 c(a，b)为圆心，r 为半径的 圆 的 标 准 方 程 展 开 并 整 理 得x2+y22ax-2by+a2+b2r2=0.指出 :如果 d= 2a ，e=-2b，f=a2+b2r2，得到方程 x2+y2+dx+ey+f=0, 这说明圆的方程还可以表示成另外

3、一种非标准方程形式.能不能说方程 x2+y2+dx+ey+f=0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容,教师板书课题 :圆的一般方程。推进新课新知探究提出问题前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法 ?这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?给出式子x2+y2+dx+ey+f=0 ，请你利用配方法化成不含 x 和 y 的一次项的式子。学必求其心得，业必贵于专精 把 式 子 (x a）2 （ y b ）2=r2与x2+y2+dx+ey+f=0配方后的式子比较，得出 x2+y2+dx+ey+f=0表示圆的条件 .对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点 ?

4、讨论结果 :以前学习过直线 ,我们首先学习了直线方程的点斜式、 斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式。大家知道,我们认识一般的东西 ,总是从特殊入手 .如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式（点斜式、两点式、) 展开整理而得到的。我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开， 整理得到，也是从特殊到一般。把式子 x2+y2+dx+ey+f=0配方得 (x+2d）2+(y+2e)2=4422fed。（xa）2(yb)2=r2中，r0时表示圆，r=0 时表示点 (a,b) ， r0时不表示任何图形。因此式子 (x+2d）2+（y+2e)2=4422

5、fed.( ) 当 d2+e2-4f0时，表示以（ -2d,2e)为圆心 ,21fed422为半径的圆 ;学必求其心得，业必贵于专精（）当d2+e2-4f=0 时,方程只有实数解x=-2d， y=2e， 即只表示一个点（2d， 2e） ;( ）当d2+e2-4f0 时,方程没有实数解 ,因而它不表示任何图形。综上所述，方程 x2+y2+dx+ey+f=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+dx+ey+f=0的形式 ,但方程x2+y2+dx+ey+f=0表示的曲线不一定是圆 ,只有当 d2+e2-4f0 时， 它表示的曲线才是圆。因此 x2+y2+dx+ey+f=0表示圆的

6、充要条件是 d2+e2-4f0.我们把形如 x2+y2+dx+ey+f=0表示圆的方程称为圆的一般方程。圆的一般方程形式上的特点：x2和 y2的系数相同 ,不等于 0。没有 xy这样的二次项。圆的一般方程中有三个待定的系数d、e、f，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程 ,代数特征明显 ,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。学必求其心得，业必贵于专精应用示例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。(1)4x2+4y24x+12y+9=0;(2）4x2+4y24x+12y+11=0.解

7、：（ 1) 由4x2+4y24x+12y+9=0 ， 得d=-1,e=3,f=49，而 d2+e2-4f=1+99=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0 表示圆的方程，其圆心坐标为 (21,23),半径为21;（2)由 4x2+4y2-4x+12y+11=0，得d= 1,e=3,f=411，d2+e2-4f=1+911=10,所以方程 4x2+4y2-4x+12y+11=0 不表示圆的方程.点评：对于形如 ax2+by2+dx+ey+f=0的方程 判 断 其 方 程 是 否 表 示 圆 , 要 化 为x2+y2+dx+ey+f=0的形式，再利用条件d2+e2-4f 与 0 的大小

8、判断，不能直接套用.另外,直接配方也可以判断 .变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：（1)x2+y2-8x+6y=0；(2)x2+y2+2by=0.学必求其心得，业必贵于专精解:（1)把 x2+y28x+6y=0 配方，得（ x4)2(y+3)2=52，所以圆心坐标为（4，3）,半径为 5；（2)x2+y2+2by=0 配方，得 x2(y+b）2=b2，所以圆心坐标为 (0,-b)，半径为 |b|.例 2 求过三点 o(0，0)、m1(1，1)、m2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标。解 : 方 法 一 : 设 所 求 圆 的 方 程 为x2+y2+dx+ey+f=0 ，由 o、m1

9、、m2在圆上 ,则有.02024,02.0fedfedf解得 d= 8,e=6，f=0，故所求圆的方程为x2+y28x+6y=0,即(x4)2（y+3）2=52。 所以圆心坐标为（4， 3)，半径为 5。方法二：先求出 om1的中点 e（21,21)，m1m2的中点 f(25,23)，再写出 om1的垂直平分线pe 的直线方程y21=（x-21)，ab 的垂直平分线pf 的直线方程y-23=3（x-25), 学必求其心得，业必贵于专精联立得,93, 1yxyx得.3,4yx则点 p的坐标为（4,3),即为圆心。 op=5 为半径。方法三 :设所求圆的圆心坐标为p（a，b),根据圆的性质可得 o

10、p=|ap =bp,即 x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x4)2+(y2)2，解之得 p（4，3)，op=5 为半径。方法四：设所求圆的方程为(xa)2(yb）2=r2，因为 o（0,0)、a（1,1)、b（4，2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解。把它们的坐标代入上面的方程 ,可以得到关于 a、b、r的方程组 ,即.)2()4(,)1()1 (222222222rbarbarba解此方程组得.5, 3, 4rba所以所求圆的方程为 （x4）2(y+3)2=52，圆心坐标为 (4,-3), 半径为5.点评:请同学们比较 ,关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程.一般说来，如果由已

11、知条件容易求圆心的坐标、 半径或需要用圆心的坐标、 半径列方程的问题， 往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或学必求其心得，业必贵于专精半径都无直接关系 ,往往设圆的一般方程 .例 3 已知点 p（10，0） ，q 为圆 x2+y2=16上一动点 .当 q 在圆上运动时 ,求 pq 的中点m 的轨迹方程。活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论 ,教师适时点拨提示 ,本题可利用平面几何的知识，见中点作中线,利用中线定长可得方程 ,再就是利用求曲线方程的办法来求.图 1解法一 :如图 1，作 mn oq 交 x 轴于 n，则 n 为 op 的中点，即 n（5,0)。因为 mn=21|

12、oq|=2( 定长).所以所求点 m 的轨迹方程为 (x-5)2+y2=4。点评 :用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化 .但在许多问题中，动点满足的几何条件较为隐蔽复杂， 将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法 .转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动学必求其心得，业必贵于专精点 m 的运动情况，探求它是由什么样的点控制的。解法二 :设 m（x,y)为所求轨迹上任意一点q(x0，y0)。因 为m是pq的 中 点 , 所 以.2.102,20,2100000yyxxyyxx即()又因为q(x0，y

13、0)在圆 x2+y2=16 上，所以x02+y02=16.将（*）代入得（2x-10)2+（2y）2=16.故所求的轨迹方程为（ x-5）2+y2=4。点评：相关点法步骤：设被动点m（x,y)，主动点 q（x0,y0） 。 求 出 点m与 点q坐 标 间 的 关 系).,(),(002001yxfyyxfx( ）从( ) 中解出).,(),(2010yxgyyxgx( )将（）代入主动点q 的轨迹方程（已知曲线的方程 )，化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后学必求其心得，业必贵于专精要注意运用。变式训练已知线段 ab 的端点 b 的坐标是 (4,3） ，端点 a 在圆

14、(x+1）2+y2=4 上运动，求线段ab 的中点 m 的轨迹方程。解:设点 m 的坐标是 (x，y),点 a 的坐标是（ x0，y0)。由于点 b 的坐标是 (4，3）且 m 是线段 ab的 中 点， 所 以x=240 x,y=230y。于 是 有x0=2x-4，y0=2y-3。因为点 a 在圆 （x+1)2+y2=4 上运动 ,所以点 a的 坐 标 满 足 方 程 (x+1 ）2+y2=4, 即(x0+1)2+y02=4。把代入, 得（2x4+1）2+（2y-3)2=4，整理，得（ x-23)2+（y23）2=1.所以点 m 的轨迹是以 (23，23）为圆心，半径长为 1 的圆。知能训练课

15、本练习 1、2、3。拓展提升问 题 : 已 知 圆x2+y2-x8y+m=0与 直 线学必求其心得，业必贵于专精x+2y6=0 相交于 p、q 两点，定点 r(1,1 ）,若 pr qr,求实数m 的值。解:设 p（x1, y1） 、q(x2，y2)，由.062,0822yxmyxyx消去 y 得 5x2+4m-60=0。由题意 ,方程有两个不等的实数根，所以60-4m0,m15.由韦达定理.1254,02121mxxxx因 为pr qr ， 所 以kprkqr=-1. 所 以11112211?xyxy=1,即（ x11)（x2-1）+ （y1-1)（y21）=0，即x1x2- （ x1+x2

16、)+y1y2(y1+y2） +2=0. 因 为y1=3-21x,y2=322x, 所 以y1y2=（321x)(322x)=923（x1+x2） +421xx=9+421xx，y1+y2=6 ， 代 入 得45x1x2+5=0, 即45(54m-12)+5=0。所以 m=10,适合 m15。 所以实数 m 的值为10.课堂小结学必求其心得，业必贵于专精1 。 任 何 一 个 圆 的 方 程 都 可 以 写 成x2+y2+dx+ey+f=0的 形 式 , 但 方 程x2+y2+dx+ey+f=0表示的曲线不一定是圆，只有 d2+e24f0 时,方程表示圆心为（-2d,-2e)，半径为 r=21fed422的圆。2。求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式 :若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标 ,则宜用一般方程。3。要画出圆的图像 ,必须要知道圆心坐标和半径 ,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法。作业习题 4.1 a 组 1、6,b组 1、2、3.板书设计4.1。2 圆的一般方程圆的一般方程： x2+y2+dx+ey+f=0 例 1d2+e24f0变式例 2例 3变式学必求其心得，业必贵于专精教学反思这是一节介绍新知识的课， 而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程 .因此,在设计这节课时 ,力求“过程、结论并重 ;知识、能力