用叠加模式将数学史融入数学教学—以“一元二次方程求解”为例

1、用叠加模式将数学史融入数学教学以“一元二次方程求解”为例作者：朱大龙作者简介：朱大龙，南京师范大学教师教育学院(210024)原文出处：中学数学研究(南昌)2018年第20181期 第25-27页内容提要：现今，我国中学教材对于数学史以历史故事或历史题目为 主的“附加式”融入居多，而“重构式”这种高层次的融 入明显不足如若将它们结合起来，在“附加式”中融入“重构式”，必然会使教学更优化文章以一元二次方程求 解教学片断及分析为例，探讨“附加一重构”叠加模式的 运用.期刊名称：初中数学教与学复印期号：2018年06期数学史/附加式/重构式/叠加模式/ 一元二次方程/案例分析以hpm视角来进行数学教

2、材设计和课堂教学，日益受到教育界关注.近期在德国汉堡大学举行的第十三届国际数学教育大会中第25个硏究专题强调，要认识数学 史在数学课堂和教学中的作用1.根据汪晓勤教授的划分，数学史融入数学教学的方式主要可分为四种附加 式"、"复制式"、顺应式、重构式附加式"是指在教学中，介绍数学 故事，数学家图片或介绍数学符号、概念的来源的方法其可以使教学更加有趣、生 动，但过于浅显,不能挖出知识的内涵重构式"是指在教学中借鉴或重构知识的 发生,发展的历史,采用发生法逬行教学的方法2.其使教学顺乎知识的发展规律， 可以使学生再创造式的学习新知识，但重构难度大，

3、缺少直观性，易使课堂枯燥.现 今，我国中学教材对于数学史以历史故事或历史题目为主的"附加式"融入居多， 而对于从知识的历史源头，"重构式"这种高层次的融入，明显不足3.如若将它们 结合起来，在"附加式"中融入"重构式"，必然会使教学更优化本文以一元二次 方程求解教学片断及分析为例,探讨附加一重构叠加模式的运用.一、西方一元二次方程的解的发展史通过数学史的简单介绍,更方便读者体会以下教学的数学史融入的思路.一元二 次方程的例子最早出于公元前2000年前古巴比伦石板上，其大多标准形式为 x+y二c , xy=s.最初是

4、为了描述一块地其周长和面积的关系.当时的书记员已有了具亠环"体的解法,并注意到结果可以表示为但当时的古巴比伦人只承认一个正解,对 于负解和两个正解，由于不能理解其意义而选择忽略这类方程.而后到了中世纪，经 过几百年的发展,由婆罗摩给出的正根公式厂）,到花拉子米的几何证明解法,最加"亠j小终数学家婆什伽罗给出了标准求根公詁二、教学片段及分析1. 教学片断1由史引入，数形结合.师：在古巴比伦这个国家，当时很多人认为一块长方形的田的面积只与它的周 长有关；于是有一些商人就靠农民认知的错误来占农民的便宜，比如他们把4x6的 一块田来当成2x8的价格来买，当时的书记员想办法解决这个问

5、题4.师：长方形面积和什么有关？生（全体）：长和宽.师：正方形的面积呢？生（全体）：一边的长（也有人回答周长）.师：怎么能使面积由周长确定了呢？生1 :把它变成正方形.教学片断分析：“附加式"的情境设置,情境是知识赖以产生意义的背景,是 认知学习的来源，通过数学史设置情境,能让学生体会到原汁原味的数学文化.从相 对轻松的历史趣事上开始一节课的内容,在一节课的开始便能吸引学生的注意力； 让学生融入到历史情境中,激发学生探索发现的兴趣；但学生还不能一下子找出问 题的解决方法，教师要根据学生的认知规律和历史发展，设置问题，由浅入深、由 表及里，引导学生将现实的历史故事抽象成几何图形问题，再

6、将几何图形联系到一 元二次方程，自然而然地在数与形中发现求解方法.为重构搭建起数学史的桥梁.2. 教学片断2化长为方，由形得解师：长方形长y米，宽x米，长宽之差为2米，面积为15平方米,（在黑板 上画出图形），是否可以写出哪些方程？生 2 : y-x=2 r xy=15.生3 :可化成一元二次方程（x+2 ） -x=15.师：画出图1.根据图形怎么可以化长为方？生4 :可以用割补法（得到图2） 师：害!）补后的正方形面积怎么表示？生5:口师：用等式表示正方形面积和长方形面积的关系？生（全体）：师：仔细观察这个方程,有什么发现？生6 :可以用直接开方法解出x.生7:得出（x+2）x=15的解.教

7、学片断分析：承接附加式的情境进行重构.学生学习配方法解方程，最困 难的地方是如何设计教学,再现配方法的发现过程此教学片断通过设疑，问答的方 式,引导学生发现解法避免了传统教学直接给出方程,让学生探究如何解方程,这 种脱离历史和生活的教学方法.而是让学生在解决化长为方的历史问题中，偶然地得 出了方程的解.从而引发思考是如何得到的解，回头重视整个过程，发现一元二次方 程可以表示成长方形，进而通过割补得到一个完全平方公式，得出解.在数学史的发 展中，很多理论的发现恰恰是偶然的，而让学生经历这种偶然，从而进行思考总结 自己的这个偶然发现,恰恰是当今教学中需要的重构学习的一种方式.3. 教学片断3类比探

8、究，由形归数师：观察求解过程，有什么发现？是否有更简单的方法？（板书出过程，如下）.生8 :与原方程相比，等号两边加上了小正方形的面积，凑成了完全平方的形 式.师：是否可以得岀一般的求解方法.生9:首先将常数移到等式右边，然后等式两边各加上一次项系数一半的平方, 等式左边可化成完全平方，最后直接开平方求1出x.教学片断分析：反思重构过程，总结升华.最初的偶然的发现往往是不够完美的, 在经过最初发现的惊喜过后，要做的便是回顾、验证、分析、总结，进一步完善自 己的发现.在学生通过化长为方发现求方程的解，经过短暂的兴奋、喜悦之后，教师 通过引导,激发学生进一步思考、分析,对比之前求解的思路,让学生最

9、终发现简 便、一般的求解方法.三、叠加模式解析数学史融入数学教学是个综合的过程,需要发掘出丰富的数学史料,而后将其 融入教材，最后再由教师进行加工运用到教学中其中如何发掘更多史料，如何将数 学史融入教材需要数学史专家、数学教育专家、教材编写人员通过不断地探索，实 践来获得，这是一个漫长的过程.但让教师运用和加工现有的史料和教材，如上案例 中，使数学史附加一重构"叠加式融入教学中，可以找到一个普遍的教学设计步 骤（图3 ）.整理史料：在对某一个知识的讲解，你希望融入数学史时，你需要大量搜索与 它有关的历史资料,不能仅仅满足教材上提供的一些历史资料在材料的选取上需要 做到两点：（1）思考

10、你需要设置什么样的情境，哪些材料具有代表性适合放入情境 中.之后在相关历史材料中，提炼出符合要求的历史材料，为情境设置做准备.（2 ） 明确知识是如何产生发展的整理出一条主脉络"，为重构做准备.历史情境：以数学史料创设的情境,就是呈现给学生刺激性数学历史,引起学 生学习数学的兴趣，感受数学的文化，激起学生的好奇心、发现欲，产生认知冲突, 诱发质疑猜想，唤醒强烈的问题意识，从而使其发现和提出数学问题，解决数学问 题5.利用已整理好的史料，根据课程需要达到的效果，直接引用或适当改编史料， 设置一个有历史、有故事、有启发的情境为重构做准备.故事情境是为了文化的显性 表现；重构则是为了文化的

11、隐性再创造.重构再现：根据情境中产生的问题,引导学生按照整理史料环节所制定知识的 历史脉络（引导的方法可多样化，可通过启发、游戏、实践等方式）重构对于 这部分知识的发现过程.上述教学片断中,以通过对古巴比伦的卖田为情境,让学生 探讨化长为方的问题,通过教师的巧妙引导,让学生探究求解过程,实现重构.反思升华:在让学生重现了历史发展的过程后，一定要让学生自己总结在这一 过程中发现了什么，怎么发现的，有什么启发.从而发掘出其中的数学思想，体味数 学的文化，巩固新建构的认识.四、反思总结本节课主要通过附加式和重构式将数学史融入数学教学整体上看，从由数到形, 化长为方；到由形到数，解出方程；最后归纳总结

12、整个过程，再现了解一元二次方 程的历史发展过程，属于重构式.从局部看，利用数学史中的一个历史故事作为情境 设置，属于附加式.历史故事作为情境，可以让学生再次回到历史创造环境氛围中去, 仿佛身临其境.而后为了解决情境中的问题，教师通过设疑、提示，引导学生重回历 史发展之路，探索重构一元二次方程的解.数学史中包含着丰富的教学素材和思想养料，包含着不同时空，各个数学家的 探索精神和创新思维6,如果全然抛弃这些历史素材,数学课堂就变成了一个”模 仿作坊，学生学习到的只是单调的定理、公式，学到的只是一具数学的躯壳，是 没有灵魂的数学.自然，学生无法体会到历史中数学家的思维之妙，也不能感受多元 文化.附加一重构"叠加式融入数学史,这一模式,既有"附加让学生直观体会 到数学的历史、文化，又有"重构"让学生再创造式的探索发现知识，体会到数学 家们精妙的思想，感受数学的魅力.原文参考文献： 1徐斌艳.2016年相聚在第十三届国际数学教育大会j中学 数学月刊，2016, (6)： 1-3. 2汪晓勤数学史与