三角恒等变换的常用技

1、三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1 ”的代换）【知识链接 】1 sin2cos2tansec2tan2csc2cot24【巩固与应用 】1 若 x(3,5 )，则1sin x 可化为（）D22A 2sin( x)B 2 cos( x)C2cos( x)D 2sin( x)242424242已知 tan= 2 ，求值： 2sin 2sincoscos2.题型二：公式变形【知识链接 】tantan(1mtan

2、tan) tan() 【巩固与应用 】1化简： tan10otan 20otan 20o tan60 otan10otan60o .2 （ 1）已知 AB4 ,求证： (1tan A)(1tan B)2；（ 2）化简： (1tan1o )(1tan 2o ) L (1tan 44o )(1tan 45o ) .题型三：升次降次【知识链接 】2sin21 cos2， 2cos21cos2， cos2sin2cos2， 2sin cossin24sin33sinsin3， 4cos3cos33cos 上面公式正用降次，反用升次.【巩固与应用 】11若 23，则1cos() 的值是（）22A sin

3、B cosCsinD cos22222求值： cos4 sin4 883求值： sin220ocos2 50osin 20o cos50o 4（ 08 宁夏、海南理 7） 3osin 702cos2 10oA12B 22C 2D 325（ 07 陕西理4）已知 sin 5 5，则 sin4 cos4 的值为A 15B 35C1 5D3 56求函数 y sin xsin xcos x的单调区间。增5，减 kk, k3 , kk Z88887已知 cos(4 x)3 5 ， 1712x 74 ，求 sin 2x2sin 2x 的值。结果 281tanx758已知函数 f (x)2cosx sinx

4、3sin 2 x sin xcos x3（ 1）求：函数 f (x) 的最大值及最小值；（ 2）求：函数 f (x) 的最小正同期、单调递增区间；（ 3）该函数图像可由 y sin 2x 图像作怎样变化而得到。题型四：公式活用【知识链接 】公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用 】1求值： tan10o tan20otan 20o tan60otan60o tan10o12已知 为第三象限角 ,且445 ,那么sin2等于（ A）sin cos 9A2 23B223C2 3D 233 在 ABC 中，若 sin Asin BcosA cos B + sin AcosBcos A sin

5、 B2 ，则 ABC为 .等腰直角三角形4函数 ysin 2 x cos2 x2的最小正周期是（）C2A 4B 2C D 25 （ 06 全国理10）若 f (sin x)3cos2x ，则 f (cos x) 等于CA 3cos2xB 32sin 2xC3 cos2xD 32sin 2x6（ 07 浙江理12）已知 sincos1 ，且3的值是2，则 cos254题型五：弦切互化【知识链接 】能实现转化的公式有：tansin1cos2sin 2， tansin21cos2cos【巩固与应用 】1 求值： (tan5 o1o) sin20oo -2tan51cos202 求值：oosin 50

6、 (13 tan10 )113已知 tan(45o) 1 2，则cos2tan 211tan 2cos24求值：1o4cos10o tan105求证： sin2 x(1tan x 2)4cos2x .tanx 26若sin cos2 ，则tan1-42+tan题型六：辅助角变换【知识链接 】1辅助角公式：a sin xb cosxa2b2 sin( x) （其证明附后）2推论： sin xcos x2 sin( x) ；3sin xcos x2sin( x) ； sin x3cos x2sin( x ) ；463cosxsin x2 cos( x m) ； 3 cos xsin x 2cos(

7、 x m) ； cos x3sin x2cos(xm) 46333利用公式1tan xtan(x) 及 1tan xtan(x) 引入1tan x41tan x4【巩固与应用 】1 函数 y3sin(32x) cos2x 的最小值是（）A 31B 1C 3D 02把函数 ycos x3 sin x 的图像向左平移 m(m0) 个单位，所得的图像关于y 轴对称则 m的最小正值是（）A B3C 2D 56363函数 ysin2xcos2x 的最小正周期为sin2xcos2x4求函数 ysin x (sin x cos x) 的单调区间3当x2时，函数 f xsin x3 cosx 的值（ D ）2

8、A 最大值是 1，最小值是 -1B 最大值是 1 最小值是1 2C最大值是 2 最小值是 -2D最大值是 2 最小值是 -14与 y2sin xcos x 的周期、振幅都相同的函数是（A ）A y5 sin xB y2sin xC y3 cos xD y sin xcos x题型七：角的和差拆分变换【知识链接 】1原则：化未知为已知2拆分技巧：再如 103020如 2 ( )( ) ； ()() ， ()() ，424326 ( ) ( ) 等22223半角与倍角的相对性：如是 2的半角，同时也是倍角；【巩固与应用 】312，例已知 sin(2 ，sin，且 , )5132的倍角； 是 的半角

9、，同时也是的224，求的值,0sin 241（ 06 重庆理13）已知 ,( 3,) ，sin()3 ，sin()12 ，则 cos()4541342（ 08 天津理17）已知 cos(x)2， x3（ 1）求的 sin x 值；（2）求 sin 2x的2,41043值3（ 07 江苏理11）若 cos()1 ， cos()3 ，则 tantan554（ 08 山东理sin 43，则7的值是5）已知 cos()5sin()66A235B2 35C 45D455（ 08 上海春理6）化简： cos()sin(6)36（ 08 江苏理15）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 、，它

10、们的终边分别与单位圆相交于A 、 B 两点已知 A 、 B 的横坐标分别为2 10、25 5 （ 1）求 tan() 的值；（ 2）求2的值7已知 02, sin3 ， cos()4 ，则 sin55A 0B0 或 24C 24D242525258 sin 7ocos15o sin8o的值等于（）cos7osin15o sin8oA2 3B2 3C2 3D2 3229设 sin(2) 3sin , 则 tantan10 已知 tan2 ， tan41 , 那么 tan4的值是（B）54A 13 18B3 22C 13 22D31811已知, 是锐角， cos4 5 ， tan( )1 3 ，求

11、 cos的值。 cos 91050题型八：和积互化（不要求）【知识链接 】1积化和差公式2和差化积公式53和 sin xcosx 积 sin x cosx 互化 .【巩固与应用 】1 如果(0,) , sincos2 ，则 cos2为（）223B3C3D3A 22422已知 sincos13 ,(0,) 那么 tan的值是（）2A 33B 3C 33D 33化简： cos2 A+cos2 ( 2A)+cos2 ( 2A) 334已知 x 是第二象限角，且sin xcos xa （ a 1 ），求下列各式的值：（ 1） tan xcot x ；（2） 1sin x1cos x 1sin x1co

12、s x5已知 tan, tan是方程 x22 x40 的两根，求 cos2cos2的值sin2sin26已知三角形 ABC 中的三个内角A,B,C 满足 A C2B ，112 求 cos AC 的cos AcosCcosB2值。解法（ I ）：由题设条件 B60， AC12022 21122cos AcosC22 cos AcosCQcosAcosCcos602cos ACcos AC2cos(AC)cos(AC)22将 cos ACcos 601cos( AC )1222cos AC22 cos(AC)22由 cos( AC)2cos 2 AC124 3 cos2 AC2cos AC3202

13、2AC2)(22 cosAC3)0 Q 2 2 cosA C30AC2(2cos22cos222解法（ II ）：因为B60， AC1206设 ACA60 ， C 60 2则 A C 2故1111cos AcosC cos(60)cos(60)11coscos 1313123223cos2sin cos sin 4cos4sincos4222Qcos2cos 2 22 2cos 3203 cos B34 2 cos22cos4cos4(2 2 cos 3)(2cos 2)0cos2 (Q cos 3 )cos AC222222附录一起点公式的证明1两角和余弦公式的推导2两角和正弦公式的推导3半

14、角公式 tansin1cos的推导1 cossin24辅助角的推导及其推论a sin xbcos xa2b2 sin(x) ， tanb ； bcos xa sin xa 2b 2 cos(x) ， tana ab由 asin xbcosx 的系数 a,b 可得点 P(a,b) （一定要注意a 与 b 顺序），射线 OP （ O 为坐标原点）可作为某个角的终边，设为，于是有：tanb ， cosab2aa 2b2 cos， sinbb2ba2b2sinaa 2a2所以a sin xbcos xa2b2 (sin x coscosx sin)a2b 2 sin( x) 其中，叫做辅助角，它所在象

15、限取决于点P(a, b) 所在象限，它的一个函数值为：tanb a推论：sin xcos x2 sin( x) ； 3sin xcosx2sin( x6) ； sin x3 cos x2sin( x) ；43cosxsin x2 cos(x m ) ； 3cos xsin x2cos(x m) ； cosx3sin x2cos(x m) 463口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前6后35附录二些常用的结果1 (cossincos) 21sin272 sincos1tantan() ， sincostan1tan() sincos1tan4sincostan143 tan12， tan12cos2tansin 2tansin2附录三万能公式2tan 1tan2 2tan sin 2， cos2 ， tan21tan2 1tan2 2 221 tan21tan x31 ，求 sin2 x 的值1 已知tan x1附录四半角公式sin 1cos， cos 1 cos， tan 1cossin 1cos（符号由半角终边位置决定）222221cos 1cossin 附录五衍生二倍角公式cos2sin 2()2cos()sin() ，444sin 2cos2()cos2 () sin 2 ()2cos2 ()