《中考课件初中数学总复习资料》2020中考数学 专题练习：轴对称相关的几何综合题型（含答案）

1、2020中考数学 专题练习：轴对称相关的几何综合题型（含答案）典例探究例题1. 在abc中，ad是abc的角平分线（1）如图1，过c作cead交ba延长线于点e，若f为ce的中点，连结af， 求证：afad；（2）如图2，m为bc的中点，过m作mnad交ac于点n， 若ab=4， ac=7，求nc的长例题2. 在图-1至图-3中，点b是线段ac的中点，点d是线段ce的中点四边形bcgf和cdhn都是正方形ae的中点是m（1）如图-1，点e在ac的延长线上，点n与点g重合时，点m与点c重合，求证：fm = mh，fmmh；（2）将图-1中的ce绕点c顺时针旋转一个锐角，得到图-2，求证：fmh是

2、等腰直角三角形；（3）将图-2中的ce缩短到图-3的情况，fmh还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图-1ahc(m)debfg(n)g图-2ahcdebfnmahcde图-3bfgmn例题3. 在abc中，m是ac的中点，p是线段bm上的动点，将线段pa绕点p顺时针旋转得到线段pq（1）若且点p与点m重合（如图1），线段cq的延长线交射线bm于点d，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点p不与点b，m重合，线段cq的延长线与射线bm交于点d，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点p在线段bm上运动到某一位置（不与点b，m重合）时，能使得线段cq的延长线

3、与射线bm交于点d，且，请直接写出的范围题型精练1. 在四边形abde中，c是bd边的中点（1）如图(1)，若ac平分，=90°, 则线段ae、ab、de的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）图（1）（2）如图（2），ac平分， ec平分，若，则线段ab、bd、de、ae的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；图（2）（2）（2）（3）如图（3），bd = 8，ab=2，de=8，则线段ae长度的最大值是_（直接写出答案） 图（3）2. 在abc中，已知d为直线bc上一点，若.（1）当d为边bc上一点，并且cd=ca，时，则ab _ ac（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中

4、的条件“cd=ca”变为“cd=ab”，且的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若cd= ca =ab，请写出y与x的关系式及x的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果） 3. 在rtabc中，acb=90°，a=30°，bd是abc的角平分线， deab于点e（1）如图1，连接ec，求证：ebc是等边三角形；（2）点m是线段cd上的一点（不与点c，d重合），以bm为一边，在bm的下方作bmg=60°，mg交de延长线于点g请你在图2中画出完整图形，并直接写出md，dg与ad之间的数量关系；（3）如图3,点n是线

5、段ad上的一点，以bn为一边，在bn的下方作bng=60°，ng交de延长线于点g试探究nd，dg与ad数量之间的关系，并说明理由4. 已知正方形纸片abcd的边长为2操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点a落在边cd上的点p处（点p与c、d不重合），折痕为ef，折叠后ab边落在pq的位置，pq与bc交于点g探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；（2） 当点p位于cd中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？5. 直线cd经过的顶点c，ca=cbe、f分别是直线cd上两点，且（1）若直线cd经过的内部，且e、f在射线cd上，请解决下面两个问题

6、：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与应满足的关系是 ；（2） 如图3，若直线cd经过的外部，请探究ef、与be、af三条线段的数量关系，并给予证明abcefddabcefadfceb图1图2图36. 在正方形abcd中，对角线ac，bd交于点o，点p在线段bc上（不含点b），bpeacb，pe交bo于点e，过点b作bfpe，垂足为f，交ac于点g（1） 当点p与点c重合时（如图）求证：bogpoe；（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（3）把正方形abcd改为菱形，其他条件不变（如图），若acb=，求的值（用含的式子表示）7.

7、 在矩形中，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.（1）如图1，当点与点重合时，求的长；（2）如图2，当点在线段上时，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）连结，当以点e，f，h为顶点的三角形与aec相似时，求线段的长.8. 如图，四边形abcd是正方形，abe是等边三角形，m为对角线bd（不含b点）上任意一点，连结am、cm.（1） 当m点在何处时，amcm的值最小；（2）当m点在何处时，ambmcm的值最小，并说明理由；（3）当ambmcm的最小值为时，求正方形的边长.9. 在abc中，ab=ac，ad，ce分别平分bac和acb，且ad与ce交于点m点n在

8、射线ad上，且na=nc过点n作nfce于点g，且与ac交于点f，再过点f作fhce，且与ab交于点h(1) 如图1，当bac=60°时，点m，n，g重合请根据题目要求在图1中补全图形；连结ef，hm，则ef与hm的数量关系是_；(2) 如图2，当bac=120°时，求证：af=eh；(3) 当bac=36°时，我们称abc为“黄金三角形”，此时若eh=4，直接写出gm的长图1图2备用图10. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为正方形ad边上的一点（不与点a、点d重合）将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，

9、连接bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设ap为x，四边形efgp的面积为s，请直接写出s与x的函数关系式，并求出s的最小值 11. 如图1，在四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明12. 在rtabc中，acb=90°，abc=，点p在abc的内部(1) 如图1，ab=2ac

10、，pb=3，点m、n分别在ab、bc边上，则cos=_， pmn周长的最小值为_；(2) 如图2，若条件ab=2ac不变，而pa=，pb=，pc=1，求abc的面积；(3) 若pa=，pb=，pc=，且，直接写出apb的度数13. 如图1，在矩形abcd中，ab=2bc，m是ab的中点直接写出bmd与adm的倍数关系； （2）如图2，若四边形abcd是平行四边形， ab=2bc，m是ab的中点，过c作cead与ad所在直线交于点e若a为锐角，则bme与aem有怎样的倍数关系，并证明你的结论；当时，上述结论成立；当 时，上述结论不成立 图1 图214. 如图，在四边形abcd中，对角线ac、bd

11、相交于点o，直线mn经过点o，设锐角doc=，将doc以直线mn为对称轴翻折得到doc，直线a d、b c相交于点p（1）当四边形abcd是矩形时，如图1，请猜想a d、b c的数量关系以及apb与的大小关系；（2）当四边形abcd是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形abcd是等腰梯形时，如图3，apb与有怎样的等量关系？请证明15. 已知：在如图1所示的锐角三角形abc中，chab于点h，点b关于直线ch的对称点为d，ac边上一点e满足eda=a，直线de交直线ch于点f (1) 求证：bfac； (2) 若ac边的中点为m，求证：； (3) 当ab=bc时（如图2

12、），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与be相等的线段，并证明你的结论参考答案典例探究例1 证明：ad为abc的角平分线，（1）cead ，.ac=aef为ec的中点，afbc afad（2）延长ba与mn延长线于点e，过b作bfac交nm延长线于点f.amdcbnef354412，m为bc的中点bmcm在bfm和cnm中，bfmcnm（aas）bfcnmnad ，.aean，bebf 设cn=x，则bf=x， aeanaccn7x，beabae47x47xx 解得 x5.5 cn5.5例2 证明：四边形bcgf和cdhn都是正方形，图-1ahc(m)debfg(n)又点n与点g

13、重合，点m与点c重合，fb = bm = mg = md = dh，fbm =mdh = 90°fbm  mdhfm = mh fmb =dmh = 45°，fmh = 90°fmhm （2）证明：连接mb、md，如图2，设fm与ac交于点p图2ahcdebfgnmpb、d、m分别是ac、ce、ae的中点，mdbc，且md = bc = bf；mbcd，且mb=cd=dh四边形bcdm是平行四边形 cbm =cdm 又fbp =hdc，fbm =mdhfbm 

14、60;mdhfm = mh， ahcde图-3bfgmn且mfb =hmdfmh =fmdhmd =apmmfb =fbp = 90°fmh是等腰直角三角形 （3）是 例3 （1）；（2）连结pc、ad，易得pad=pcq=pqc，pad+pqd=，apq+adq=， 易得cdb=；(3) cdb=,pq=qd, pad=pcq=2cdb=,p不与m、b重合，badpadmad, 即， 题型精练1. （1） ae=ab+de ；（2）解：猜想：ae=ab+de+证明：在ae上取点f，使af=ab，连结cf

15、，在ae上取点g，使eg=ed，连结cgc是bd边的中点，cb=cd=ac平分，bac=facaf=ab，ac=ac，abcafc. cf=cb，bca=fca同理可证：cd=cg，dce=gce cb=cd，cg=cf，bca+dce=180°-120°=60°fca+gce=60°fcg=60°fgc是等边三角形fg=fc=ae=af+eg+fgae=ab+de+（3）2. （1）= （2）成立. 解法一： 解法二：如图，作，交于点. ，. （3）解：()当d在线段bc上时，()（取等号时b、d重合）. ()当d在cb的延长线上时，()（取

16、等号时b、d重合）()当d在bc的延长线上时，(). 3. （1）证明：在rtabc中，acb=90°，a=30°，, bc= bd平分abc，.da=db deab于点eae=be=bc=be. bce是等边三角形. adgcbme图2（2）结论：ad = dgdm （3）结论：ad = dgdn理由如下：延长bd至h，使得dhdn . 由（1）得da=db，deab于点e图31234567adgcbnehndh是等边三角形 nh=nd， ,.即.在dng和hnb中，dnghnb（asa）dg=hb. hb=hddb=ndad,dg= ndad. ad = dgnd.4.

17、 解：（1）与相似的三角形是 证明：四边形abcd是正方形，a=c=d=90°由折叠知 epq=a=90°1+3=90°，1+2=90°2=3 （2）设ed=x，则ae=，由折叠可知：ep=ae=点p是cd中点，dp=1d=90°，即解得 ， 与周长的比为43 121315. （1）= ； (2) +bca=180°； (3) 探究结论： ef=be+af. 证明：1+2+bca=180°, 2+3+cfa=180°.又bca=cfa，1=3. bec=cfa=,cb=ca,beccfa. be=cf , ec=a

18、f. ef=ec+cf=be+af. 6. 解：（1）证明：四边形abcd是正方形，p与c重合，ob=op ， boc=bog=90°。pfbg ，pfb=90°，gbo=90°bgo，epo=90°bgo。gbo=epo 。bogpoe（aas）。（2）。证明如下：如图，过p作pm/ac交bg于m，交bo于n，pne=boc=900， bpn=ocb。obc=ocb =450， nbp=npb。nb=np。mbn=900bmn， npe=900bmn，mbn=npe。bmnpen（asa）。bm=pe。bpe=acb，bpn=acb，bpf=mpf。p

19、fbm，bfp=mfp=900。又pf=pf， bpfmpf（asa）。bf=mf ，即bf=bm。bf=pe， 即。（3）如图，过p作pm/ac交bg于点m，交bo于点n，bpn=acb=，pne=boc=900。由（2）同理可得bf=bm， mbn=epn。 bnm=pne=900，bmnpen。在rtbnp中， ，即。7. 解：（1），.，.，.，（2）过点作，垂足为点.，.，.，（3）矩形abcd，. ，.当以点e，f，h为顶点的三角形与相似时，）若，. ，.)若，如图所示，记与交于点.，.， .，. .设，则，. .，. .综上所述，线段的长为或1. 8. 解：（1）当m点落在bd的

20、中点时，amcm的值最小.（2）如图，连接ce，当m点位于bd与ce的交点处时，ambmcm的值最小. 理由如下：m是正方形abcd对角线上一点am=cm又ab=bc,bm=bmabmcbmbam=bcm 又be=ba=bcbec=bcmbec=bam在ec上取一点n使得en=am,连结bn又eb=abbneabmebn=abm,bn=bm又ebn+nba=60°abm+nba=60°即nbm=60°bmn是等边三角形.bmmn. ambmcmenmncm. 根据“两点之间线段最短”，得enmncmec最短当m点位于bd与ce的交点处时，ambmcm的值最小，即等

21、于ec的长. （3）过e点作efbc交cb的延长线于febf90°60°30°设正方形的边长为x，则bfx，ef在rtefc中，ef2fc2ec2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为图19. 解：(1)补全图形见图1， ef与hm的数量关系是ef=hm ； (2)连接mf（如图2）. ad，ce分别平分bac和acb，且bac=120°，图2 1=2=60°，3=4. ab=ac， adbc. ngec， mdc =ngm =90°. 4+6=90°，5+6=90°.4=5.3=5. na=n

22、c，2=60°，anc是等边三角形.an=ac. 在afn和amc中， afnamc. af=am.amf是等边三角形.af=fm，7=60°.7=1.fmae.fhce，四边形fhem是平行四边形. eh=fm.af=eh. (3) gm的长为. 10. （1）证明： pe=be ， ebp=epb . 又eph=ebc=90°,abcdefghpq eph-epb=ebc-ebp . 即pbc=bph . 又adbc , apb=pbc . apb=bph . （2）phd的周长不变，为定值 8 证明：过b作bqph，垂足为q 由（1）知apb=bph 又 a

23、=bqp=90°，bp=bp abpqbp ap=qp, ab=bq 又 ab=bc bc = bq 又 c=bqh=90°，bh=bh bchbqh ch=qh phd的周长为： pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8（3） 配方得， ， 当x=2时，s有最小值611. （1）等腰三角形（2）判断出直角三角形证明：如图连结，取的中点，连结，是的中点，abcdfghe123，同理，-4分，是等边三角形，即是直角三角形12. 解：（1）=，pmn周长的最小值为 3 ； 图6 （2）分别将pab、pbc、pac沿直线ab、bc、ac翻折，点p的对称点分别是点d

24、、e、f，连接de、df，（如图6） 则pabdab，pcbecb，pacfac. ad=ap=af， bd=bp=be，ce=cp=cf. 由（1）知abc=30°，bac=60°，acb=90°， dbe=2abc=60°，daf=2bac=120°， fce=2acb=180°. dbe是等边三角形，点f、c、e共线. de=bd=bp=，ef=ce+cf=2cp=2. adf中，ad=af=，daf=120°， adf=afd=30°.df=ad =. . dfe=90°. ， .图7 . （3）

25、apb=150°. 说明：作bmde于m，andf于n.（如图7） 由（2）知dbe=，daf=. bd=be=，ad=af=， dbm=，dan=. 1=，3=. dm =，dn=. de=df=ef. 2=60°. apb=bda=1+2+3=150°.13. （1）bmd= 3 adm （2）联结cm，取ce的中点f，联结mf，交dc于nm是ab的中点，mfaebc，aem=1，2=4，ab=2bc，bm=bc，3=4. ceae，mfec，又f是ec的中点，me=mc，1=2. 1=2=3.bme =3aem. （3）当0°<a<120°时，结论成立；当时，结论不成立. 14. 解：（1） a d=b c，apb= （2） a d=b c