《中考课件初中数学总复习资料》专题05图形运动中的函数关系问题（解析版）

1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题五 图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由勾股定理产生

2、的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如图1，已知点a的坐标为(3, 4)，点b是x轴正半轴上的一个动点，设obx，aby，那么我们在直角三角形abh中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形oabc在坐标平面内如图2所示，ab5，点o沿直线ef翻折后，点o的对应点d落在ab边上，设adx，oey，那么在直角三角形aed中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数

3、值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单一般情况下，在求出面积s关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），s取得最大值或最小值【典例指引】类型一 【确定图形运动中的线段

4、的函数关系式及其最值】 【典例指引1】如图，在中，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为（1）试说明不论为何值时，总有；（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形为平行四边形；（3）当时，四边形的面积最大，最大值为【解析】【分析】（1）根据题意得到mqb=cab，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出bc，根据相似三角形的性质用x表示出qm、bm，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性

5、质计算即可【详解】解：（1），又，；（2）当时，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形；（3），即，解得，即，解得，则四边形的面积，当时，四边形的面积最大，最大值为【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键【举一反三】如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点（1）求线段的长；（2）如图2，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，写出关于的函数解析式，并求出的最小值；是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）

6、；（2）当时，有最小值，最小值；存在满足条件的的值为或【解析】【分析】由翻折可知：，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题证明，可得，由此即可解决问题有两种情形：如图中，当时如图中，当时，作于分别求解即可解决问题【详解】解：（1）如图1中，四边形是矩形，由翻折可知：，设，则在中，在中，则有：，（2）如图2中，在中，在中，当时，有最小值，最小值存在有两种情形：如图3-1中，当时，如图3-2中，当时，作于，由，可得，综上所述，满足条件的的值为或【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数

7、构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】 【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点和点，抛物线经过两点，并且与轴交于另一点.点为第四象限抛物线上一动点(不与点重合)，过点作轴，垂足为，交直线于点，连接.设点的横坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)当时，求出此时的值;(3)点在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2)当时，；(3)存在.时，的周长最小.【解析】【分析】(1)易求，根据待定系数法，即可得到答案；(2)过点作轴，垂足为，

8、易得：点，进而可知：，根据时，列出方程，即可求解；(3)易证：的周长=，可知：当最小，即时，的周长最小，进而可求出的周长最小时，m的值.【详解】(1)在中，当时，；当时，.把代入中， 得：，解得，抛物线的解析式是；(2)过点作轴，垂足为.，.点，当时，解得：(舍去)，.当时，；(3)存在.在抛物线中，当时，解得，点坐标为.，.设的周长为，则，的值不变，当最小，即时，的周长最小.当时， ，时，的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点e的坐标用未知数m表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.【举一反三】如图，直线y=x+分别与x轴、y轴交于b、c两点，点a在x

9、轴上，acb=90°，抛物线y=ax2+bx+经过a，b两点（1）求a、b两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点m是直线bc上方抛物线上的一点，过点m作mhbc于点h，作mdy轴交bc于点d，求dmh周长的最大值【答案】（1）（1，0）（2）y=x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得b、c坐标，在rtboc中由三角函数定义可求得ocb=60°，则在rtaoc中可得aco=30°，利用三角函数的定义可求得oa，则可求得a点坐标；（2）由a、b两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知mdh=bco=60°

10、，在rtdmh中利用三角函数的定义可得到dh、mh与dm的关系，可设出m点的坐标，则可表示出dm的长，从而可表示出dmh的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值试题解析： （1）直线y=x+分别与x轴、y轴交于b、c两点，b（3，0），c（0，），ob=3，oc=，tanbco=，bco=60°，acb=90°，aco=30°，=tan30°=，即=，解得ao=1，a（1，0）；（2）抛物线y=ax2+bx+经过a，b两点，解得，抛物线解析式为y=x2+x+；（3）mdy轴，mhbc，mdh=bco=60°，则dmh=30°，dh=d

11、m，mh=dm，dmh的周长=dm+dh+mh=dm+dm+dm=dm，当dm有最大值时，其周长有最大值，点m是直线bc上方抛物线上的一点，可设m（t，t2+t+），则d（t，t+），dm=t2+t+），则d（t，t+），dm=t2+t+（t+）=t2+t=（t）2+，当t=时，dm有最大值，最大值为，此时dm=×=，即dmh周长的最大值为考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】 【典例指引3】如图，抛物线（，b是常数，且0）与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c并且a，b两点的坐标分别是a(1

12、，0)，b(3，0)（1）求抛物线的解析式；顶点d的坐标为_；直线bd的解析式为_；（2）若p为线段bd上的一个动点，其横坐标为m，过点p作pqx轴于点q，求当m为何值时，四边形pqoc的面积最大？（3）若点m是抛物线在第一象限上的一个动点，过点m作mnac交轴于点n当点m的坐标为_时，四边形mnac是平行四边形【答案】（1）；(1，4)；（2）当时，s最大值=；（3）(2，3)【解析】【分析】（1）把点a、点b的坐标代入，求出，b即可；根据顶点坐标公式求解；设直线bd的解析式为，将点b、点d的坐标代入即可； （2）求出点c坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形pqoc的面积s与m的关系式，可

13、求得面积的最大值；（3）要使四边形mnac是平行四边形只要即可，所以点m与点c的纵坐标相同，由此可求得点m坐标.【详解】解：（1）把a（1，0），b（3，0）代入，得解得当时， 所以顶点坐标为（1，4）设直线bd的解析式为，将点b（3，0）、点d（1，4）的坐标代入得，解得 所以直线bd的解析式为（2）点p的横坐标为m，则点p的纵坐标为当时，c（0，3）由题意可知：oc=3，oq=m，pq=s=.10，13，当时，s最大值=如图，mnac，要使四边形mnac是平行四边形只要即可. 设点m的坐标为， 由可知点 解得或0（不合题意，舍去）当点m的坐标为（2，3）时，四边形mnac是平行四边形【点睛

14、】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键.【举一反三】如图1，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点a（1，0）、c（3，0），点b为抛物线顶点，直线bd为抛物线的对称轴，点d在x轴上，连接ab、bc，abc90°，ab与y轴交于点e，连接ce（1）求项点b的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点p为第一象限抛物线上一个动点，设pec的面积为s，点p的横坐标为m，求s关于m的函数关系武，并求出s的最大值；（3）如图2，连接ob，抛物线上是否存在点q，使直线qc与直线

15、bc所夹锐角等于obd，若存在请直接写出点q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）点b坐标为（1，2），yx2+x+；（2）sm2+2m+，s最大值；（3）点q的坐标为（，）【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证abc是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出bd的长，即可写出点b的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；（2）求出直线ab的解析式，点e的坐标，用含m的代数式表示出点p的坐标，如图1，连接ep，op，cp，则由sepcsoep+socpsoce即可求出s关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出s的最大值；（3）先证odbebc，推出obdecb，延长

16、ce，交抛物线于点q，则此时直线qc与直线bc所夹锐角等于obd，求出直线ce的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点q的坐标【详解】解：（1）a（1，0）、c（3，0），ac4，抛物线对称轴为x1，bd是抛物线的对称轴，d（1，0），由抛物线的对称性可知bd垂直平分ac，babc，又abc90°，bdac2，顶点b坐标为（1，2），设抛物线的解析式为ya（x1）2+2，将a（1，0）代入，得04a+2，解得，a，抛物线的解析式为：y（x1）2+2x2+x+；（2）设直线ab的解析式为ykx+b，将a（1，0），b（1，2）代入，得，解得，k1，b1，yabx+1，当x0时，y1，

17、e（0，1），点p的横坐标为m，点p的纵坐标为m2+m+，如图1，连接ep，op，cp，则sepcsoep+socpsoce×1×m+×3（m2+m+）×1×3m2+2m+，（m）2+，0，根据二次函数和图象及性质知，当m时，s有最大值；（3）由（2）知e（0，1），又a（1，0），oaoe1，oae是等腰直角三角形，aeoa，又abbcab2，beabae，又，又odbebc90°，odbebc，obdecb，延长ce，交抛物线于点q，则此时直线qc与直线bc所夹锐角等于obd，设直线ce的解析式为ymx+1，将点c（3，0）代入，

18、得，3m+10，m，ycex+1，联立，解得，或，点q的坐标为（，）【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线.【新题训练】1如图，已知直线ab经过点（0，4），与抛物线y=x2交于a，b两点，其中点a的横坐标是(1）求这条直线的函数关系式及点b的坐标(2）在x轴上是否存在点c，使得abc是直角三角形？若存在，求出点c的坐标，若不存在请说明理由(3）过线段ab上一点p，作pmx轴，交抛物线于点m，点m在第一象限，点n（0，1），当点m的横坐标为何值时，mn+3mp的长度最大？最大

19、值是多少？【答案】（1）直线y=x+4，点b的坐标为（8，16）；（2）点c的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当m的横坐标为6时，mn+3pm的长度的最大值是18 【解析】【分析】（1）首先求得点a的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）分若bac=90°，则ab2+ac2=bc2；若acb=90°，则ab2=ac2+bc2；若abc=90°，则ab2+bc2=ac2三种情况求得m的值，从而确定点c的坐标；（3）设m（a，a2），得mn=a2+1，然后根据点p与点m纵坐标相同得到x=，从而得到m

20、n+3pm=a2+3a+9，确定二次函数的最值即可【详解】（1）点a是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，,a点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得解得yx4直线与抛物线相交，解得：x=-2或x=8，当x=8时，y=16，点b的坐标为（8，16）；（2）存在由a(2，1)，b(8，16)可求得ab2=325.设点c(m，0)，同理可得ac2(m2)212m24m5，bc2(m8)2162m216m320， 若bac90°，则ab2ac2bc2，即325m24m5m216m320，解得m； 若acb90°，则ab2ac2bc

21、2，即325m24m5m216m320，解得m0或m6； 若abc90°，则ab2bc2ac2，即m24m5m216m320325，解得m32， 点c的坐标为(，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) （3）设m(a，a2)， 则mn，又点p与点m纵坐标相同，x4a2，x= ，点p的横坐标为，mpa，mn3pma213(a)a23a9 (a6)218，268，当a6时，取最大值18，当m的横坐标为6时，mn3pm的长度的最大值是182如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为a（4，0）、b（2，0），与y轴交于点c，顶点为de（1，2）为线段bc的中点，bc的垂

22、直平分线与x轴、y轴分别交于f、g（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点d的坐标；（2）在直线ef上求一点h，使cdh的周长最小，并求出最小周长；（3）若点k在x轴上方的抛物线上运动，当k运动到什么位置时，efk的面积最大？并求出最大面积【答案】（1）顶点d的坐标为（1，）（2）h（，）（3）k（，）【解析】【分析】（1）将a、b的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点d的坐标；（2）根据抛物线的解析式可求出c点的坐标，由于cd是定长，若cdh的周长最小，那么ch+dh的值最小，由于ef垂直平分线段bc，那么b、c关于直线ef对称，所以bd与ef的交点即为所求

23、的h点；易求得直线bc的解析式，关键是求出直线ef的解析式；由于e是bc的中点，根据b、c的坐标即可求出e点的坐标；可证cegcob，根据相似三角形所得的比例线段即可求出cg、og的长，由此可求出g点坐标，进而可用待定系数法求出直线ef的解析式，由此得解；（3）过k作x轴的垂线，交直线ef于n；设出k点的横坐标，根据抛物线和直线ef的解析式，即可表示出k、n的纵坐标，也就能得到kn的长，以kn为底，f、e横坐标差的绝对值为高，可求出kef的面积，由此可得到关于kef的面积与k点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的k点坐标.【详解】（1）由题意，得解得，b=1所以

24、抛物线的解析式为，顶点d的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m因为ef垂直平分bc，即c关于直线eg的对称点为b，连结bd交于ef于一点，则这一点为所求点h，使dh+ch最小，即最小为dh+ch=dh+hb=bd=而cdh的周长最小值为cd+dr+ch=设直线bd的解析式为y=k1x+b，则解得，b1= 3所以直线bd的解析式为y=x+ 3由于bc= 2，ce=bc2 =，rtcegcob，得ce:co=cg:cb，所以cg= 2.5，go= 1.5g（0，1.5）同理可求得直线ef的解析式为y=x+联立直线bd与ef的方程，解得使cdh的周长最小的点h（，）（3）设k（t，），

25、xftxe过k作x轴的垂线交ef于n则kn=ykyn=（t+）=所以sefk=skfn+skne=kn（t+ 3）+kn（1t）= 2kn= t23t+ 5 =（t+）2+即当t=时，efk的面积最大，最大面积为，此时k（，）【点睛】本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大3如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点c（0，3），与x轴分别交于点a，点b（3，0）点p是直线bc上方的抛物线上一动点（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接po，pc，并把poc沿y轴翻折，

26、得到四边形popc若四边形popc为菱形，请求出此时点p的坐标；（3）当点p运动到什么位置时，四边形acpb的面积最大？求出此时p点的坐标和四边形acpb的最大面积【答案】（1）y=x2+2x+3（2）（，）（3）当点p的坐标为（，）时，四边形acpb的最大面积值为 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得p点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得p点坐标；（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得pq的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案【详解】（1）将点b和点c的坐标代入

27、函数解析式，得 解得 二次函数的解析式为y=x2+2x+3；（2）若四边形popc为菱形，则点p在线段co的垂直平分线上，如图1，连接pp，则peco，垂足为e，c（0，3）， 点p的纵坐标，当时，即 解得（不合题意，舍），点p的坐标为 （3）如图2，p在抛物线上，设p（m，m2+2m+3），设直线bc的解析式为y=kx+b，将点b和点c的坐标代入函数解析式，得 解得 直线bc的解析为y=x+3，设点q的坐标为（m，m+3），pq=m2+2m+3（m+3）=m2+3m当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，oa=1， s四边形abpc=sabc+spcq+spbq 当m=时，四

28、边形abpc的面积最大当m=时，即p点的坐标为 当点p的坐标为时，四边形acpb的最大面积值为【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出p点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质4如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2mxn经过点a(3，0)、b(0，3)，点p是直线ab上的动点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点m，设点p的横坐标为t(1)分别求出直线ab和这条抛物线的解析式(2)若点p在第四象限，连接am、bm，当线段pm最长时，求abm的面积(3)是否存在这样的点p，

29、使得以点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点p的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式是.直线ab的解析式是.(2) .（3）p点的横坐标是或.【解析】【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把a（3，0）b（0，3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点p的坐标是（t，t3），则m（t，t22t3），用p点的纵坐标减去m的纵坐标得到pm的长，即pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，pm最长为=，再利用三角形的面积公式利用sabm=sbpm+sa

30、pm计算即可；（3）由pmob，根据平行四边形的判定得到当pm=ob时，点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当p在第四象限：pm=ob=3，pm最长时只有，所以不可能；当p在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3；当p在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值【详解】解：(1)把a（3，0）b（0，-3）代入，得解得所以抛物线的解析式是.设直线ab的解析式是,把a（3，0）b（0，）代入,得解得所以直线ab的解析式是.(2)设点p的坐标是（）,则m（,）,因为在第四象限，所以pm=，当pm最长时，此时=.（3）若存在，则

31、可能是：p在第四象限：平行四边形obmp ,pm=ob=3， pm最长时，所以不可能.p在第一象限平行四边形obpm： pm=ob=3，解得，（舍去），所以p点的横坐标是.p在第三象限平行四边形obpm：pm=ob=3，解得（舍去），所以p点的横坐标是.所以p点的横坐标是或.5如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点（1）求、的值；（2）如图，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小

32、？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】试题分析： （1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求f的对称点，代入直线be，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.试题解析：.解：（1）轴，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为点在直线的右侧时，

33、点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.6如图，在矩形abcd中，ab6cm，ad8cm，连接bd，将abd绕b点作顺时针方向旋转得到abd（b与b重合），且点d刚好落在bc的延长上，ad与cd相交于点e（1）求矩形abcd与abd重叠部分（如图中阴影部分abce）的面积；（2）将abd以2cm/s的速度沿直线bc向右平移，当b移动到c点时停止移动设矩形abcd与abd重叠部分的面积为ycm2，移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围【答案】（1）；（2）当0x时，yx2x+24，当x4时，yx2-x

34、+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知bdbd10，cdbdbc2，由tanbda，可求出ce，即可计算ced的面积，sabcesabdsced；（2）分类讨论，当0x时和当 x4时，分别列出函数表达式；【详解】解：（1）ab6cm，ad8cm，bd10cm，根据旋转的性质可知bdbd10cm，cdbdbc2cm，tanbda，cecm，s abcesabdsced2×÷2（cm2）；（2）当0x时，cd2x+2，cex，scdex2+x，y×6×8x2xx2x+24；当x4时，bc102x，ce（102x）y×（102x）2x2-x+【点

35、睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键7如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于a（1，0），b（3，0）两点，与y轴相交于点c（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若p是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，phx轴于点h，与bc交于点m，连接pc求线段pm的最大值；当pcm是以pm为一腰的等腰三角形时，求点p的坐标【答案】（1）二次函数的表达式y=x22x3；（2）pm最大=；p（2，3）或（3-，24）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于y轴直线上两点间

36、的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案【详解】（1）将a，b，c代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x22x3；（2）设bc的解析式为y=kx+b，将b，c的坐标代入函数解析式，得，解得，bc的解析式为y=x3，设m（n，n3），p（n，n22n3），pm=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n）2+，当n=时，pm最大=；当pm=pc时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n22n3=-3，p（2，-3）；当pm=mc时，（n2+3

37、n）2=n2+（n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，n22n3=2-4，p（3-，2-4）；综上所述：p（2，3）或（3-，24）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.8已知抛物线yax2bxc经过a(1，0)、b(3，0)、c(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点p是直线l上的一个动点，当pac的周长最小时，求点p的坐标；(3)在直线l上是否存在点m，使mac为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条

38、件的点m的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3（2）p的坐标(1，2)（3）存在点m的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)【解析】【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可（2）由图知：a、b点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接bc，那么bc与直线l的交点即为符合条件的p点（3）由于mac的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：maac、mamc、acmc；可先设出m点的坐标，然后用m点纵坐标表示mac的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）a(1，0)、b(3，0)经过抛物线yax2bxc，可设抛

39、物线为ya（x1）（x3）又c(0，3) 经过抛物线，代入，得3a（01）（03），即a=1抛物线的解析式为y（x1）（x3），即yx22x3（2）连接bc，直线bc与直线l的交点为p 则此时的点p，使pac的周长最小设直线bc的解析式为ykxb，将b(3，0)，c(0，3)代入，得：，解得：直线bc的函数关系式yx3当x1时，y2，即p的坐标(1，2)（3）存在点m的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)抛物线的对称轴为： x=1，设m(1，m)a(1，0)、c(0，3)，ma2m24，mc2m26m10，ac210若mamc，则ma2mc2，得：m24m26m10，得：m1若ma

40、ac，则ma2ac2，得：m2410，得：m±若mcac，则mc2ac2，得：m26m1010，得：m0，m6，当m6时，m、a、c三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去综上可知，符合条件的m点，且坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)9如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为c（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点e，在射线上是否存在一点m，过m作x轴的垂线交抛物线于点n，使点m、n、c、e是平行四边形的四个顶点？若存在，求点m的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点p是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时

41、，求点p的坐标，并求面积的最大值【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或（3）当时，面积的最大值是，此时p点坐标为【解析】【分析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出c点坐标和e点坐标，则，分两种情况讨论：若点m在x轴下方，四边形为平行四边形，则，若点m在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点m的坐标；（3）如图，作轴交直线于点g，设，则，可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可【详解】解：（1）抛物线经过、两点，抛物线的解析式为，直线经过、两点，解得：，直线的解析式为，（2），抛物线的顶点c的坐标

42、为，轴，如图，若点m在x轴下方，四边形为平行四边形，则，设，则，解得：，（舍去），如图，若点m在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，解得：，（舍去），综合可得m点的坐标为或（3）如图，作轴交直线于点g，设，则，当时，面积的最大值是，此时p点坐标为【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题10如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点a（0，3)、b（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点a作acx轴交抛物线于点c，aob的平分线交线段ac于点e，点p是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛

43、物线的解析式； （2）若动点p在直线oe下方的抛物线上，连结pe、po，当m为何值时，四边形aope面积最大，并求出其最大值； （3）如图，f是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点p使pof成为以点p为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形aope面积最大，最大值为.（3）p点的坐标为 ：p1（，），p2（，），p3（，），p4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点d的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设p（m，m2-4m+3），根据oe的解析式表示点g的坐标，

44、表示pg的长，根据面积和可得四边形aope的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明omppnf，根据om=pn列方程可得点p的坐标；同理可得其他图形中点p的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为d，由对称性得：d（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把a（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设p（m，m2-4m+3），oe平分aob，aob=90°，aoe=45°，aoe是等腰直角三角形，ae=oa=3，e（3，3），易得oe的解析式为：y=

45、x，过p作pgy轴，交oe于点g，g（m，m），pg=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，s四边形aope=saoe+spoe，=×3×3+pgae，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，s有最大值是；（3）如图3，过p作mny轴，交y轴于m，交l于n，opf是等腰直角三角形，且op=pf，易得omppnf，om=pn，p（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，p的坐标为（，）或（，）；如图4，过p作mnx轴于n，过f作fmmn于m，同理得onppmf，pn=fm，则-m2+4m-3

46、=m-2，解得：x=或；p的坐标为（，）或（，）；综上所述，点p的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题11在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于a，b两点（a在b的左侧），与y轴交于点c，顶点为d（1）请直接写出点a，c，d的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点e，使得cde的周长最小，求点e的坐标；（3）如图（2），f为直线ac上的动点，在抛物线上是否存在点p，使得afp为等腰直角三角形？若存在，求出

47、点p的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）a（3，0），c（0，3），d（1，4）；（2）e（，0）；（3）p（2，5）或（1，0）【解析】试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点a、b的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点c坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点d的坐标；（2）作点c关于x轴对称的点c，连接cd交x轴于点e，此时cde的周长最小，由点c的坐标可找出点c的坐标，根据点c、d的坐标利用待定系数法即可求出直线cd的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点e的坐标；（3）根据点a、c的坐标利用待定系数法求出直线ac的解析式，假设存

48、在，设点f（m，m+3），分paf=90°、afp=90°和apf=90°三种情况考虑根据等腰直角三角形的性质结合点a、f点的坐标找出点p的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点p坐标中即可得出结论试题解析：（1）当中y=0时，有，解得：=3，=1，a在b的左侧，a（3，0），b（1，0）当中x=0时，则y=3，c（0，3）=，顶点d（1，4）（2）作点c关于x轴对称的点c，连接cd交x轴于点e，此时cde的周长最小，如图1所示c（0，3），c（0，3）设直线cd的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，直线cd的解析式为

49、y=7x3，当y=7x3中y=0时，x=，当cde的周长最小，点e的坐标为（，0）（3）设直线ac的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，直线ac的解析式为y=x+3假设存在，设点f（m，m+3），afp为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：当paf=90°时，p（m，m3），点p在抛物线上，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点p的坐标为（2，5）；当afp=90°时，p（2m+3，0）点p在抛物线上，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点p的坐标为（1，0）；当apf=90°时，p（m，0），点p在抛物线上，解得：m5=3（舍去），m6=1，此时点p的

50、坐标为（1，0）综上可知：在抛物线上存在点p，使得afp为等腰直角三角形，点p的坐标为（2，5）或（1，0）考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题12已知抛物线过点，两点，与y轴交于点c，(1)求抛物线的解析式及顶点d的坐标；(2)过点a作，垂足为m，求证：四边形adbm为正方形；(3)点p为抛物线在直线bc下方图形上的一动点，当面积最大时，求点p的坐标；(4)若点q为线段oc上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为【解析】【分析】(1)设交点式，利用

51、待定系数法进行求解即可；(2)先证明四边形adbm为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；(3)先求出直线bc的解析式，过点p作y轴的平行线交bc于点n，设点，则点n，根据可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；(4)存在，如图，过点c作与y轴夹角为的直线cf交x轴于点f，过点a作，垂足为h，交y轴于点q， 此时，则最小值，求出直线hc、ah的解析式即可求得h点坐标，进行求得ah的长即可得答案.【详解】(1)函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，则顶点；(2)，a(1,0)，b(3,0)， ob=3，oa=1，ab=2，又d(2，-1)，ad=bd=，am=mb=ad=bd，四边形adbm为菱形，又，菱形adbm为正方形；(3)设直线bc的解析式为y=mx+n，将点b、c的坐标代入得：，解得：，所以直线bc的表达式为：y=-x+3，过点p作y轴的平行线交bc于点n，设点，则点n，则，故有最大值，此时，故点；(4)存在，理由：如图，过点c作与y轴夹角为的直线cf交x轴于点f，过点a作，垂足为h，交y轴于点q， 此时，则最小值，在rtcof中，cof=90°，foc=30°，oc=3，tanf