《中考课件初中数学总复习资料》专题24 圆（解析版）

1、专题24 圆知识点1：圆的概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。知识点2：点与圆的位置关系圆和点的位置关系：以点p与圆o为例（设p是一点，则po

2、是点到圆心的距离），p在o外，por；p在o上，por；p在o内，por。知识点3：直线与圆的位置关系直线与圆有3种位置关系：（1）无公共点为相离；（2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。知识点4：圆与圆的位置关系两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为r和r，且rr，圆心距为l,则（1）外离lr+r；（2）外切l=r+r；（3）相交r-rlr+r；（

3、4）内切l=r-r；（5）内含lr-r。 知识点5：垂径定律定律垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。知识点6：圆心角定律在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等知识点7：圆周角定律（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径知识点8：圆内接多边形1.圆内接正三角形形2.圆内接正四边形形3.圆内接正六边形形知识点9：判定定理与切线的性质1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线的性质：（1）经过切点垂直于

4、这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。知识点10：圆的公切线1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。（1）若两圆相离，则有4条公切袭线。（2）若两圆外切，则有3条公切线。（3）两圆相交，则有2条公切线。（4）若两圆内切，则有1条公切线。（5）若两圆内含，则有0条公切线。2.公切线性质（1）两圆的两条外公切线长相等；（2）两条内公切线的长也相等。（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者

5、平行。知识点11：两圆公共弦定理两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。3.圆的计算公式：（1） 圆的周长c=2r=d （2）圆的面积s=r2（3）扇形弧长l=nr/180（4）扇形面积s=nr2/180=lr/2（5）圆柱表面积s表=s侧 +2s底=2rh+2r2（6）圆柱体的体积v=s底h=r2h（7）圆锥表面积s表=s侧 +s底=rr+r2（8）圆锥体的体积v=r2h/31.知识思维导图2.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与

6、圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。（4）两圆相切作

7、公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平

8、分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。4.拓展知识：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。重要结论：papb=pcpd（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。重要结论：ce2=aebe（3）切割线定理：从

9、圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。重要结论：pa2=pcpb（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。重要结论：pcpb=pdpe5.圆问题的基本题型类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周角定理；圆内接四边形性质等。类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。类型5.与圆有

10、关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。【例题1】（2020淮安）如图所示，点a、b、c在o上，acb54°，则abo的度数是（）a54°b27°c36°d108°【答案】c【解析】根据圆周角定理求出aob，根据等腰三角形的性质求出abobao，根据三角形内角和定理求出即可acb54°，圆心角aob2acb108°，oboa，abobao=12×（180°aob）36°【例题2】（2020南京）如图，在边长为2cm的正六边形abcdef中，点p在

11、bc上，则pef的面积为 cm2【答案】23【解析】连接bf，be，过点a作atbf于t，证明spefsbef，求出bef的面积即可连接bf，be，过点a作atbf于tabcdef是正六边形，cbef，abaf，baf120°，spefsbef，atbe，abaf，btft，batfat60°，btftabsin60°=3，bf2bt23，afe120°，afbabf30°，bfe90°，spefsbef=12efbf=12×2×23=23【例题3】（2019陕西）如图，o的半径oa6，过点a作o的切线ap，且ap

12、8，连接po并延长，与o交于点b、d，过点b作bcoa，并与o交于点c，连接ac、cd（1）求证：dcap；（2）求ac的长【答案】见解析。【分析】（1）根据切线的性质得到oap90°，根据圆周角定理得到bcd90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】（1）证明：ap是o的切线，oap90°，bd是o的直径，bcd90°，oacb，aopdbc，bdcapo，dcap；（2）解：aobc，odob，延长ao交dc于点e，则aedc，oe=12bc，ce=12cd，在rtaop中，op

13、=62+82=10，由（1）知，aopcbd，dbop=bcoa=dcap，即1210=bc6=dc8，bc=365，dc=485，oe=185，ce=245，在rtaec中，ac=ae2+ce2=(6+185)2+(245)2=2455圆单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1（2020福建）如图，四边形abcd内接于o，abcd，a为bd中点，bdc60°，则adb等于（）a40°b50°c60°d70°【答案】a【解析】a为bd中点，abad，abcd，ab=cd，ab=ad=cd，圆周角

14、bdc60°，bdc对的bc的度数是2×60°120°，ab的度数是13×（360°120°）80°，ab对的圆周角adb的度数是12×80°=40°2（2020青岛）如图，bd是o的直径，点a，c在o上，ab=ad，ac交bd于点g若cod126°，则agb的度数为（）a99°b108°c110°d117°【答案】b【解析】根据圆周角定理得到bad90°，dac=12cod63°，再由ab=ad得到bd45

15、6;，然后根据三角形外角性质计算agb的度数bd是o的直径，bad90°，ab=ad，bd45°，dac=12cod=12×126°63°，agbdac+d63°+45°108°3（2020泸州）如图，o中，ab=ac，abc70°则boc的度数为（）a100°b90°c80°d70°【答案】c【解析】先根据圆周角定理得到abcacb70°，再利用三角形内角和计算出a40°，然后根据圆周角定理得到boc的度数ab=ac，abcacb70°

16、;，a180°70°70°40°，boc2a80°4.（2020绍兴）如图所示，点a，b，c，d，e均在o上，bac15°，ced30°，则bod的度数为（）a45°b60°c75°d90°【答案】d【解析】首先连接be，由圆周角定理即可得bec的度数，继而求得bed的度数，然后由圆周角定理，求得bod的度数连接be，becbac15°，ced30°，bedbec+ced45°，bod2bed90°5（2020杭州）如图，已知bc是o的直径，半径

17、oabc，点d在劣弧ac上（不与点a，点c重合），bd与oa交于点e设aed，aod，则（）a3+180°b2+180°c390°d290°【答案】d【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示cbd，进而由圆心角与圆周角关系，用表示cod，最后由角的和差关系得结果oabc，aobaoc90°，dbc90°beo90°aed90°，cod2dbc180°2，aod+cod90°，+180°290°，290°6（2020牡丹江）如图所示，四边形abcd内接于o，连接b

18、d若ac=bc，bdc50°，则adc的度数是（）a125°b130°c135°d140°【答案】b【解析】连接oa，ob，oc，根据圆周角定理得出boc100°，再根据ac=bc得到aoc，从而得到abc，最后利用圆内接四边形的性质得到结果连接oa，ob，oc，bdc50°，boc2bdc100°，ac=bc，bocaoc100°，abc=12aoc50°，adc180°abc130°7（2020德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面

19、积为（）a243-4b123+4c243+8d243+4【答案】a【分析】设正六边形的中心为o，连接oa，ob首先求出弓形amb的面积，再根据s阴6（s半圆s弓形amb）求解即可【解析】设正六边形的中心为o，连接oa，ob由题意，oaobab4，s弓形ambs扇形oabsaob=6042360-34×42=8343，s阴6（s半圆s弓形amb）6（1222-83+43）243-4，8（2020乐山）在abc中，已知abc90°，bac30°，bc1如图所示，将abc绕点a按逆时针方向旋转90°后得到abc则图中阴影部分面积为（）a4b-32c-34d32

20、【答案】b【解析】解直角三角形得到ab=3bc=3，ac2bc2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论abc90°，bac30°，bc1，ab=3bc=3，ac2bc2，90×22360-90×3360-（12×1×3-30×3360）=-32，9.（2019山东省滨州市）如图，ab为o的直径，c，d为o上两点，若bcd40°，则abd的大小为（）a60°b50°c40°d20°【答案】b 【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答

21、此题的关键连接ad，先根据圆周角定理得出a及adb的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论连接ad，ab为o的直径，adb90°bcd40°，abcd40°，abd90°40°50°10(2019甘肃陇南)如图所示，点a，b，s在圆上，若弦ab的长度等于圆半径的倍，则asb的度数是（）a22.5°b30°c45°d60°【答案】c【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半设圆心为0，连接oa.ob，如图，先证明oab为等腰直角三角形得

22、到aob90°，然后根据圆周角定理确定asb的度数设圆心为o，连接oa.ob，如图，弦ab的长度等于圆半径的倍，即aboa，oa2+ob2ab2，oab为等腰直角三角形，aob90°，asbaob45°11.（2019湖北天门）如图，ab为o的直径，bc为o的切线，弦adoc，直线cd交ba的延长线于点e，连接bd下列结论：cd是o的切线；codb；edaebd；edbcbobe其中正确结论的个数有（）a4个b3个c2个d1个【答案】a 【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用

23、是解答此题的关键连结doab为o的直径，bc为o的切线，cbo90°，adoc，daocob，adocod又oaod，daoado，codcob在cod和cob中，codcob（sas），cdocbo90°又点d在o上，cd是o的切线；故正确，codcob，cdcb，odob，co垂直平分db，即codb，故正确；ab为o的直径，dc为o的切线，edoadb90°，eda+adobdo+ado90°，adebdo，odob，odbobd，edadbe，ee，edaebd，故正确；edoebc90°，ee，eodecb，odob，edbcbobe

24、，故正确.12.（2019山东省德州市 ）如图，点o为线段bc的中点，点a，c，d到点o的距离相等，若abc40°，则adc的度数是（） a130°b140°c150°d160°【答案】b【解析】根据题意得到四边形abcd共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数由题意得到oaobocod，作出圆o，如图所示，四边形abcd为圆o的内接四边形，abc+adc180°，abc40°，adc140°二、填空题（每空3分，共24分）13（2020盐城）如图，在o中，点a在bc上，boc100°则bac

25、°【答案】130【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论如图，取o上的一点d，连接bd，cd，boc100°，d50°，bac180°50°130°14（2020天水）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 【答案】83【解析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可设圆锥的底面半径为r，由题意得，120×8180=2r，解得，r=8315（2020攀枝花）如图，已知锐角三角形abc内接于半

26、径为2的o，odbc于点d，bac60°，则od 【答案】1【分析】连接ob和oc，根据圆周角定理得出boc的度数，再依据等腰三角形的性质得到bod的度数，结合直角三角形的性质可得od【解析】连接ob和oc，abc内接于半径为2的o，bac60°，boc120°，oboc2，odbc，oboc，bodcod60°，obd30°，od=12ob116（2020襄阳）在o中，若弦bc垂直平分半径oa，则弦bc所对的圆周角等于 °【答案】60°或120°【分析】根据弦bc垂直平分半径oa，可得od：ob1：2，得boc1

27、20°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦bc所对的圆周角度数【解析】如图，弦bc垂直平分半径oa，od：ob1：2，bod60°，boc120°，弦bc所对的圆周角等于60°或120°17（2020长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 【答案】3【解析】根据圆锥的侧面积公式：s侧=12×2rlrl即可得圆锥的侧面展开图的面积圆锥的侧面展开图是扇形，s侧rl3×13，该圆锥的侧面展开图的面积为318（2020扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为12，则这个圆锥的母线长为 【答案】4【解析

28、】根据圆锥的侧面积公式：s侧=12×2rlrl即可进行计算s侧rl，3l12，l4答：这个圆锥的母线长为419（2020扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b3cm，则螺帽边长a cm【答案】3【分析】根据正六边形的性质，可得abc120°，abbca，根据等腰三角形的性质，可得cd的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案【解析】如图，连接ac，过点b作bdac于d，由正六边形，得abc120°，abbca，bcdbac30°由ac3，得cd1.5cosbcd=cdbc=32，即1.5a=32，解得a=320（2020连云

29、港）如图，正六边形a1a2a3a4a5a6内部有一个正五边形b1b2b3b4b5，且a3a4b3b4，直线l经过b2、b3，则直线l与a1a2的夹角 °【答案】48【分析】延长a1a2交a4a3的延长线于c，设l交a1a2于e、交a4a3于d，由正六边形的性质得出a1a2a3a2a3a4120°，得出ca2a3a2a3c60°，则c60°，由正五边形的性质得出b2b3b4108°，由平行线的性质得出eda4b2b3b4108°，则edc72°，再由三角形内角和定理即可得出答案【解析】延长a1a2交a4a3的延长线于c，设l交

30、a1a2于e、交a4a3于d，如图所示：六边形a1a2a3a4a5a6是正六边形，六边形的内角和（62）×180°720°，a1a2a3a2a3a4=720°6=120°，ca2a3a2a3c180°120°60°，c180°60°60°60°，五边形b1b2b3b4b5是正五边形，五边形的内角和（52）×180°540°，b2b3b4=540°5=108°，a3a4b3b4，eda4b2b3b4108°，edc18

31、0°108°72°，ced180°cedc180°60°72°48°三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）21（2020聊城）如图，在abc中，abbc，以abc的边ab为直径作o，交ac于点d，过点d作debc，垂足为点e（1）试证明de是o的切线；（2）若o的半径为5，ac610，求此时de的长【答案】见解析。【分析】（1）连接od、bd，求出bdac，瑞成addc，根据三角形的中位线得出odbc，推出odde，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得ad，根据勾股定理求得bd，然后证得cdeabd，根

32、据相似三角形的性质即可求得de【解析】（1）证明：连接od、bd，ab是o直径，adb90°，bdac，abbc，d为ac中点，oaob，odbc，debc，deod，od为半径，de是o的切线；（2）由（1）知bd是ac的中线，adcd=12ac=310，o的半径为5，ab6，bd=ab2-ad2=102-(310)2=10，abac，ac，adbced90°，cdeabd，cdab=debd，即31010=de10，de322（2020上海）如图，abc中，abac，o是abc的外接圆，bo的延长线交边ac于点d（1）求证：bac2abd；（2）当bcd是等腰三角形时，

33、求bcd的大小；（3）当ad2，cd3时，求边bc的长【答案】见解析。【分析】（1）连接oa利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可（2）分三种情形：若bdcb，则cbdcabd+bac3abd若cdcb，则cbdcdb3abd若dbdc，则d与a重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可（3）如图3中，作aebc交bd的延长线于e则aebc=addc=23，推出aooh=aebh=43，设oboa4a，oh3a，根据bh2ab2ah2ob2oh2，构建方程求出a即可解决问题【解析】（1）证明：连接oaaabac，ab=ac，oabc，baocao，oaob，abdbao

34、，bac2bad（2）解：如图2中，延长ao交bc于h若bdcb，则cbdcabd+bac3abd，abac，abcc，dbc2abd，dbc+c+bdc180°，8abd180°，c3abd67.5°若cdcb，则cbdcdb3abd，c4abd，dbc+c+cdb180°，10abd180°，bcd4abd72°若dbdc，则d与a重合，这种情形不存在综上所述，c的值为67.5°或72°（3）如图3中，作aebc交bd的延长线于e则aebc=addc=23，aooh=aebh=43，设oboa4a，oh3a，b

35、h2ab2ah2ob2oh2，2549a216a29a2，a2=2556，bh=524，bc2bh=52223（2020金华）如图，ab的半径oa2，ocab于点c，aoc60°（1）求弦ab的长（2）求ab的长【答案】见解析。【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得ac的长，然后即可得到ab的长；（2）根据aoc60°，可以得到aob的度数，然后根据弧长公式计算即可【解析】（1）ab的半径oa2，ocab于点c，aoc60°，acoasin60°2×32=3，ab2ac23；（2）ocab，aoc60°，aob120°，oa2，ab的长是：120×2180=4324（2020齐齐哈尔）如图，ab为