《中考课件初中数学总复习资料》专题30第6章四边形之构造平行四边形备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、30第6章四边形之构造平行四边形一、单选题1如图，菱形的边长为13，对角线，点e、f分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点g，则（ ）a13b10c12d5【答案】b【分析】连接对角线bd，交ac于点o，求证四边形bdeg是平行四边形，eg=bd，利用勾股定理求出od的长，bd=2od，即可求出eg【详解】连接bd，交ac于点o，由题意知：菱形abcd的边长为13，点e、f分别是边cd、bc的中点，ab=bc=cd=da=13， efbd，ac、bd是菱形的对角线，ac=24，acbd，ao=co=12，ob=od，又abcd，efbddebg，bdeg在四边形bdeg中，debg，b

2、deg四边形bdeg是平行四边形bd=eg在cod中，ocod，cd=13，co=12od=ob=5bd=eg=10故选b【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键2在等边三角形abc中，bc=6cm，射线ag/bc，点e从点a出发，沿射线ag以1cm/s的速度运动，同时点f从点b出发，沿射线bc以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以a，f，c，e为顶点的四边形是平行四边形？（ ）a2b3c6d2或6【答案】d【分析】分别从当点f在c的左侧时与当点f在c的右侧时去分析，由当ae=cf时，以a、c、e、

3、f为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案【详解】当点f在c的左侧时，根据题意得：ae=tcm，bf=2tcm，则cf=bc-bf=6-2t（cm），agbc，当ae=cf时，四边形aecf是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；当点f在c的右侧时，根据题意得：ae=tcm，bf=2tcm，则cf=bf-bc=2t-6（cm），agbc，当ae=cf时，四边形aefc是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以a、c、e、f为顶点四边形是平行四边形故选d【点评】本题考查了平行四边形的判定此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的

4、应用3如图，在中，点、分别是边及延长线上的动点，且，连接，交于点，过点作交于点，设，则下列能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）abcd【答案】c【分析】过点作交于点，证明与均为等腰直角三角形，得到， ，从而证明 ，得到，根据，再利用中，求出，得到 ，故函数图象是平行于轴的直线的一部分，即可判断.【详解】，为等腰直角三角形，如解图，过点作交于点，为等腰直角三角形，在等腰中，在中，其图象是平行于轴的直线的一部分，故选c.【点评】此题主要考查函数图像与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的运用.二、填空题4如图，已知abc的面积为24，点d在

5、线段ac上，点f在线段bc的延长线上，且bf=4cf，四边形dcfe是平行四边形，则图中阴影部分的面积是_【答案】8【分析】连接ec，过a作ambc交fe的延长线于m，求出平行四边形acfm，根据等底等高的三角形面积相等得出bde的面积和cde的面积相等，ade的面积和ame的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形acfm的面积的一半，求出cf×hcf的值即可【详解】连接de、ec，过a作ambc交fe的延长线于m，四边形cdef是平行四边形，decf，efcd，amdecf，acfm，四边形acfm是平行四边形，bde边de上的高和cde的边de上的高相同，bde的面积和cde

6、的面积相等，同理ade的面积和ame的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形acfm的面积的一半，是×cf×hcf，abc的面积是24，bc3cfbc×hbc×3cf×hcf24，cf×hcf16，阴影部分的面积是×168，故答案为：8【点评】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键5如图，在梯形中， ，对角线，且，则梯形的中位线的长为_.【答案】5【解析】【详解】解：过c作cebd交ab的延长线于e，abcd，cebd，四边形dbec

7、是平行四边形，ce=bd，be=cd等腰梯形abcd中，ac=bdce=acacbd，cebd，ceacace是等腰直角三角形，ac=，ae =ac=10，ab+cd =ab+be=10，梯形的中位线=ae=5，故答案为：5【点评】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法三、解答题6如图在abc中，abac，ad为bac的平分线，an为abc外角cam的平分线，cean，垂足为e（1）求证：四边形adce是矩形（2）若连接de，交ac于点f，试判断四边形abde的形状（直接写出结果，不需要证明）（3）abc再添加一个什么条件时，可使四边形adce是正方形

8、并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）四边形abde是平行四边形；（3）当bac90°时，四边形adce是正方形，证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得adbc，badcad，又由an为abc的外角cam的平分线，可得dae90°，又由cean，由矩形的判定可证四边形adce为矩形；（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：acde；结合已知条件可以推知abde，又aebd，则易判定四边形abde是平行四边形；（3）由等腰直角三角形的性质可得adcdbd，即可证四边形adce是正方形【详解】证明：（1）在abc中，abac，ad为bac的平分线，adbc，ba

9、dcad，adc90°，an为abc的外角cam的平分线，mancan，dae90°，cean，aec90°，四边形adce为矩形；（2）四边形abde是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形adce为矩形，则aecd，acde又abac，bdcd，abde，aebd，四边形abde是平行四边形；（3）当bac90°时，四边形adce是正方形，理由：bac90°，abac，ad为bac的平分线，adcdbd，又四边形adce是矩形，四边形adce是正方形【点评】本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键7

10、如图，在abc中，已知bdcefd，aedacb（1）试判断def与b的大小关系，并说明理由；（2）若d、e、f分别是ab、ac、cd边上的中点，sdef4，sabc= 【答案】（1）def=b，理由见解析；（2）32【分析】（1）延长ef交bc于g，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论【详解】（1）def=b，理由如下：延长ef交bc于g，bdc=efd，efbd，aed=acb，debc，四边形degb是平行四边形，def=b；（2）f是cd边上的中点，sdef=4，sdec=2sdef=8，e是ac边上的中点，sadc=2sde

11、c=16，d是ab边上的中点，sabc=2sacd=32【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键8已知，菱形中，、分别是边和上的点，且（1）求证：（2）如图2，在延长线上，且，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，是的中点，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接ac，如图1，根据菱形的性质得ab=bc，而b=60°，则可判定abc为等边三角形，得到bac=60°，ac=ab，易得acf=60°，bae=caf，然后利用asa可证明aebafc，即可解答；（2）过点f

12、作fhab，交cb的延长线于点h，利用平行线的性质求得fhc是等边三角形，得到cf=ch=fh，然后利用aas定理求得hbfcef，从而问题得解；（3）过点b作bkfc，交hf于点k，根据两组对边分别平行求得四边形kbaf是平行四边形，从而求得，fk=16，过点a作amfh，然后利用含30°的直角三角形的性质求得mf=,，从而求得km=13，然后利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）连接ac，如图1，四边形abcd为菱形，ab=bc，b=60°，abc为等边三角形，bac=60°，ac=ab，bae+eac=60°，abcd，bac=acp=60

13、6;，eap=60°，即eac+cap=60°，bae=cap，在aeb和apc中， ，aebapc，be=cf；（2）过点f作fhab，交cb的延长线于点hfhabh=cgh=60°fhc是等边三角形cf=ch=fh又abc是等边三角形ca=cbaf=bh又fb=fefeb=feb，即fbh=fec在hbf和cef中 hbfcefbh=ecaf=ec（3）过点b作bkfc，交hf于点k，bkfc，fhab四边形kbaf是平行四边形kb=af=ec=6， fk=ab=bc=be+ec=be+af=16过点a作amfh由（2）可知，cfh=60°在rtam

14、f中，maf=30°mf=, km=16-3=13在rtakm中， ao=7【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点9如图，反比例函数y（x0）过点a（3，4），直线ac与x轴交于点c（6，0），过点c作x轴的垂线交反比例函数图象于点b，（1）求反比例函数和直线ac的解析式；（2）求abc的面积；（3）在平面内有点d，使得以a，b，c，d四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有d点的坐标【答案】（1）反比例函数解析式为：y；直线ac的解析式为：yx+8；（2）3；（3

15、）符合条件的点d的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【分析】（1）将a点的坐标代入反比例函数y求得k的值，然后将a，c坐标代入直线解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点b的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；（3）使得以a、b、c、d为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意d的坐标即可【详解】解：（1）把点a（3，4）代入y（x0），得kxy3×412，故该反比例函数解析式为：y，把a（3，4），c（6，0）代入ymx+n中，可得：，解得：，所以直线ac的解析式为：yx+8；（2）点c（6，0），bcx轴，把x6代入反比例函数y

16、，得y2，则b（6，2），所以abc的面积；（3）如图，当四边形abcd为平行四边形时，adbc且adbca（3，4）、b（6，2）、c（6，0），点d的横坐标为3，yaydybyc即4yd20，故yd2所以d（3，2）如图，当四边形acbd为平行四边形时，adcb且adcba（3，4）、b（6，2）、c（6，0），点d的横坐标为3，ydyaybyc即yd420，故yd6所以d（3，6）如图，当四边形acdb为平行四边形时，acbd且acbda（3，4）、b（6，2）、c（6，0），xdxbxcxa即xd663，故xd9ydybycya即yd204，故yd2所以d（9，2）综上所述，符合条件的

17、点d的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想10如图所示，是的中点，求证【答案】见解析【分析】延长am到f，使mfam，交cd于点n，构造平行四边形，利用条件证明abfcad，可得出bafacd，再结合条件可得到anc90°，可证得结论【详解】证明：延长am到f，使mfam，交cd于点n，bmem，四边形abfe是平行四边形，bfae，abfbae180°，bacdae90°，cadbae180°

18、;，abfcad，bfae，adae，bfad，在abf和cad中，abfcad（sas），bafacd，bac90°，bafcaf90°，acdcaf90°，ahc90°，amcd【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到bafacd是解题的关键11如图所示，是的中线，求证：.【答案】见解析【解析】要证，可设法将、集中到一个图形中，由已知是的中线，故倍长中线可得到平行四边形.【详解】证明：延长至，使，连，又，四边形为平行四边形，.【点评】中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的

19、四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的目的.12如图所示，中，是的中点，.求证：.【答案】见解析【解析】过作交的延长线于，得四边形为平行四边形，由已知可得bdf三边长，再由勾股定理可知bdf=90°，即可证明结论.【详解】证明：过作交的延长线于， ，又，四边形为平行四边形，.，.【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移ae构造dbf，证出bdf是直角三角形13如图所示，中，分别为，上一点，求证：.【答案】见解析【解析】过作，且，连，则adbg为平行四边形再证明，则ge=be，得adf为等腰直角三角形即可证明结论【详解】证明：过作，且，连，则四边形为平行四

20、边形，c=90°，gae=c=90°，在aeg和cbe中，ge=be，gea=ebc，geb=90°.为等腰直角三角形，【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键14如图所示，四边形中，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.【答案】见解析【解析】延长fc交ad于点g，可证明四边形cedg为平行四边形，可得fc=de=cg，可知bc为fag的中位线，可证明ab=fb【详解】证明：如图，延长fc交ad于点g，四边形cdef为平行四边形，cfde，cf=de

21、，又cead，四边形cedg为平行四边形，cg=de，cf=cg，且bcag，bc是fag的中位线，b为af的中点，即ab=fb【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即两组对边分别平行的四边形平行四边形，两组对边分别相等的四边形平行四边形，一组对边分别平行且相等的四边形平行四边形，两组对角分别相等的四边形平行四边形，对角线互相平分的四边形平行四边形15如图所示，中，于，平分交于，交于，交于.求证：.【答案】见解析【解析】要证，可设法将、集中到一个图形中，由已知，故过作，从而得到平行四边形.【详解】证明：过作交于，又，四边形是平行四边形，由，又平分，

22、又，.【点评】此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造平行四边形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键16如图，d为abc的ab边上一点，e为ac延长线上的一点，且ce=bd（1）当ab=ac时，求证：de>bc（2）当abac时，de与bc有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图1，过点d作dfbc，过点c作cfab，连接ef，从而可得df=bc，这样就把分散的线段集中到了def中，只需证de>df即可；易证1=2，3=4，3>5，从而可得dfe>

23、;def，de>df，从而得到：de>bc；（2）当abac时，我们要分ab>ac和ab<ac两种情况来讨论，其中：当ab>ac，且ab=ae时，如图2，结合已知条件此时我们易证abcaed，从而得到bc=de；当ab>ac，且ab>ae时，如图3，延长ae到f，使af=ab，在ab上截取an=ac，易证abcafn，得到f=b；再过d作dmbc，过c作cmbd，得到四边形dbcm是平行四边形，由此可得dmc=b=f，dm=bc；连接me，则法通过在dme中证dem>dme得到dm>de，从而得到bc>de；当ab>ac，且ab

24、<ae时，如图4，延长ab到f，使af=ae，在ae上截取an=ad，连接nf，易证afnaed，可得f=aed，由abc>f得到abc>aed；再作dmbc，cmab，可得四边形dbcm是平行四边形，得到dm=bc，dmc=abc，就可得dmc>aed；连接me，在dme中通过证dme>dem，得到de>dm，就可得到de>bc；当ab<ac<ae时，如图5，延长ab至f，使af=ae，在ac上截取an=ad；过点d作dmbc，过点c作cmab，连接me；同上可证：de>bc.试题解析：（）作dfbc，cfbd（如图1），得bcfd，从而dfcb，dfbc，cfbd又bdce，cfce，12 abac，acbb而dfedfc1b1acb2aed2def， 即在def中，dfedef，dedf，即debc （）当abac时，de与bc的大小关系如下：当abac但abae时，debc；当abac且abae时，debc；当abac但abae时，debc；当abac时，debc证明如下：当abac但abae时（如图2），bdce，abbdaece，即adac在abc和aed中，abae，aa，acad，abcaed（sas），bce