(完整版)排列组合问题的解题方法与技巧的总结

1、尊重乐学博识第1页知识成就未来！学员数学科目第次个性化教案授课时间教师姓名备课时间学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略课时总数共课时教育顾问学管邱老师教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学过程教师活动一、作业检查与评价（第一

2、次课程）二、复习导入排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。三、内容讲解1. 分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有n类办法，在第1 类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nnmmml种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事， 需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法， 做第 2 步有2m种不同的方法， ，做第n步有nm种不同的方法，

3、那么完成这件事共有：12nnmmml种不同的方法3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合问题的解题

4、策略尊重乐学博识第2页知识成就未来！一、相临问题 捆绑法例 1 7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“ 捆绑 ” 法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地: n 站成一排 ,其中某 m 个人相邻 ,可用 “ 捆绑 ” 法解决，共有nmmnmmaa种排法。练习： 5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法?二、不相临问题 选空插入法例 2 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数

5、应为：2565a a种 . 插入法 : 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法. 即先排好没有限制条件的元素 , 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可. 若 n个人站成一排，其中m个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12 张。 8 个学生， 4 个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题, 并且是对老师有特殊的要求, 因此老师是特殊元素, 在解决时就要特殊对待 . 所涉及问题是排列问题. 解 先排学生共有种排法 , 然后把老师插入学生之间的空档，共有 7

6、 个空档可插 , 选其中的4 个空档 ,共有种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为种. 三、复杂问题- 总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面, 再从整体中排除. 解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.(1996年全国高考题 ) 正六边形的中心和顶点共7 个点，以其中3 个点为顶点的三角形共有个 . 解：从 7 个点中取3 个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3 条，所以满足条件的三角形共有 332 个. 练习：我们班里有43 位

7、同学 , 从中任抽5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ? 分析此题若是直接去考虑的话, 就要将问题分成好几种情况, 这样解题的话, 容易造成各种情况遗漏或者重复的情况. 而如果从此问题相反的方面去考虑的话, 不但容易理解, 而且在计算中也是非常的简便 . 这样就可以简化计算过程. 解 43人中任抽5 人的方法有种, 正副班长 , 团支部书记都不在内的抽法有种, 所以正副班长 , 团支部书记至少有1 人在内的抽法有种. 尊重乐学博识第3页知识成就未来！四、特殊元素- 优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例 4 (

8、1995 年上海高考题) 1名老师和4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有3种，而其余学生的排法有种，所以共有72 种不同的排法. 例 5（ 2000 年全国高考题）乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，派5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种 . 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2 名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有252

9、 种. 五、多元问题- 分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例 6（ 2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）a42 b 30 c20 d12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1. 不相临：共有种； 2. 相临：共有种。故不同插法的种数为：26a +22a16a=42 ，故选 a。例 7（ 2003 年全国高考试题）如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

10、种. （以数字作答）解： 由题意，选用3 种颜色时，c43种颜色，必须是同色，同色，与进行全排列，涂色方法有 c43a33=24 种 4 色全用时涂色方法：是同色或同色，有2 种情况，涂色方法有c21a44=48 种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72六、混合问题- 先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略尊重乐学博识第4页知识成就未来！例 8（ 2002 年北京高考） 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）种a. b.3种 c. 种 d.解：本试题属于均分组问题。则12 名同学均分成3 组共有

11、种方法 , 分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选a。例 9（ 2003 年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）a24 种b18 种c12 种 d6 种解： 黄瓜必选，故再选2 种蔬菜的方法数是c32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是a33，种法共有 c32a33=18 ，故选 b七相同元素分配- 档板分隔法例 10把 10 本相同的书发给编号为1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合

12、更一般的情况？本题考查组合问题。解一：先让2、3 号阅览室依次分得1 本书、 2 本书；再对余下的7 本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书， 这相当于在7 本相同书之间的6 个“空档”内插入两个相同“i ” （一般可视为“隔板”）共有26c种插法，即有15 种分法。2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6 本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4 本书有以下四种分配方案：某一阅览室独得4 本，有种分法；某两个阅览室分别得1 本和 3 本，有种分法；某两个阅览室各得2 本，有种分法；某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1 本，有种分法 .由加法原理，共有不同的分法3+=1

13、5 种. 八转化法 :对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想, 将其化归为简单的、具体的问题来求解。例 11 高二年级8 个班 , 组织一个12 个人的年级学生分会, 每班要求至少1 人,名额分配方案有多少种 ? 分析此题若直接去考虑的话, 就会比较复杂. 但如果我们将其转换为等价的其他问题, 就会显得比较清楚 , 方法简单 , 结果容易理解 . 解：此题可以转化为: 将 12 个相同的白球分成8 份, 有多少种不同的分法问题, 因此须把这12 个白球排成一排 , 在 11 个空档中放上7 个相同的黑球 , 每个空档最多放一个, 即可将白球分成8 份, 显然有种不同的放法

14、, 所以名额分配方案有种. 尊重乐学博识第5页知识成就未来！九剩余法 :在组合问题中, 有多少取法, 就有多少种剩法, 他们是一一对应的, 因此 , 当求取法困难时, 可转化为求剩法 . 例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个, 如果从袋中取出2 元钱 , 有多少种取法 ? 分析此题是一个组合问题, 若是直接考虑取钱的问题的话, 情况比较多 , 也显得比较凌乱, 难以理出头绪来 . 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话, 就会很容易解决问题. 解把所有的硬币全部取出来, 将得到0.0523+0.1010=2.15元, 所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下 0.15

15、元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角, 所以共有2种取法 . 十对等法 :在有些题目中, 它的限制条件的肯定与否定是对等的, 各占全体的二分之一. 在求解中只要求出全体 , 就可以得到所求. 例 13 期中安排考试科目9 门, 语文要在数学之前考, 有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题, 就其中的两个元素来讲的话, 他们的排列顺序只有两种情况, 并且在整个排列中, 他们出现的机会是均等的, 因此要求其中的某一种情况, 能够得到全体, 那么问题就可以解决了 . 并且也避免了问题的复杂性. 解不加任何限制条件, 整个排法有种, “语文安排在数学之前考”, 与“

16、数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有种. 十一平均分组问题:例 146 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（ 1）分给甲、乙、丙三人，每人2 本；（ 2）分为三份，每份2 本；（ 3）分为三份，一份1 本，一份2 本，一份3 本；（ 4）分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人2 本，一人3 本；（ 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 本。解： 1.c2/6xc2/4=90；2.(c2/6xc2/4)/a3/3=15；3.c1/6xc2/5=60；4.c1/6xc2/5xa3/3=360；5.【(c2/6xc2/4)/a3/3+c1/6xc2/5+c1/6xc1/5/a2/2】xa3/3=540.尊重乐学博识第6页知识成就未来！总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以