《中考课件初中数学总复习资料》专题16：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之半角模型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题16：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之半角模型一、单选题1如图，在中，点，为上两点，为外一点，且，有下列结论：；.其中正确的是（ ）abcd2如图所示，在rtabc中，abac，d、e是斜边bc上的两点，且dae45°，将adc绕点a按顺时针方向旋转90°后得到afb，连接ef，有下列结论：bedc；bafdac；faedae；bfdc其中正确的有（）abcd二、填空题3如图，在rtabc和rtbcd中，bacbdc90°，bc4，abac，cbd30°，m，n分别在bd，cd上，man45°，则dmn的周长为_4如图，在rt

2、abc和rtbcd中，bacbdc90°，bc8，abac，cbd30°，bd43，m，n分别在bd，cd上，man45°，则dmn的周长为_三、解答题5（2020锦州模拟）问题情境：已知，在等边abc中，bac与acb的角平分线交于点o，点m、n分别在直线ac，ab上，且mon60°，猜想cm、mn、an三者之间的数量关系方法感悟：小芳的思考过程是在cm上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在ab取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，m、n分别在边ac，ab上时，探索cm、mn、an三者之间的数量关系，并证明；

3、（2）如图2，m在边ac上，点n在ba的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索cm、mn、an三者之间的数量关系，并证明6问题：如图(1)，点e、f分别在正方形abcd的边bc、cd上，eaf=45°，试判断be、ef、fd之间的数量关系（发现证明）小聪把abe绕点a逆时针旋转90°至adg,从而发现ef=be+fd,请你利用图（1）证明上述结论（类比引申）如图(2)，四边形abcd中,bad90°,ab=ad,b+d=180°,点e、f分别在边bc、cd上,则当eaf与bad满足 关系时，仍有ef=be+fd（探究应用）如图(3)，在某公

4、园的同一水平面上，四条通道围成四边形abcd已知ab=ad=80米，b=60°，adc=120°，bad=150°，道路bc、cd上分别有景点e、f，且aead，df=40（1）米，现要在e、f之间修一条笔直道路，求这条道路ef的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）7如图，点、分别在边、上，过点作，且点在的延长线上（1）与全等吗？为什么？（2）若，求的长8如图，正方形abcd中，e、f分别在边bc、cd上，且eaf45°，连接ef，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路例如图中adf与abg可以

5、看作绕点a旋转90°的关系这可以证明结论“efbedf”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程（1）延长cb到点g，使bg ，连接ag；（2）证明：efbedf9请阅读下列材料：已知：如图（1）在rtabc中，bac90°，abac，点d、e分别为线段bc上两动点，若dae45°探究线段bd、de、ec三条线段之间的数量关系：（1）猜想bd、de、ec三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点e在线段bc上，动点d运动在线段cb延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等

6、边三角形abc中，点d、e在边ab上，且dce30°，请你找出一个条件，使线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数10如图，在正方形abcd中，e、f是对角线bd上两点，将绕点a顺时针旋转 后，得到，连接em，ae，且使得（1）求证：；（2）求证：.11（1）如图1，在四边形abcd中，abad，bad100°，badc90°e，f分别是bc，cd上的点且eaf50°探究图中线段ef，be，fd之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长fd到点g，使dgbe，连接ag，先证明abeadg，再证明aefagf，可得出结论，他的

7、结论是 （直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形abcd中，abad，b+d180°，e，f分别是bc，cd上的点，且2eafbad，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形abcd是边长为7的正方形，ebf45°，直接写出def的周长12在man内有一点d，过点d分别作dbam，dcan，垂足分别为b，c且bd=cd，点e，f分别在边am和an上 （1）如图1，若bed=cfd，请说明de=df；（2）如图2，若bdc=120°，edf=60°，猜想ef，be，cf具有的数量关系，并说明你的结论成立的理

8、由13（1）如图1，正方形abcd中，点e，f分别在边bc，cd上，eaf=45°，延长cd到点g，使dg=be，连结ef，ag求证：bea =g， ef=fg（2）如图2，等腰直角三角形abc中，bac=90°，ab=ac，点m，n在边bc上，且man=45°，若bm=1，cn=3，求mn的长参考答案1a【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出afbaec，即可得出ce=bf，根据勾股定理与等量代换可得正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出，再根据勾股定理以及等量代换即可得出【详解】bac=,faae,dae=，cae=daebad=

9、bad，fab=daebad=bad，fab=eac，ab=ac,bac=，abc=acb=，fbbc，fab=，afbaec，ce=bf，故正确，：由中证明afbaec，af=ae，dae=，faae，fad=dae=，afdaed，连接fd，fb=ce，fb2+bd2=fd2=de2，故正确，：如图，设ad与ef的交点为g，fad=ead=，af=ae，adef，ef=2eg，sade=adeg=adef= adef，故正确，：fb2+be2=ef2，ce=bf，ce2+be2=ef2，在rtaef中，af=ae，af2+ae2=ef2，ef2=2ae2，ce2+be2=2ae2

10、，故正确。故选a.【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判断（hl）和勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断（hl）、勾股定理和等量代换.2c【解析】【分析】利用旋转性质可得abfacd，根据全等三角形的性质一一判断即可【详解】解：adc绕a顺时针旋转90°后得到afb，abfacd，bafcad，afad，bfcd，故正确，eafbaf+baecad+baebacdae90°45°45°dae故正确无法判断becd，故错误，故选：c【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型32+

11、2【解析】【分析】将acn绕点a逆时针旋转，得到abe，由旋转得出nae90°，anae，abeacd，eabcan，求出eamman，根据sas推出aemanm，根据全等得出mnme，求出mncnbm，解直角三角形求出dc，即可求出dmn的周长bddc，代入求出答案即可【详解】将acn绕点a逆时针旋转，得到abe，如图： 由旋转得：nae90°，anae，abeacd，eabcan，bacd90°，abd+acd360°90°90°180°，abd+abe180°，e，b，m三点共线，man45°，ba

12、c90°，eameab+bamcan+bambacman90°45°45°，eamman，在aem和anm中， aemanm（sas），mnme，mncn+bm，在rtbcd中，bdc90°，cbd30°，bc4，cdbc2，bd2，dmn的周长为dm+dn+mndm+dn+bm+cnbd+dc2+2，故答案为：2+2【点评】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键443+4【解析】【分析】将acn绕点a逆时针旋转，得到abe，由旋转得出nae90°，anae，abeacd

13、，eabcan，求出eamman，根据sas推出aemanm，根据全等得出mnme，求出mncn+bm，解直角三角形求出dc，即可求出dmn的周长bd+dc，代入求出即可【详解】将acn绕点a逆时针旋转，得到abe，如图：由旋转得：nae90°，anae，abeacd，eabcan，bacd90°，abd+acd360°90°90°180°，abd+abe180°，e，b，m三点共线，man45°，bac90°，eameab+bamcan+bambacman90°45°45°

14、，eamman，在aem和anm中，ae=aneam=namam=am，aemanm（sas），mnme，mncn+bm，在rtbcd中，bdc90°，cbd30°，bd43，cdbd×tancbd4，dmn的周长为dm+dn+mndm+dn+bm+cnbd+dc43+4，故答案为：43+4【点评】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线.5（1）cman+mn，详见解析；（2）cmmnan，详见解析【解析】【分析】（1）在ac上截取cdan，连接od，证明cdoano，根据全等三角形的性质得到odon，codaon，证明dmo

15、nmo，得到dmmn，结合图形证明结论；（2）在ac延长线上截取cdan，连接od，仿照（1）的方法解答【详解】解：（1）cman+mn，理由如下：在ac上截取cdan，连接od，abc为等边三角形，bac与acb的角平分线交于点o，oacoca30°，oaoc，在cdo和ano中，cdoano（sas）odon，codaon，mon60°，cod+aom60°，aoc120°，dom60°，在dmo和nmo中，dmonmo，dmmn，cmcd+dman+mn；（2）补全图形如图2所示：cmmnan，理由如下：在ac延长线上截取cdan，连接o

16、d，在cdo和ano中，cdoano（sas）odon，codaon，domnom，在dmo和nmo中，dmonmo（sas）mndm，cmdmcdmnan【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理6【发现证明】证明见解析；【类比引申】bad=2eaf；【探究应用】1092米【解析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到adgabe，则gf=be+df，只要再证明afgafe即可【类比引申】延长cb至m，使bm=df，连接am，证adfabm，证faemae，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到abe是等边三角形，则be=

17、ab=80米把abe绕点a逆时针旋转150°至adg，根据旋转的性质可以得到adgabe，则gf=be+df，只要再证明afgafe即可得出ef=be+fd解：如图（1），adgabe，ag=ae，dag=bae，dg=be，又eaf=45°，即daf+bea=eaf=45°，gaf=fae，在gaf和fae中，ag=ae，gaf=fae，af=af，afgafe（sas）gf=ef又dg=be，gf=be+df，be+df=ef【类比引申】bad=2eaf理由如下：如图（2），延长cb至m，使bm=df，连接am，abc+d=180°，abc+abm=

18、180°，d=abm，在abm和adf中，ab=ad，abm=d，bm=df， abmadf（sas），af=am，daf=bam，bad=2eaf，daf+bae=eaf，eab+bam=eam=eaf，在fae和mae中，ae=ae，fae=mae，af=am，faemae（sas），ef=em=be+bm=be+df，即ef=be+df故答案是：bad=2eaf【探究应用】如图3，把abe绕点a逆时针旋转150°至adg，连接afbad=150°，dae=90°，bae=60°又b=60°，abe是等边三角形，be=ab=80米

19、根据旋转的性质得到：adg=b=60°，又adf=120°，gdf=180°，即点g在cd的延长线上易得，adgabe，ag=ae，dag=bae，dg=be，又eag=bad=150°，gaf=fae，在gaf和fae中，ag=ae，gaf=fae，af=af，afgafe（sas）gf=ef又dg=be，gf=be+df，ef=be+df=80+40（1）109.2（米），即这条道路ef的长约为109.2米“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明afgaef此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫7

20、（1）gabfad，理由见解析；（2）ef=5【解析】【分析】（1）由题意可得abg=d=90°，进一步即可根据asa证得gabfad；（2）由（1）的结论可得ag=af，gb=df，易得bae+daf=45°，进而可推出gae=eaf，然后利用sas即可证明gaefae，可得ge=ef，进一步即可求出结果【详解】解：（1），点在的延长线上，abg=d=90°，在gab和fad中，ab=ad，abg=d，gabfad（asa）；（2）gabfad，ag=af，gb=df，bae+daf=45°，bae+gab=45°，即gae=45°

21、，gae=eaf，在gae和fae中，ag=af，gae=eaf，ae=ae，gaefae（sas），ge=ef，ge=gb+be=df+be=2+3=5，ef=5【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键8（1）df；（2）见解析【解析】【分析】（1）由于adf与abg可以看作绕点a旋转90°的关系，根据旋转的性质知bg=df，从而得到辅助线的做法；（2）先证明adfabg，得到ag=af，gab=daf，结合eaf45°，易知gae=45°，再证明ageafe即可得到efge=be+gb=bedf【详

22、解】解：（1）根据旋转的性质知bg=df，从而得到辅助线的做法：延长cb到点g，使bg=df，连接ag；（2）四边形abcd为正方形，ab=ad，adf=abe=abg=90°，在adf和abg中adfabg（sas），af=ag，daf=gab，eaf=45°，daf+eab=45°，gab+eab=45°，gae=eaf =45°，在age和afe中0adfabg（sas），ge=ef，efge=be+gb=bedf【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角

23、形，属于中考常考题型9（1）de2bd2+ec2；（2）关系式de2bd2+ec2仍然成立，详见解析；（3）当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，且顶角dfe为120°【解析】【分析】（1）de2bd2+ec2，将adb沿直线ad对折，得afd，连fe，得到afdabd，然后可以得到afab，fddb，fadbad，afdabd，再利用已知条件可以证明afeace，从而可以得到dfeafd+afe45°+45°90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当adbe时，线段de、ad、eb能构成一

24、个等腰三角形如图，与（1）类似，以ce为一边，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dcfdca，然后可以得到addf，efbe由此可以得到dfe1+2a+b120°，这样就可以解决问题【详解】解：（1）de2bd2+ec2；证明：如图，将adb沿直线ad对折，得afd，连fe，afdabd，afab，fddb，fadbad，afdabd，bac90°，dae45°bad+cae45°, fad+fae45°,cae=fae又ae=ae,af=ab=acafeace，dfeafd+afe45°+45°90&

25、#176;，de2fd2+ef2de2bd2+ec2；（2）关系式de2bd2+ec2仍然成立证明：将adb沿直线ad对折，得afd，连feafdabd，afab，fddb，fadbad，afdabd，又abac，afac，faefad+daefad+45°，eacbacbae90°（daedab）45°+dab，faeeac，又aeae，afeace，feec，afeace45°，afdabd180°abc135°dfeafdafe135°45°90°，在rtdfe中，df2+fe2de2，即de2bd

26、2+ec2；（3）当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形如图，与（2）类似，以ce为一边，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dcfdcaaddf，efbedfe1+2a+b120°若使dfe为等腰三角形，只需dfef，即adbe，当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，且顶角dfe为120°【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据10（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接

27、利用旋转的性质证明ameafe（sas），即可得出答案；（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案【详解】证明：（1）将绕点a顺时针旋转90°后，得到，在ame和中，；（2）由（1）得：，在中，又，【点评】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出ameafe是解题关键11（1）efbe+df；（2）成立，理由详见解析；（3）14【解析】【分析】（1）延长fd到点g使dgbe连结ag，由“sas”可证abeadg，可得aeag，baedag，再由“sas”可证aefagf，可得effg，即可解题；（2）延长eb到g，使bgdf，连接ag，即可

28、证明abgadf，可得afag，再证明aefaeg，可得efeg，即可解题；（3）延长ea到h，使ahcf，连接bh，由“sas”可证abhcbf，可得bhbf，abhcbf，由“sas”可证ebhebf，可得efeh，可得efehae+cf，即可求解【详解】证明：（1）延长fd到点g使dgbe连结ag，在abe和adg中，abeadg（sas），aeag，baedag，bad100°，eaf50°，bae+faddag+fad50°，eaffag50°，在eaf和gaf中，eafgaf（sas），effgdf+dg，efbe+df，故答案为：efbe+

29、df；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长eb到g，使bgdf，连接ag，abc+d180°，abg+abc180°，abgd，在abg与adf中，abgadf（sas），agaf，bagdaf，2eafbad，daf+baebag+baebadeaf，gaeeaf，又aeae，aegaef（sas），egefegbe+bgefbe+fd；（3）如图，延长ea到h，使ahcf，连接bh，四边形abcd是正方形，abbc7adcd，badbcd90°，bahbcf90°，又ahcf，abbc，abhcbf（sas），bhbf，abhcbf，ebf45

30、°，cbf+abe45°hba+abeebf，ebhebf，又bhbf，bebe，ebhebf（sas），efeh，efehae+cf，def的周长de+df+efde+df+ae+cfad+cd14【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键12（1）说明见解析；（2）ef= fc+be理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目中的条件和bed=cfd，可以证明bdecdf，从而可以得到de=df；（2）作辅助线，过点d作cdg=bde，交an于点g，从而可以得到bdecdg，然后即可得到de=dg，be=cg，再根据题目中的条件可以得到edfgdf，即可得到ef