《中考课件初中数学总复习资料》专题34第7章圆之四点共圆备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、34第7章圆之四点共圆一、单选题1下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（ ）a，b，c，d，【答案】c【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各个选项 ，选出正确答案.【详解】a选项中，5+6>7可以构成三角形；b选项中，3+7>8，能够构成三角形；c选项中4+3=7不能构成三角形；d选项中2+4>5,能够构成三角形.故选c.【点睛】考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.2如图，四边形内接于，为中点，则等于（ ）abcd【答案】a【分析】根据，为中点求出

2、cbd=adb=abd，再根据圆内接四边形的性质得到abc+adc=180°，即可求出答案【详解】为中点，,adb=abd，ab=ad，cbd=adb=abd，四边形内接于，abc+adc=180°，3adb+60°=180°，=40°，故选：a【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补3如图，圆上有、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）abcd【答案】c【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据

3、弧长的定义即可得【详解】弧、弧的长度分别为、圆的周长为（圆内接四边形的对角互补）弧所对圆心角的度数为则弧的长度为故选：c【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键4如图1，在等腰三角形abc中，ab=ac=4，bc=6如图2，在底边bc上取一点d，连结ad，使得dac=acd如图3，将acd沿着ad所在直线折叠，使得点c落在点e处，连结be，得到四边形abed则be的长是（ ）a1bcd【答案】a【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题【详解】解：，即，、四点共圆，故选：【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质

4、等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题二、填空题5如图，四边形abcd是o的内接四边形，若o半径为4，且c2a，则的长为_【答案】4【分析】连接ob，od，利用内接四边形的性质得出a=60°，进而得出bod=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可【详解】连接ob，od，过o作oebd，四边形abcd是o的内接四边形，c=2a，c+a=3a=180°，解得：a=60°，bod=120°，在rtbeo中，ob=4，be=2，ac=4，故答案为：4【点睛

5、】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出a=60°6如图，正五边形 abcde内接于o，连接be，则abe的度数为_度.【答案】36【分析】由正五边形的性质可知abe是等腰三角形，求出a的度数即可解决问题【详解】在正五边形abcde中，a×（52）×180108°，abae，abeaeb（180°108°）36°故答案为36【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单7如图，在矩形abcd中，ab9，ad6，点o为对角线ac的中点，点e在dc的延长线

6、上且ce1.5，连接oe，过点o作ofoe交cb延长线于点f，连接fe并延长交ac的延长线于点g，则_【答案】【分析】作omcd于m，onbc于n，根据三角形中位线定理分别求出om、on，根据勾股定理求出oe，根据相似三角形的性质求出fn，得到fc的长，证明gfcgoe，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案【详解】解：作omcd于m，onbc于n，四边形abcd为矩形，d=90°，abc=90°，omad，onab，点o为ac的中点，om=ad=3，on=ab=4.5，cm=4.5，cn=3，ce=1.5，me=cm+ce=6，在rtome中，oe=3，mon=

7、90°，eof=90°，moe+noe=nof+noe=90°，moe=nof，又ome=onf=90°，omeonf，即，解得，fn=9，fc=fn+nc=12，foe=fce=90°，f、o、c、e四点共圆，gfc=goe，又g=g，gfcgoe，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键8如图，正方形中，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，则的最小值为_【答案】【分析】由已知可得ae=3，de=6，又ab=9，

8、由勾股定理得be=，由，m为pf中点，可知m为四边形bfep外接圆的圆心，be为圆m的弦，故圆心m在线段be的垂直平分线上，作线段be的垂直平分线gh交be于g，交cd于h，过点d作于m，此时的线段dm即为所求最小值，过点e作于n，则四边形egmn为矩形，可得，ge=mn，可证，可得，代入数据得：dn=，又mn=eg=，可得dm的长度【详解】，ad=ab=9，ae=3，de=6，又ab=9，be=，b、f、e、p四点共圆，且pf为直径，m为pf中点，m为四边形bfep外接圆的圆心，e、b为定点，be为圆m的弦，圆心m在线段be的垂直平分线上，如下图，作线段be的垂直平分线gh交be于g，交cd

9、于h，过点d作于m，此时的线段dm即为所求最小值，过点e作于n，则四边形egmn为矩形，ge=mn,，又，即，解得：dn=，be=，eg= ，mn=，dm=dn+mn=+=【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键三、解答题9如图，等腰rtabc中，acb90°，d为bc边上一点，连接ad（1）如图1，作bead延长线于e，连接ce，求证：aec45°；（2）如图2，p为ad上一点，且bpd45°，连接cp若ap2，求apc的面积；若ap2bp，直接写出sinacp的值为_【答案】（1）

10、证明见解析；（2）apc的面积1；【分析】（1）由题意可证点a，点b，点e，点c四点共圆，可得aecabc45°；（2）通过证明apbceb，可求ce，由等腰直角三角形的性质可求cf1，即可求解；过点b作bead，交ad的延长线于点e，过点c作cfad于f，过点p作phac于h，设ap2a，则bpa，可得cea，cfefa，bepea，由勾股定理可求ac2，cp2，利用面积法可求ph2，即可求解【详解】证明：（1）等腰rtabc中，acb90°，acbc，abccab45°，abbc，bead，aeb90°acb，点a，点b，点e，点c四点共圆，aeca

11、bc45°；（2）如图2，过点b作bead，交ad的延长线于点e，过点c作cfad于f，bpd45°，bead，pbe45°abc，abpcbe，aeb90°acb，点a，点b，点e，点c四点共圆，baebce，aecabc45°，apbceb，ce，cfad，aec45°，fcecef45°，cfefce1，apc的面积×ap×cf1；如图，过点b作bead，交ad的延长线于点e，过点c作cfad于f，过点p作phac于h，设ap2a，则bpa，由可知，cea，cfefa，bpa，bpe45°

12、，bep90°，bepea，afaeef2a+aaa+a，pfaa，cp2cf2+pf2a2+（aa）2a2a2，ac2af2+cf2a2+（a+a）2a2+a2，sacp×ac×ph×ap×cf，（acph）2（apcf）2，ph2a2，（sinacp）2，sinacp，故答案为：【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键10在边长为12cm的正方形abcd中，点e从点d出发，沿边dc以1cm/s的速度向点c运动

13、，同时，点f从点c出发，沿边cb以1cm/s的速度向点b运动，当点e达到点c时，两点同时停止运动，连接ae、df交于点p，设点e f运动时间为t秒回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，ef的长等于cm?(2)如图2，在点e、f运动过程中，求证：点a、b、f、p在同一个圆(o)上；是否存在这样的t值，使得问题中的o与正方形abcd的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心o的运动的路径长为_【答案】（1）t=4或8；（2）证明见解析；存在，t=3或12；6cm【分析】（1）由题意易得de=cf=t，则有ec=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）

14、由题意易证adedcf，则有cdf=dae，然后根据平行线的性质可得apf=90°，进而可得b+apf=180°，则问题得证；由题意可知当o与正方形abcd的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与ad相切时，一是当圆与边dc相切时；由动点e、f在特殊位置时得出圆心o的运动轨迹，进而求解即可【详解】解：（1）由题意易得：de=cf=t，四边形abcd是正方形，ab=cd=bc=ad=12cm，c=b=adc=dab=90°， ec=12-t， ef的长等于cm，在rtcef中，即解得；（2）由（1）可得ab=cd=bc=ad=12cm，c=b=adc=

15、dab=90°，de=cf=t，adedcf，cdf=dae，cdf+pda=90°，dae+pda=90°，adp=apf=90°，apf+b=180°，由四边形apfb内角和为360°可得：pab+pfb=180°，点a、b、f、p在同一个圆(o)上；由题意易得：当o与正方形abcd的一边相切时，只有两种情况；a、当o与正方形abcd的边ad相切时，如图所示：由题意可得ab为o的直径，t=12；b、当o与正方形abcd的边dc相切于点g时，连接og并延长交ab于点m，过点o作ohbc交bc于点h，连接of，如图所示：og

16、dc，gmab，hf=hb，四边形ombh、gohc是矩形，oh=bm=gc，og=hc，ab=bc=12cm，oh=6，cf=t，bf=12-t，在rtfoh中，即，解得：；综上所述：当或t=12时，o与正方形abcd的边相切；由（1）（2）可得：当点e与点d重合及点f与点c重合时，圆心在正方形的中心上；当点e与点c重合及点f与点b重合时，圆心在ab的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：op即为圆心的运动轨迹，即op=6cm故答案为6cm【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题11已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得（1

17、）证明：；（2）证明：；（3）若，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）通过得a，d，f，c四点共圆，得到，结合，证得；（2）通过，证得；（3）利用勾股定理求得ad，bd，cd，在中，求出de，ae，得出，借助，求得，再用，得到，最后【详解】解：（1）四点共圆又（2）由（1）又即 （3）中，而同理利用得到【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键12四边形内接于圆，连接(1)求证：； (2)求证：； (3)如图 2，点是上一点，连接并延长交的延长线于点，连接交

18、圆于点，求的长【答案】(1) 见解析； (2) 见解析；(3) 【分析】（1）根据题意可得，根据圆的内接四边形对角互补即可得证；（2）过点作交延长线于点p，易证bdp为等腰直角三角形，通过“角边角”证明，则，进而可得证；（3）连接，过点作交延长线于点，延长点，使，连接，易证，设则，整理可得，根据题意得到相关线段的长，在r中根据勾股定理可得，根据圆周角定理可得，得到，进而求得cg的长，最后得到答案.【详解】解：，；过点作交延长线于点p，（asa），；连接，过点作交延长线于点，延长点，使，连接，易证，设则，在r中根据勾股定理可得，即，.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，全等三角形的判定与性质，相似

19、三角形的判定与性质，综合性较强，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，构造适当辅助线帮助解题.13已知：内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连接 （1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作于点，连接，交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，过点的切线交的延长线于点，连接，交的延长线于点，连接，点为上一点，连接，若，求的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）延长bo交于g，连接cg，根据切线的性质可得可证dbccbg=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证cbgg=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得dab=g，从而证出结论；（

20、2）在mb上截取一点h，使am=mh，连接dh，根据垂直平分线性质可得dh=ad，再根据等边对等角可得dha=dah，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出abc=c，可得ab=ac，再根据垂直平分线的判定可得ao垂直平分bc，从而证出结论；（3）延长cf交bd于m，延长bo交cq于g，连接oe，证出tanbge=tanecf=2，然后利用aas证出cfnbon，可设cf=bo=r，on=fn=a，则oe=r，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形obpe为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据，即可分别求出a和cf【详解】解：（1）延长bo交于g，连接cgbd是的切线obd=90&#

21、176;dbccbg=90°bg为直径bcg=90°cbgg=90°dbc=g四边形abgc为的内接四边形dab=gdab=dbc（2）在mb上截取一点h，使am=mh，连接dhdm垂直平分ahdh=addha=dah，ad=bhdh=bhhdb=hbddha=hdbhbd=2hbd由（1）知dab=dbcdha=dab=dbcdbc =2hbddbc =hbdabchbd=abc，dbc=2abcdab=2abcdab=abccabc=cab=ac点a在bc的垂直平分线上点o也在bc的垂直平分线上ao垂直平分bc（3）延长cf交bd于m，延长bo交cq于g，连接

22、oe， dmc=90°obd=90°dmc=obdcfobbge=ecf，cfn=bon，tanbge=tanecf=2由（2）知oa垂直平分bccnf=bno=90°，bn=cncfnboncf=bo，on=fn，设cf=bo=r，on=fn=a，则oe=roq=2acfobqgoqcf即og=过点o作oebg，交pe于eoe=og·tanbge=r=oe点e与点e重合eog=90°boe=90°pb和pe是圆o的切线obp=oep=boe=90°，ob=oe=r四边形obpe为正方形boe=90°，pe=ob=

23、rbce=boe=45°nqc为等腰直角三角形nc=nq=3a，bc=2nc=6a在rtcfn中，cf=pqbcpqe=bcgpebgpeq=bgcpqebcg即解得：pq=4a，4a2a=解得：a=cf=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键14如图，等腰三角形abc中，bac=120°，ab=3（1）求bc的长（2）如图，点d在ca的延长线上，deab于e，dfbc于f，连ef求ef的最小值【答案】（1）bc=；（

24、2）ef的最小值为【分析】（1）过点a作ambc于点m，根据等腰三角形的性质得b=30°，bm=cm，由直角三角形的性质得bm=，进而即可求解；（2）连接bd，取bd的中点o，连接oe，of，易得b，d，e，f四点共圆，从而得oef是等边三角形，进而得ef=bd，由bdcd时， bd的值最小，进而即可求解【详解】（1）过点a作ambc于点m，等腰三角形abc中，bac=120°，ab=3，b=(180°-120°)÷2=30°，bm=cm，bm=3÷2×=，bc=2 bm=2×=3；（2）连接bd，取bd

25、的中点o，连接oe，of，deab于e，dfbc于f，在rtbdf与rtbde中，ob=od=oe=of=bd，b，d，e，f四点共圆，eof=2ebf=2×30°=60°，oef是等边三角形，ef=of=bd，c=ebf =30°，当bdcd时，bd=bc=，此时，bd的值最小，ef的最小值=bd =×=【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键15如图1，抛物线经过原点，两点（1）求的值；（2）如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；（3）如图3，在（

26、2）的条件下，过点的直线与轴交于点，作，连接交抛物线于点，点在线段上，连接、，交于点，若，求点的坐标【答案】（1）；（2）点，；（3）点，【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；（2）过点作于点，设点，结合，列出关于m的方程，即可求解；（3）连接，易得直线解析式为：，点，根据三角形内角和定理与外角的性质，得点，点，点，点四点共圆，从而得，进而得点，过点，点，点，点四点的圆的圆心，设点，根据两点间的距离公式，列出关于a，b的方程，得，可得直线解析式为：，进而即可得到点q的坐标【详解】（1）抛物线经过原点，两点，；（2）如图2，过点作于点，抛物线解析式为：点是第一象限内抛物线上一点，设点，点，

27、；（3）连接，直线过点，直线解析式为：，当，点，且，点，点，点，点四点共圆，设点，点设过点，点，点，点四点的圆的圆心，设点，由组成方程组可求：，设直线解析式为：，且过点，直线解析式为：，（不合题意舍去），点，【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数以及几何图形的综合，掌握圆的内接四边形的性质以及两点间的距离公式，是解题的关键16定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角已知四边形是圆美四边形 （1）求美角的度数；（2）如图1，若的半径为5，求的长；（3）如图2，若平分，求证：【答案】（1）60°；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据美角的定义可得，然

28、后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；（2）连接do并延长，交与点e，连接be，根据同弧所对的圆周角相等可得e=a=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得dbe=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；（3）延长cb至f，使bf=dc，连接af、bd，先证出abd为等边三角形，然后利用sas证出abfadc，从而得出af=ac，f=dca=60°，再证出acf为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论【详解】解：（1）根据题意可得：，而ac=180°a=60°（2）连接do并延长，交与点e，连接bee=a=60°de为的直径，的半径为5，dbe=90°