2.6三角函数在电工学中的应用

1、. . 2.6 三角函数在电工学中的应用旧课复习： 正弦定理、余弦定理: ccbbaasinsinsin. abccbacos2222; bcaacbcos2222; .cos2222cabbac新课引入：1.分析正弦交流电流的变化规律举例我们知道 ,正弦交流电的电流强度i随时间t变化的规律为)sin(0tiim. 其 中mi-电 流 强 度 的 最 大 值 ,称 为 幅 值 (或 峰 值 ); -称为角频率 (或圆频率 ),它表示电流变化的快慢,其单位是“弧度/秒” ; 0-称为 初相位 (或初位相或初相);0t称为t时刻的 相位 (或位相 ), 它是发电机转子的绕组面在t时刻所在位置与定子

2、磁场方向所成的角(图 2-12). 这里,i关于t是正弦型函数 ,因此我们可以利用正弦型函数的图象(正弦波形 )和性质来具体分析正弦交流电流i随时. . 间 t 的变化情况. 例1 图2-13画 出了两 种 正 弦 交流 电 的 电 流强度i随时间t变化在一个周期里的图象,其中横坐标表示t. 根据图 2-13, 回答下列问题 : (1)1i与2i的幅值各为多少 ? (2) 1i与2i的周期相等吗 ?是多少 ? (3) 1i与2i哪个先达到最大值 ? 解: (1)从图 2-13 中可以看出 , 1i的幅值为 30a,2i的幅值为 20a. (2) 图 2-13中,横轴代表t ,从图中看出 , t

3、 每增加 (减少) , 1i与2i函数值都不变 .因此1i与2i的周期相同 ,都等于2. (3) 从图2-13中看出 ,当6t时 ,1i达到最大值; 当32t时, 2i达到最大值 .因此1i先达到最大值 . 从图 2-13 中还可以看出 , 1i的初相位是3,2i的初相位是. . 6. 根据上述分析 ,可以写出1i与2i的解析表达式如下 : 3sin301ti, 6sin202ti, (可以确定的值,这里从略 ) 正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为周期( 单 位 :秒 ,记 作s),用t表 示 ,根 据 正 弦 型 函 数 的 周 期性,2t:单位时间内交流电完成周期性变化的次数称为频

4、率 (单位 :赫兹 ,记作hz),用f表示 .显然tf1,从而f2.两个同频率的交流电的相位角或初相位角之差,称为 相位差 . 以上电流1i与2i是两个同频正弦电流,它们的相位差是0263. 我们称1i比2i的相位超前2,或者说2i比1i的相位 滞后2.如上所说 , 1i比2i先达到最大值 . 例 2 已知正弦交流电流i(安)与时间t(秒)的函数关系为4100sin30ti(0t). . . (1)试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初相位各是多少? (2)设0t秒、0025.0t秒时电流的瞬时值分别为0i、1i,试比较0i与1i哪个较大 ? (3)试画出它在一个周期内的简图,并指出电流在这个

5、周期内的变化情况 . 解:(1)角频率100(rad/s), 频率5021002f(hz), 周期02.01ft(s), 幅值30mi(a), 初相位40(rad). (2)当0t时,215i(“ - ”号表示流向),所以2150i(安);当0025.0t时, 0i,所以01i(安).因此, 0i比1i大. (3) 列表4100 t=x 02232t=1004x00250.00750.01250.01750.02250.sin30i(4100 t) 0300300描点画图 (图 2-14) o30300025.00175.00125.00225.00075.0)(安培i)(秒t. . 从图 2

6、-14 看出,在前半个周期内 ,当时间从 0,0025 秒连续变化到 0.0075 秒时,电流从 0 安逐渐增大到幅值30 安; 当时间从 0,0075 秒连续变化到0.0125 秒时,电流从 30 安逐渐减小到幅值0 安. 在后半个周期内 ,电流的变化规律与前半个周期内的情形相似,但流向相反 . 例 3 图 2-15 是一个正弦交流电流的图象,根据图象求出它的周期、频率、幅值和初相位，并写出电流i关于时间t的函数关系式 . 解: 根据图象可知 , 电流的周期2.005.025.0t(s). 所以频率52 .011tf(hz). 角频率102 f(rad/s) 由图又知 , 幅值10mi(a)

7、,起点坐 标 为 (-0.05,0). 由 正 弦 型 函 数 起 点 坐 标 的 求 法 , 有图 2-15 05.0100于是 , 初相20(rad) 因此 ,该正弦交流电的函数关系式为25.015. 02.01.005.0a/is/to1010. . sin10i(210 t). 正弦交流电的电压v随时间 t 变化的规律为sinmvv（0t） ，其中mv是电压的最大值 ,称为幅值 (或峰值 ),同样,称为角频率(或圆频率 ),0称为初相位 (或初相 ),0t称为t时刻的相位. 类似地 ,正弦电压的周期2t(单位 :s),频率tf1(单位:hz),f2(单位:rad/s) 在电工学中 ,

8、正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量.显然 ,正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定 . 课堂练习：习题2.6 的 1、2、3 题（请学生回答）2.求两个同频率的正弦交流电合成举例在电工学里 ,对交流电路的分析过程中,经常遇到对 同频率的正弦量求和的运算,称之为 同频率正弦量的合成.例如: 设有两个同频率的正弦电流(单位:a) )sin(111tiim, )sin(222tiim, 把它们合成 ,即. . )sin()sin(221121titiiiimmi又称为电流1i与2i的总电流 . 例 4 求两个同频率的正弦电流3100sin31ti与6100sin2ti相加的总电流 . 解: 设1i与

9、2i的合成电流为i,则21iii6100sin3100sin3tt6sin100cos6cos100sin3sin100cos3cos100sin3tttttt100cos6sin3sin3100sin6cos3cos3tt100cos2100sin3tt100cos72100sin737)100sin(70t, 其中32arctan0.因此合成电流i也是正弦电流 ,且与1i、2i同频率 . 由上可见 ,用和角的正弦公式能求出两个同频率的正弦量的合成结果,但计算非常繁琐.下面将给出一种较简单的解法 . 根据 2.3 节讨论的结果可知 ,正弦量除了用正弦型函数或正弦波形表示之外,还可以用旋转向量

10、来表示.画旋转向量. . 来表示正弦量,是繁琐的 .在电工学中,通常只 用初始位置(0t)的向量来表示一个正弦量,它的长度等于正弦量的幅值,它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位.但是我们应该具有这样的概念:这个向量是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的,它在纵轴上的投影(纵坐标 )表示正弦量的瞬时值 . 在实际问题中我们所涉及的往往是正弦量的有效值.因此为了方便起见,常使向量的长度等于正弦量的有效值.显然,这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了. 由电工学可知 ,正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关系为:2mii,2mvv. 为了与物理向量(例如电场力、电场强度等)区别 ,表示随时间

11、而变化的正弦量的向量我们称为相量 ,并在所注文字上方打一“”. 例如电流和电压的幅值相量 分别记作mi和mv,它们的 有效值相量 分别记作i和v. 由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定,因此按照各个同频率的正弦量的幅值(或有效值 )和初相位画出若干个相量的图形称为相量图. 由 2.3 节讨论亦可知 , 两个同频率的正弦量相加(相同物理量相加),其结果是一个同频率的正弦量 ,它们的相量之和 ,就是它们的和的相量.因此,我们可以利用两个同频率的正弦量(相同物理量 )的相量图 ,正弦电流0sintiim相量mi)(i或. 对应正弦电压0sintvvm相量mv)(v或. 对应. . 采用平行四边形

12、法则求它们的和相量, 再通过解三角形便可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相位,从而得出两个同频率的正弦量的合成结果. 例 5 已知两同频率的正弦电流sin81i(60t)安和sin62i(30t)安,求21iii. 解: 先作1i和2i的幅值相量mi1和mi2,以该两相量为邻边作一平行四边形, 平行四边形的对角线即为两正弦电流之和i的幅值相量mimi1mi060023x030mi2(图 2-16). 因为1i和2i的相位差恰为90,所以i的幅值而i的初相位376086arctan60, 所以sin10i(23t)安. 例 6 在图 2-17 的电路中 ,设sin11mii(1t)=sin

13、100(45t)安, isin22mii(2t)=sin60(30t)安, 试求总电流i. 解: 根据表示正弦量的几种方法对本题分别进行计算如下 : . . (1)用三角函数式求解sin121miiii(1t)+sin2mi(2t) mi1(11sincoscossintt)+mi2(22sincoscossintt) =(2211coscosmmii)tsin+(2211sinsinmmii)tcos设sinmii(t)=titimmcossinsincos2211coscoscosmmmiii, 2211sinsinsinmmmiii, 因此总电流i的幅值为2221122211sinsin

14、coscosmmmmmiiiii, 电流i的初相位为22112211coscossinsinarctanmmmmiiii. 将本题中的1001mi安、602mi安、451、302代入，则得1297 .407 .122307.70527 .702222mi安，. . 02187.1227.40arctan527.70307.70arctan. 故得sin129i(0218t)安. (2)用正弦波形求解先作出表示电流1i和2i的正弦波形 ,而后将两波形的纵坐标相加 ,即得总电流i的正弦波形 ,从此波形上便可量出i的幅值和初相位 (图 2-18). (3)用相量图求解先作出表示电流1i和2i的幅值相

15、量mi1和mi2,而后以mi1和mi2为邻边作一平行四. . 边形 ,其对角线即为总电流i的幅值相量mi, 它的长度即为幅值 ,它与横轴正的夹角即为初相位(图 2-19或图 2-18 缩小版 ). 从向量图上可以量出i的幅值和初相 . 4 用相量图通过解三角形求解先作出表示电流1i和2i的幅值相量mi1和mi2,而后以mi1和mi2为邻边作一平行四边形,其对角线即为总电流i的幅值相量mi,它的长度即为幅值,它与横轴正方向间的夹角即为初相位(图 2-19). 因为1i与2i的相位差4521(-30)=75所以 ,由余弦定理得cos22122212mmmmmiiiii(75180) 105cos6

16、01002601002216706, 因此 , i的幅值12916706mi安; 又根据正弦定理 ,有sin(30)=7488.0129105sin100105sin1mmii, 所以i的初相位9218307488.0arcsin. 于是sin129i(9218t)安. 最后指出 ,如果用相量表示正弦交流电,则正弦交流电路中的希尔荷夫定律具有相量形式.本堂课作业：习题2.6 的 4、5 题本堂课归纳小结： 正弦交流电的电流强度i及电压v对时. . 间 t的函数关系分别为 : sinmii(0t) (0,0mi); sinmvv(0t) (0,0mv), 它们都是正弦型函数.掌握了正弦型函数图象和性质,也就掌握了正弦交流电随时间变化的在电工学中