《中考课件初中数学总复习资料》类型三 二次函数与图形面积问题（解析版）

1、类型三 二次函数与图形面积问题例1、如图，已知抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于点c（1）求a、b、c三点的坐标;（2）过点a作apcb交抛物线于点p，求四边形acbp的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点m，过m作mg轴于点g，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似若存在，请求出m点的坐标；否则，请说明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 a b c （2）oa=ob=oc= bac=aco=bco=apcb， pab= 过点p作pe轴于e，则ape为等腰直角三角形令oe=，则pe= p点p在抛物线上 gmcbypa解得，（不合题意，舍去） pe=四边形acbp的面积=abo

2、c+abpe=(3) 假设存在pab=bac = paacmg轴于点g， mga=pac =在rtaoc中，oa=oc= ac=在rtpae中，ae=pe= ap= 设m点的横坐标为，则m 点m在轴左侧时，则() 当amg pca时，有=ag=，mg=即 解得（舍去） （舍去）() 当mag pca时有=即 解得：（舍去） m gmcbypa 点m在轴右侧时，则 () 当amg pca时有=ag=，mg= 解得（舍去） m () 当magpca时有= 即 解得：（舍去） m 存在点m，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似m点的坐标为，例2、如图,在平面直角坐标系中，abc是直角三角形,

3、acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，抛物线经过a，b两点，抛物线的顶点为d（1）求b,c的值；（2）点e是直角三角形abc斜边ab上一动点(点a、b除外)，过点e作x轴的垂线交抛物线于点f，当线段ef的长度最大时，求点e的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点p，使efp是以ef为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】解：（1）由已知得：a（-1，0） b（4，5）二次函数的图像经过点a（-1，0）b(4,5)解得：b=-2 c=-3（2）如题图：直线ab经过点a（-1，0） b(4,5)直线ab的

4、解析式为：y=x+1二次函数设点e(t， t+1),则f（t，）ef= =当时，ef的最大值=点e的坐标为（，）（3）如题图：顺次连接点e、b、f、d得四边形 可求出点f的坐标（，）,点d的坐标为（1，-4） s=s+s = = 如题备用图：)过点e作aef交抛物线于点p,设点p(m,)则有： 解得:, ,）过点f作bef交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点f重合，舍去）综上所述：所有点p的坐标：，（. 能使efp组成以ef为直角边的直角三角形例3、如图,已知二次函数的图象与轴交于a、b两点，与轴交于点p，顶点为c（1，2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点c关于轴的对称点d，顺次

5、连接a、c、b、d.若在抛物线上存在点e，使直线pe将四边形abcd分成面积相等的两个四边形，求点e的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点f，使得pef是以p为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点f的坐标及pef的面积；若不存在，请说明理由.【解析】（1）的顶点为c（1，2）， （2）设直线pe对应的函数关系式为由题意，四边形acbd是菱形. 故直线pe必过菱形acbd的对称中心m由p(0，1)，m（1，0），得从而， 设e(，)，代入，得 解之得，根据题意，得点e(3，2) （3）假设存在这样的点f，可设f(，)过点f作fg轴，垂足为点g.在rtpom和rtfgp中，omp+o

6、pm=90°，fpg+opm=90°，omp=fpg，又pom=pgf，pomfgp. 又om=1，op=1，gp=gf，即解得，根据题意，得f(1，2)故点f(1，2)即为所求 例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为q，且与轴交于点c，与轴交于a、b两点（点a在点b的右侧），点p是该抛物线上一动点，从点c沿抛物线向点a运动（点p与a不重合），过点p作pd轴，交ac于点d(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当adp是直角三角形时，求点p的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点e在轴上，点f在抛物线上，问是否存在以a、p、e、f为顶点的平行四边形？若存在，求点f的坐标；若不存在，

7、请说明理由【解析】解：（1）抛物线的顶点为q（2，1）设将c（0，3）代入上式，得， 即（2）分两种情况：当点p1为直角顶点时,点p1与点b重合(如图)令=0, 得解之得, 点a在点b的右边, b(1,0), a(3,0)p1(1,0) 解:当点a为apd2的直角顶点是(如图)oa=oc, aoc=, oad2=当d2ap2=时, oap2=, ao平分d2ap2又p2d2轴, p2d2ao, p2、d2关于轴对称设直线ac的函数关系式为将a(3,0), c(0,3)代入上式得, d2在上, p2在上,设d2(,), p2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 p2的坐标为p2(2,1)(即为抛物线顶点)p点坐标为p1(1,0), p2(2,1) (3)解: 由题(2)知,当点p的坐标为p1(1,0)时,不能构成平