《中考课件初中数学总复习资料》考点17 特殊的平行四边形-备战2020年中考数学考点一遍过

1、考点17 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2sabd=4saob（如图）2矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形二、菱形的性质与判定1菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半2菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形三、正方形的性质与判定1正方形的性质：（1）四条边都相等，四

2、个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2sabd=4saob2正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得

3、到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一 矩形的性质与判定1矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等2利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形典例1 （2019·陕西初三期中）如图，矩形abcd的对角线交于点o，若bao=55°，则aod等于a105°b110°c115°d120°【答案】b【解析】四边形

4、abcd是矩形，oa=obbao=abo=55°aod=bao+abo=55°+55°=110°故选b典例2 （2019·阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形abcd的对角线ac与数轴重合（点c在正半轴上），ab=5，bc=12，点a表示的数是1，则对角线ac、bd的交点表示的数a5.5b5c6d6.5【答案】a【解析】连接bd交ac于e，如图所示：四边形abcd是矩形，ae=6.5，点a表示的数是1，oa=1，oe=aeoa=5.5，点e表示的数是5.5，即对角线ac、bd的交点表示的数是5.5；故选a.1（2019·陕西师大附中初三

5、月考）如图，四边形abcd的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是aab=bcbac垂直bdca=cdac=bd2（2019·云南初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是a平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形b平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形c平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形d平行四边形矩形菱形正方形平行四边形考向二 菱形的性质与判定1菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一

6、组对角2菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是a两组对边分别平行b两组对边分别相等c一组邻边相等d对角线互相平分【答案】c【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现a，b，d两者均具有，而c只有菱形具有平行四边形不具有，故选c【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形abcd的对角线互相垂直，且满足ao=co，请你添加一个适当的条件_，使四边形abcd成为菱形（只需添加一个即可）【答案】bo=do（答案不唯一）【解析】四边形abcd中，ac、bd互相垂直，若四边形abcd是菱形，需添加

7、的条件是：ac、bd互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：bo=do（答案不唯一）3已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为a45°，135°b60°，120°c90°，90°d30°，150°4如图，在abc中，ad是bac的平分线，deac交ab于e，dfab交ac于f，求证：四边形aedf是菱形考向三 正方形的性质与判定1正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质2正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形证明四

8、边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形典例5（2020·宁夏初二期中）面积为92的正方形以对角线为边长的正方形面积为a182b202c242d282【答案】a【解析】正方形的面积为9cm2，边长为3cm，根据勾股定理得对角线长=cm，以为边长的正方形的面积=cm2.故选a典例6（2019·重庆初三期中）如图，在abc中，b=90°，ab=bc=4，把abc绕点a逆时针旋转45°得到ade，过点c作cfae于f，de交cf于g，则四边形adgf的周长是a8b4+4c8+d8【答案】d【解析】如图，连接ag，b

9、=90°，ab=bc=4，cab=acb=45°，ac=4，把abc绕点a逆时针旋转45°得到ade，ad=ab=4，ead=cab=45°，fab=90°，cd=acad=44，b=90°=fab，cfae，四边形abcf是矩形，且ab=bc=4，四边形abcf是正方形，af=cf=ab=4=ad，afc=fcb=90°，gcd=45°，且gdc=90°，gcd=cgd=45°，cd=gd=44，af=ad，ag=ag，rtagfrtagd（hl），fg=gd=44，四边形adgf的周长=af

10、+ad+fg+gd=4+4+44+44=8，故选d5（2019·山东初三期中）如图，在正方形abcd内一点e连接be、ce，过c作cfce与be延长线交于点f，连接df、dece=cf=1，de=，下列结论中：cbecdf；bfdf；点d到cf的距离为2；s四边形decf=+1其中正确结论的个数是a1b2c3d46（2020·陕西初三期末）如图，在正方形abcd中，ae、bf交于点g，下列结论中错误的是abcd考向四 中点四边形1中点四边形一定是平行四边形；2中点四边形的面积等于原四边形面积的一半典例7如图，任意四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上

11、的点，对于四边形efgh的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是a当e，f，g，h是各边中点，且ac=bd时，四边形efgh为菱形b当e，f，g，h是各边中点，且acbd时，四边形efgh为矩形c当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh可以为平行四边形d当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh不可能为菱形【答案】d【解析】a当e，f，g，h是四边形abcd各边中点，且ac=bd时，存在ef=fg=gh=he，故四边形efgh为菱形，故a正确；b当e，f，g，h是四边形abcd各边中点，且acbd时，存在efg=fgh=ghe=90°，

12、故四边形efgh为矩形，故b正确；c如图所示，当e，f，g，h不是四边形abcd各边中点时，若efhg，ef=hg，则四边形efgh为平行四边形，故c正确；d如图所示，当e，f，g，h不是四边形abcd各边中点时，若ef=fg=gh=he，则四边形efgh为菱形，故d错误，故选d7顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是a平行四边形 b菱形c矩形 d梯形 8如图，我们把依次连接任意四边形abcd各边中点所得四边形efgh叫中点四边形若四边形abcd的面积记为s1，中点四边形efgh的面积记为s2，则s1与s2的数量关系是as1=3s2 b2s1=3s2 cs1=2s2 d3s1=4s

13、21如图，矩形abcd的对角线ac与bd相交于点o，adb=30°，ab=4，则oc=a5b4c3.5d32（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd交于点o，已知aod=120°，ac=16，则图中长度为8的线段有a2条b4条c5条d6条3如图，在长方形abcd中，ab=3，bc=4，若沿折痕ef折叠，使点c与点a重合，则折痕ef的长为abcd15 4如图，菱形abcd的对角线交于点o，ac=8 cm，bd=6 cm，则菱形的高为acmbcmccmdcm5（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在

14、菱形abcd中，adc=72°，ad的垂直平分线交对角线bd于点p，垂足为e，连接cp，则cpb的度数是a108°b72°c90°d100°6（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形abcd中，点e，f分别在边bc，cd上，且be=cf连接ae，bf，ae与bf交于点g下列结论错误的是aae=bfbdae=bfccaeb+bfc=90°daebf7如图，矩形abcd中将其沿ef翻折后，d点恰落在b处，bfe=65°，则aeb=_.8（2018·陕西初三期末）如图，p为正方形abcd内一

15、点，且bp=2，pc=3，apb=135°，将apb绕点b顺时针旋转90°得到cpb，连接pp，则ap=_9如图，在abcd中，ab=6，bc=8，ac=10（1）求证：四边形abcd是矩形；（2）求bd的长10（2020·内蒙古初三期末）如图，abc中，ab=ac=1，bac=45°，aef是由abc绕点a按顺时针方向旋转得到的，连接be，cf相交于点d（1）求证：be=cf；（2）当四边形acde为菱形时，求bd的长11（2020·呼和浩特市第十三中学初二期中）如图，abc中，点o是ac边上的一个动点，过点o作直线mnbc，交acb的平分线

16、于点e，交acb的外角平分线于点f（1）判断oe与of的大小关系？并说明理由；（2）当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当abc满足什么条件时，四边形aecf是正方形直接写出答案，不需说明理由1（2019·重庆）下列命题正确的是a有一个角是直角的平行四边形是矩形b四条边相等的四边形是矩形c有一组邻边相等的平行四边形是矩形d对角线相等的四边形是矩形2（2019·天津）如图，四边形为菱形，两点的坐标分别是，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于abcd203（2019·安徽）如图，在正方形abcd中，点e，f将对角线ac三等分，

17、且ac=12，点p在正方形的边上，则满足pe+pf=9的点p的个数是a0b4c6d8 4（2019湖北孝感）如图，正方形abcd中，点e.f分别在边cd，ad上，be与cf交于点g若bc=4，de=af=1，则gf的长为abcd5（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上若，则的长为_6（2019·浙江杭州）如图，把某矩形纸片abcd沿ef、gh折叠（点e、h在ad边上，点f、g在bc边上），使得点b、点c落在ad边上同一点p处，a点的对称点为点，d点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，

18、则矩形abcd的面积等于_.7（2019湖北十堰）如图，已知菱形abcd的对角线ac，bd交于点o，e为bc的中点，若oe=3，则菱形的周长为_8（2019湖南长沙）如图，正方形abcd，点e，f分别在ad，cd上，且de=cf，af与be相交于点g（1）求证：be=af；（2）若ab=4，de=1，求ag的长9（2019湖南怀化）已知：如图，在abcd中，aebc，cfad，e，f分别为垂足（1）求证：abecdf；（2）求证：四边形aecf是矩形10（2019湖南岳阳）如图，在菱形abcd中，点e.f分别为adcd边上的点，de=df，求证：1=211（2019福建）如图，点e、f分别是矩

19、形abcd的边ab、cd上的一点，且df=be求证：af=ce12（2019江西）如图，四边形abcd中，ab=cd，ad=bc，对角线ac，bd相交于点o，且oa=od求证：四边形abcd是矩形13（2019浙江宁波10分）如图，矩形efgh的顶点e，g分别在菱形abcd的边ad，bc上，顶点f，h在菱形abcd的对角线bd上（1）求证：bg=de；（2）若e为ad中点，fh=2，求菱形abcd的周长变式拓展1【答案】d【解析】结合选项可知，添加ac=bd，四边形abcd的对角线互相平分，四边形abcd是平行四边形，ac=bd，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，四边形abcd是矩

20、形，故选d2【答案】a【解析】点e从d点向a点移动过程中，当eod<15°时，四边形afce为平行四边形，当eod=15°时，acef，四边形afce为菱形，当15°<eod<75°时，四边形afce为平行四边形，当eod=75°时，aef=90°，四边形afce为矩形，当75°<eod<105°时，四边形afce为平行四边形，故选a3【答案】b【解析】如图，由题意知ab=bc=ac，ab=bc=ac，abc为等边三角形，即根据平行四边形的性质，故选b4【解析】deac，dfab，四边

21、形aedf为平行四边形，fad=eda，ad是bac的平分线，ead=fad，ead=eda，ae=ed，四边形aedf是菱形5【答案】b【解析】四边形abcd是正方形，bc=cd，bcd=90°，cfce，ecf=bcd=90°，bce=dcf，在bce与dcf中，bcedcf（sas），故正确；bcedcf，cbe=cdf，dfb=bcd=90°，bfed，故正确，过点d作dmcf，交cf的延长线于点m，ecf=90°，fc=ec=1，cfe=45°，dfm+cfb=90°，dfm=fdm=45°，fm=dm，由勾股定理

22、可求得：ef=，de=，由勾股定理可得：df=2，ef2+be2=2be2=bf2，dm=fm=，故错误，bcedcf，sbce=sdcf，s四边形decf=sdcf+sdce=secf+sdef=safp+spfb=，故错误，故选b6【答案】c【解析】在正方形abcd中，ab=bc，abe=c=90，又be=cf，abebcf（sas），ae=bf，bae=cbf，fbc+beg=bae+beg=90°，bge=90°，aebf故a、b正确；cf=2fd，cf:cd=2:3，be=cf，ab=cd，ebg+abg=abg+bag=90°，ebg=bag，egb=

23、abe=90°，bgeabe，故c不正确,abebcf，sabe=sbfc，sabesbeg=sbfcsbeg，s四边形cegf=sabg，故d正确故选c7【答案】c【解析】顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选c8【答案】c【解析】如图，设ac与eh、fg分别交于点n、p，bd与ef、hg分别交于点k、q，e是ab的中点，f是bc的中点，efac，同理可证ehbd，ebkabm，aenebk，=，saen=sebk，=，同理可得=，=，=，=，四边形abcd的面积记为s1，中点四边形efgh的面积记为s2，则s1与s2的数量关

24、系是s1=2s2故选c考点冲关1【答案】b【解析】四边形abcd是矩形，ac=bd，oa=oc，bad=90°， adb=30°，ac=bd=2ab=8，oc=ac=4故选b2【答案】d【解析】ac=16，四边形abcd是矩形，dc=ab，bo=do=bd，ao=oc=ac=8，bd=ac，bo=od=ao=oc=8，aod=120°，aob=60°，abo是等边三角形，ab=ao=8，dc=8，即图中长度为8的线段有ao、co、bo、do、ab、dc共6条，故选d3【答案】b【解析】如图，连接af根据折叠的性质，得ef垂直平分ac，则设，则，在中，根据

25、勾股定理，得，解得在中，根据勾股定理，得ac=5，则ao=2.5在中，根据勾股定理，得根据全等三角形的性质，可以证明则故选b4【答案】b【解析】菱形abcd的对角线acbd，oa=ac=4 cm，ob=bd=3 cm，根据勾股定理，（cm）设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm故选b5【答案】b【解析】如图，连接ap，在菱形abcd中，adc=72°，bd为菱形abcd的对角线，adp=cdp=adc=36°.ad的垂直平分线交对角线bd于点p，垂足为e，pa=pd.dap=adp=36°.apb=dap+adp=72°.又菱形abcd

26、是关于对角线bd对称的，cpb=apb=72°.故选b.6【答案】c【解析】ad/bc，dae=aeb，be=cf，ab=bc，abe=bcf，abebcf，ae=bf，dae=bfc，fbc+bfc=90°，aeb=bfc，fbc+aeb=90°，aebf，所以a、b、d三个选项正确，aeb=bfc，故c选项错误，故选c.7【答案】50°【解析】如图所示，由矩形abcd可得adbc，1=bfe=65°，由翻折得2=1=65°，aeb=180°12=180°65°65°=50° 故答案

27、为：50°8【答案】1【解析】bp'c是由bpa旋转得到，apb=cp'b=135°，abp=cbp'，bp=bp'，ap=cp'，abp+pbc=90°，cbp'+pbc=90°，即pbp'=90°，bpp'是等腰直角三角形，bp'p=45°，apb=cp'b=135°，pp'c=90°，bp=2，pp=2，pc=3，cp'=1，ap=cp=1，故答案为19【解析】（1）ab=6，bc=8，ac=10，ab2+bc2=

28、ac2，abc=90°，四边形abcd是平行四边形，abcd是矩形（2）四边形abcd是矩形，bd=ac=10.10【解析】（1）aef是由abc绕点a按顺时针方向旋转得到的，ae=ab，af=ac，eaf=bac，eaf+baf=bac+baf，即eab=fac，在acf和abe中，acfabe，be=cf.（2）四边形acde为菱形，ab=ac=1，de=ae=ac=ab=1，acde，aeb=abe，abe=bac=45°，aeb=abe=45°，abe为等腰直角三角形，be=ac=，bd=bede=11【解析】（1）oe=of，理由如下：因为ce平分acb

29、，所以1=2，又因为mnbc，所以1=3，所以3=2，所以eo=co，同理，fo=co，所以oe=of（2）当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形，理由如下：因为oe=of，点o是ac的中点，所以四边形aecf是平行四边形，又因为cf平分bca的外角，所以4=5，又因为1=2，所以1=2，2+4=90°，即ecf=90°，所以平行四边形aecf是矩形（3）当abc是直角三角形时，即acb=90°时，四边形aecf是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形，又因为acb=90°，ce，cn分别是acb与ac

30、b的外角的平分线，所以1=2=3=4=5=45°，所以acmn，所以四边形aecf是正方形直通中考1【答案】a【解析】a有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；b四条边都相等的四边形是菱形，故b错误；c有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故c错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则d错误；故选a【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2【答案】c【解析】菱形abcd的顶点a，b的坐标分别为（2，0），（0，1），ao=2

31、，ob=1，acbd，由勾股定理知：，四边形为菱形，ab=dc=bc=ad=，菱形的周长为：故选c【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出ab的长是解题关键3【答案】d【解析】如图，过e点作关于ab的对称点e，则当e，p，f三点共线时pe+pf取最小值，eap=45°，eae=90°，又ae=ef=ae=4，pe+pf的最小值为ef=，满足pe+pf=9=，在边ab上存在两个p点使pe+pf=9，同理在其余各边上也都存在两个p点满足条件，满足pe+pf=9的点p的个数是8，故选d【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，

32、有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4【答案】a【解析】正方形abcd中，bc=4，bc=cd=ad=4，bce=cdf=90°，af=de=1，df=ce=3，be=cf=5，在bce和cdf中，bcecdf（sas），cbe=dcf，cbe+ceb=ecg+ceb=90°=cge，coscbe=cosecg=，cg=，gf=cfcg=5=，故选a【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明bcecdf是解本题的关键5【答案】【解析】如图，令ae与bf的交点为m.在正方形中，bad=d=，ba

33、m+fam=，在rt中，由折叠的性质可得，ab=bg，fba=fbg，bf垂直平分ag，am=mg，amb=，bam+abm=，abm=fam， ，am=，ag=，ge=13.【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6【答案】【解析】a'epf，a'ep=d'ph，又a=a'=90°，d=d'=90°，a'=d'，a'epd'ph，又ab=cd，ab=a'p，cd=d'p，a'p= d'p，设a'p=d'p=x，sa'ep：sd'ph=4：1，a'e=2d'p=2x，sa'ep=，a'p=d'p=2，a'e=2d'p=4，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.7【答案】24【解析】四边形abcd是菱形，ab=bc=cd=ad，bo=do，点e是bc的中点，oe是bcd的中位线，cd=2oe=2×3=6，菱形abcd的周长=4×6=24；故答案为：24【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形