《中考课件初中数学总复习资料》类型二 平移旋转折叠问题-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）

1、类型二 平移旋转折叠问题例1、如图,将三角形纸片abc沿de折叠,使点a落在bc边上的点f处,且debc,下列结论:bdf是等腰三角形;de=bc;四边形adfe是菱形;bdf+fec=2a.其中一定正确的个数是( ).a.1 b.2 c.3 d.4【解析】如图,分别过点d，e作bc的垂线dg，eh；连接af,由于折叠是轴对称变换知af与de垂直,因为debc，所以af与bc垂直,且am=mf,可以证明点d，e分别是ab,ac的中点,即de是abc的中位线,所以de=bc是正确的；由于折叠是轴对称变换知ad=df,ae=ef,所以da=db=df,所以bdf是等腰三角形是正确的；因dgafeh

2、,所以bdg=dam,又因为dg是等腰三角形bdf的高,所以bdf=2dam,同 理 cef = 2 eam, 所以 bdf+fec=2a是正确的；如图显然四边形adfe不是菱形,是错误的【答案】c例2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).【解析】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形； 把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知a是轴对称图形,且有1条对称轴,但不是中心对称图形；b是中心对称图形,不是轴对称图形；c是轴对称图形,有1条对称轴,但不

3、是中心对称图形；d既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴【答案】b例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形oab的顶点b的坐标为（2，0），点a在第一象限内，将oab沿直线oa的方向平移至oab的位置，此时点a的横坐标为3，则点b的坐标为 .【解析】作amx轴于点m.根据等边三角形的性质得oa=ob=2，aob=60°，在rtoam中,利用含30°角的直角三角形的性质求出om=1，am=，从而求得点a的坐标为（1，），直线oa的解析式为y=x,当x=3时，y=3,所以点a的坐标为（3，3），所以点a是由点a向右平移2个单位，向上平移23个单位后得到的，于是得点b的坐标

4、为（4,2）.【答案】（4,23）例4、在rtabc中,bac=90°,b=30°,线段ad是bc边上的中线,如图1,将adc沿直线bc平移,使点d与点c重合,得到fce,如图2,再将fce绕点c顺时针旋转,设旋转角为(0°90°),连接af,de(1)在旋转过程中,当ace=150°时,求旋转角的度数；(2)探究旋转过程中四边形adef能形成哪些特殊四边形？请说明理由【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：点e和点d在直线ac两侧；点e和点d在直线ac同侧；(2)在旋转过程中,总是存在ac=ce,dc=ce.由图形的对称性可知,将会

5、出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明【答案】：(1)在图1中,bac=90°,b=30°,ace=bac+b=120°如图2,当点e和点d在直线ac两侧时,由于ace=150°,=150°-120°=30°.当点e和点d在直线ac同侧时,由于acb=180°-bac-b=60°,dce=ace-acb=150°-60°=90°.=180°-dce=90°.旋转角为30°或90°(2)四边形ade

6、f能形成等腰梯形和矩形bac=90°,b=30°,ac=bc又ad是bc边上的中线,ad=dc=bc=ac.adc为正三角形当=60°时,如图3,ace=120°+60°=180°.ca=ce=cd=cf,四边形adef为矩形当60°时,acf120°,dce=360°-60°-60°-acf120°显然deafac=cf,cd=ce,2fac+acf=2cde+dce=180°.acf+dce=360°-60°-60°=240

7、6;,fac+cde=60°.daf+ade=120°+60°=180°.afde又deaf,ad=ef,四边形adef为等腰梯形例5、如图，矩形纸片abcd，将amp和bpq分别沿pm和pq折叠（apam），点a和点b都与点e重合；再将cqd沿dq折叠，点c落在线段eq上的点f处.（1）判断amp，bpq，cqd和fdm中有哪几对相似三角形？（2）如果am=1，sindmf=，求ab的长.【解析】（1）由矩形的性质得a=b=c=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得bpq=amp=dqc，所以ampbpqcqd；（2）先证明md=mq，然

8、后根据sindmf=dfmd=35，设df=3x，md=5x，再分别表示出ap，bp，bq，根据ampbpq，列出比例式解方程求解即可.解：（1）ampbpqcqd.四边形abcd是矩形，a=b=c=90°.由折叠的性质可知apm=epm，epq=bpq.apm+bpq=epm+epq=90°.apm+amp=90°，bpq=amp.ampbpq.同理：bpqcqd.根据相似的传递性可得ampcqd；（2）adbc，dqc=mdq.由折叠的性质可知dqc=dqm.mdq=dqm.md=mq.am=me，bq=eq，bq=mq-me=md-am.sindmf=，则设

9、df=3x，md=5x，则bp=pa=pe=，bq=5x-1.ampbpq，即，解得x=（舍去）或x=2，ab=6.例6、如图，在平面直角坐标系中，正三角形oab的顶点b的坐标为（2, 0），点a在第一象限内，将oab沿直线oa的方向平移至oba的位置，此时点a的横坐标为3，则点b的坐标为（ ）a（4，） b（3，） c（4，） d（3，） 【答案】a【解析】如图，当点b的坐标为（2, 0），点a的横坐标为1当点a'的横坐标为3时，等边三角形aoc的边长为6在rtbcd中，bc4，所以dc2，bd此时b例7、 图形的折叠：如图，在矩形abcd中，ad15，点e在边dc上，联结ae，ad

10、e沿直线ae翻折后点d落到点f，过点f作fgad，垂足为g如果ad3gd，那么de_【答案】 【解析】思路如下：如图，过点f作ad的平行线交ab于m，交dc于n因为ad15，当ad3gd时，mfag10，fngd5在rtamf中，afad15，mf10，所以am设dem，那么ne由amffne，得，即解得m例8、图形的旋转：如图，已知rtabc中，abc90°，ac6，bc4，将abc绕直角顶点c顺时针旋转90°得到dec，若点f是de的中点，连接af，则af= 【答案】 5【解析】思路如下：如图，作fhac于h由于f是ed的中点，所以hf是ecd的中位线，所以hf3由于a

11、eacec642，eh2，所以ah4所以af5例9、三角形： 如图，abcdef（点a、b分别与点d、e对应），abac5，bc6abc固定不动，def运动，并满足点e在bc边从b向c移动（点e不与b、c重合），de始终经过点a，ef与ac边交于点m，当aem是等腰三角形时，be_【答案】 或1【解析】思路如下： 设bex由abeecm，得，即等腰三角形aem分三种情况讨论：如图2，如果aeam，那么aemabc所以解得x0，此时e、b重合，舍去如图3，当eaem时，解得x1如图4，当mame时，meaabc所以解得x图2 图3 图4例10、四边形：如图，矩形abcd中，ab8，bc4点e在边

12、ab上，点f在边cd上，点g、h在对角线ac上若四边形egfh是菱形，则ae的长是（ ）a b c5 d6【答案】c【解析】思路如下：拖动点e在ab上运动，可以体验到，当ef与ac垂直时，四边形egfh是菱形（如图2）如图3，在rtabc中，ab8，bc4，所以ac由cosbac，得所以ae5图2 图3例11、圆：如图，o的半径为2，ab，cd是互相垂直的两条直径，点p是o上任意一点（p与a，b，c，d不重合），过点p作pmab于点m，pncd于点n，点q是mn的中点，当点p沿着圆周转过45°时，点q走过的路径长为_a. b. c. d. 【答案】 a【解析】思路如下：拖动点p在圆周

13、上运动一周，可以体验到，当点p沿着圆周转过45°时，点q走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧如图2，四边形pmon是矩形，对角线mn与op互相平分且相等，因此点q是op的中点如图3，当dop45°时，的长为图2 图3例12、函数图象：如图，直线l与半径为4的o相切于点a，p是o上一个动点（不与点a重合），过点p作pbl，垂足为b，联结pa设pax，pby，则(xy)的最大值是_【答案】 2【解析】思路如下：拖动点p在圆上运动一周，可以体验到，af的长可以表示xy，点f的轨迹象两叶新树丫，当af最大时，of与af垂直（如图2）如图3，ac为o的直径，联结pc由

14、acppab，得，即所以因此所以当x4时，xy最大，最大值为2图2 图3例13、.如图所示,在rtabc中,c=90°,bac=60°,ab=8.半径为的m与射线ba相切,切点为n,且an=3.将rtabc顺时针旋转120°后得到rtade,点b,c的对应点分别是点d,e(1)画出旋转后的rtade； (2)求出rtade 的直角边de被m截得的弦pq的长度；(3)判断rtade的斜边ad所在的直线与m的位置关系,并说明理由. 【分析】(1)点a不动,由于bac=60°,因此旋转120°后ae与ab在同一条直线上；(2)过点m作mfde,垂足为f.连接mp,构造出rtmpf，再通过勾股定理解直角三角形并结合垂径定理即可求解；(3)易猜想ad与m相切.欲证ad与m相切,只需hm=nm即可,而hm=nm可由mhamna得到【答案】证明：(1)如图1，rtade就是旋转后的图形； (2)如图2,过点m作mfde,垂足为f,连接mp在rtmpf中,mp=,mf=4-3=1,由勾股定理易得pf=2,再由垂径定理知pq=2pf=2；(3)ad与m相切证法一：如图2,过点m作mhad于h,连接mn, ma,则mnae且mn=.在rtamn中,tan，man=30°.dae=ba