一模材料北郊中学高考数学考试中填空题的特点及复习对策

1、一模材料北郊中学高考数学考试中填空题的特点及复习对策作者：日期：高考数学试卷中填空题的特点及复习对策北郊高级中学数学组填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力. 在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷. 一般来讲，每道题都

2、应力争在13 分钟内完成 . 填空题只要求填写结果，每道 题填对了得满分， 填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比解答题严重. 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等. 由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现 . 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等. 从历年高考成绩看，填空题失分率一直很高，因为填空题的结果必须是数值

3、准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下工夫. 由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题， 则千万不可 “小题大做” ，而要达到 “准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 “巧”字上下工夫 . 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，解题的基本策略是“巧做”.填空题的解法常见的有直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、探索规律法七种. 一、直接推演法：直接推演法，又称综合法，由因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种基本方法 . 它的解题方法是根据填空题的题设条件，通过应用定义、公理

4、、定理、公式等经过计算、变形、推理或判断，得出正确的结论. 直接推演法解题自然，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案. 使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 典型例题：例 1： （ 2012 年上海市理4 分）计算：31ii （i为虚数单位） . 【答案】12i.【考点】复数的运算 .【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：iiiiiiii212413)1)(1()1)(3(13.例 2： （ 2012 年四川省理4 分）设全集 , , , ua b c d，集合 , aa b， , , bb c d，则）（）（bcacuu

5、 . 【答案】 , , a c d【考点】集合的运算. 【解析】 , , , ua b c d，集合 , aa b， , , bb c d， , uc ac d（），abcu）（. ）（）（bcacuu , , a c d. 例 3： （ 2012 年北京市理5 分）已知xf xm(x2m) xm3 ,g x22（），若同时满足条件：xrfx0g x0 x(,4), fxg x0， 或 ，-，则 m的取值范围是 【答案】4,2. 【考点】简易逻辑，函数的性质. 【解析】由xg x220得x1. 条件xrfx0g x0， 或，当x1时，fx0. 当m=0时，f x =0，不能做到f x在x1时，

6、fx0，所以舍去 . fx作为二次函数开口只能向下，m 0，且此时两个根为12x =2mx =m3，. 为保证条件成立，必须12m0m01x =2m1m4m02x =m31m4. 又由条件x(,4), fxg x0-的限制，可分析得出x(,4)-时，fx恒负 . 就需要在这个范围内有得正数的可能，即4 应该比12xx，两根中小的那个大. 由2m=m3得m=1，当m1, 0时，m34，解得交集为空集，舍去. 当m=1时，两根同为2 4，舍去 . 当m4,1时，2m4m2. 综上所述，m4,2. 例 4： （ 2012 年上海市理4 分）已知2)(xxfy是奇函数，且1) 1(f，若2)()(xf

7、xg，则) 1(g . 【答案】1【考点】函数的奇偶性. 【解析】 函数2)(xxfy为奇函数， 22=fxxfxx，即2=2fxfxx又1 =1f，1 =12=3f. 1 =12=32=1gf. 例 5： （ 2012 年辽宁省理5 分）已知p，q为抛物线22xy上两点，点p，q的横坐标分别为4，2，过p、q分别作抛物线的切线，两切线交于a，则点a的纵坐标为 . 【答案】4. 【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法. 【解析】点p，q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得p，q的纵坐标分别为8，2. 由22xy得212yx，yx. 过点p，q的抛物线的切线的斜率分

8、别为4，2. 过点p，q的抛物线的切线方程分别为48,22yxyx. 联立方程组解得1,4xy. 点a的纵坐标为4. 例 6： （ 2012 年江苏省5 分）函数xxf6log21)(的定义域为 【答案】06，. 【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660006112log0log6 =620 xxxxxx. 例 7： （ 2012 年江苏省5 分）已知函数2( )()f xxaxb a br，的值域为0)，若关于 x 的不等式( )f xc的解集为(6)mm，则实数c 的值为 【答案】 9. 【考点】函数的值

9、域，不等式的解集. 【解析】由值域为0)，当2=0 xaxb时有240ab，即24ab，2222( )42aaf xxaxbxaxx. 2( )2af xxc解得2acxc，22aacxc. 不等式( )f xc的解集为(6)mm，()()2622aaccc，解得9c. 例 8： （ 2012 年天津市理5 分）某地区有小学150 所，中学75 所，大学25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校 . 【答案】 18，9. 【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【分析】分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总

10、数为250 所，应从小学中抽取15030=18250，中学中抽取7530=9250. 例 9： （ 2012 年江苏省5 分）现有10 个数 ，它们能构成一个以1 为首项，3为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的 概率是 【答案】35. 【考点】等比数列，概率. 【解析】以1 为首项，3为公比的等比数列的10 个数为 1， 3，9，-27，其中有5个负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于8 的 概率是63=105. 二、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解决这类解答题

11、，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案. 典型例题：例 1：（2012 年四川省理4分） 记 x为不超过实数x的最大整数，例如，22，1.51， 0.31.设a为正整数，数列nx满足1xa，1()2nnnaxxxnn，现有下列命题：当5a时，数列nx的前 3 项依次为5,3,2 ；对数列nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx；当1n时，1nxa；对某个正整数k，若1kkxx，则nxa. 其中的真命题有 _. （写出所有真命题的编号）【答案】. 【考点】真命题的判定，对高斯函数 x的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用. 【解析】对于，若5a，

12、根据1()2nnnaxxxnn当n=1时，x2=215=3, 同理x3=2213. 故正确 . 对于，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列nx从第二项开始为2，1，2， 1，nkxx不成立 . 故错误 . 对于，由 x的定义知， 1x x，而a为正整数，故0nx，且nx是整数 . 对于两个正整数a、b，当+a b为偶数时+=22a ba b；当+a b为奇数时+1=222a ba b，不论+a b是偶数还是奇数，有+1222a ba b. nx和nax都是整数，12111=11=12222222nnnnnnnnnn

13、naaaaaxxxxxxxxxxxa. 又当=1n时，1xa，21331 =+0244aaa，1xa1a成立 . 当1n时，1nxa. 故正确 . 对于，当1kkxx时，2kkkaxxx， 02kkkaxxx，即0kkaxx. 0kkkkaaxxxx，即0kkaxx，解得kxa. 由1nxa，1ka x，化简得：2220=+0 xxxfxxxx，. 如图，作出函数2220=+0 xxxfxxxx，和ym的图象，如果fxm有三个不同的实数解，即直线ym与函数f(x) 的图象有三个交点，如图，（1） 当直线ym过抛物线2+yxx的顶点1 12 4，或=0ym时，有两个交点；（2）当直线ym中104

14、mm 时，有一个交点；（3）当直线ym中104 my，求yx的取值范围 . 作出（xy，）所在平面区域 （如图） . 求出=xy e的切线的斜率e，设过切点00p xy，的切线为=0y exm m，则00000=yexmmexxx，要使它最小，须=0m. yx的最小值在00p xy，处，为e. 此时，点00p xy，在=xy e上,a b之间 . 当（xy，）对应点c时，=45 =205=7=7=534 =2012yxyxyyxyxyxx，yx的最大值在c处，为 7. yx的取值范围为 7e ，即ba的取值范围是 7e ，. 四、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如

15、果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数. 典型例题：例 1： （ 2012 年北京市理5 分）已知na为等差数列，ns为其前 n 项和 . 若11a =2，23sa，则2a= ；ns = 【答案】 1；211nn44. 【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为d，根据等差数列通项公式和已知11a =2，23sa得22221a =1a =d211d=a =ad22. 112naan1 d11s =n=nn244. 例 2： （ 2012 年广东省

16、理5 分） . 已知递增的等差数列na满足11a，2324aa，则na. 【答案】21n. 【考点】等差数列. 【解析】设递增的等差数列na的公差为d（0d） ，由2324aa得212(1)4dd，解得2d，舍去负值，2d. 21nan. 例 3： （ 2012 年浙江省理4 分）设公比为(0)q q的等比数列na的前n项和为ns若2232sa，4432sa，则q 【答案】32. 【考点】等比数列的性质，待定系数法. 【解析】用待定系数法将2232sa，4432sa两个式子全部转化成用1a ，q表示的式子：111233111113232aa qa qaa qa qa qa q，两式作差得：23

17、21113(1)a qa qa q q，即：2230qq，解之得：32q或1q ( 舍去 ). 例 4： （ 2012 年辽宁省理5 分）已知等比数列an为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，则数列an的通项公式an = . 【答案】2n. 【考点】等比数列的通项公式. 【解析】设等比数列an的公比为q. 2510aa，42911()a qa q. 1aq，nnaq. 又212()5nnnaaa，22(1)5nnaqa q. 22(1)5qq. 解得2q或12q. 又等比数列an为递增数列，舍去12q. 2nna. 例 5： （ 2012 年福建省理4 分）已知abc的三边长成

18、公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为 【答案】24. 【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用. 【解析】abc的三边长成公比为2的等比数列，设三角形的三边分别是：22a、a、2a. 最大角所对的边是2a，根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：2222+222cos =4222aaaa a. 最大角的余弦值为24. 例 6： （ 2012 年重庆市理5 分）过抛物线22yx的焦点f作直线交抛物线于,a b两点，若25,12abafbf则af= . 【答案】56. 【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用. 【分析】设直线的方程为)21(xky（由题意知直线的斜率存

19、在且不为0） ，代入抛物线方程，整理得04)2(2222kxkxk. 设1122(,),(,)a xyb xy，则12221xxk. 又2512ab，1225112xx. 122132112xxk，解得224k. 代入04)2(2222kxkxk得1214,33xx. | |afbf，13x. 5|6af. 例 7： （ 2012 年陕西省理5 分）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，水位下降1米后，水面宽 米 . 【答案】2 6. 【考点】抛物线的应用. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为2xmy，当水面在l时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，抛物

20、线过点（2， 2， ）. 代入2xmy得，222m，即2m. 抛物线方程为22xy. 当3y时，6x，水位下降1 米后，水面宽2 6米. 五、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键. 典型例题：例 1：（2012 年江西省理5 分） 设数列,nnab都是等差数列， 若117ab，3321ab， 则55ab . 【答案】 35. 【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想. 【解析】数列,nnab都是等差数列，数列nnab也是等差数列 . 由等差中项的性质，得55

21、11332ababab，即557221ab，解得5535ab. 例 2：（2012年全国大纲卷理5分） 当函数=sin3cos02yxxx取得最大值时，=x . 【答案】56. 【考点】三角函数性质的运用. 【解析】求解值域的问题，首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点. 13=sin3cos =2sincos=2 cossinsincos=2sin22333yxxxxxxx02x，5333x时，不等式为21xx，即21不成立 . 综上所述，不等式21xx的解集为12x. 另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得. 例 2

22、： （ 2012 年江西省理5 分）在实数范围内，不等式| 21| 21|6xx的解集为 . 【答案】33|22xxr. 【考点】绝对值不等式的解法，转化与划归、分类讨论的数学思想的应用. 【解析】原不等式可化为1212216xxx或112221216xxx或1221216xxx，由得3122x；由得1122x；由得1322x. 原不等式的解集为33|22xxr. 例 3： （ 2012 年福建省文4 分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用

23、最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图，则最优设计方案如图，此时铺设道路的最小总费用为10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图，则铺设道路的最小总费用为 【答案】 16. 【考点】最优设计方案. 【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是afgd，efb，egc，费用最低的是afgd为 3126；再选择afgd线路到点e的最低费用线路是：ae费用为 2；再选择afgd到cb的最低费用，则选择：gcb，费用最低为358，所以铺设道路的最小费用为： 62 816. 例 4： （ 2012 年山东省文4 分）若函数xf (x)a (a0,a1) 在 1，2上的

24、最大值为4，最小值为m ，且函数 g(x)(14m)x 在 0,) 上是增函数，则a . 【答案】14. 【考点】函数的增减性. 【解析】xf (x)a (a0,a1) ，xf (x)a ln a. 当a1时，xf (x)a ln a0，函数xf (x)a (a0,a1) 是增函数，在 1，2上的最大值为2f (2)a =4a=2，最小值为11f ( 1)2=mm=2，. 此时 g(x)x ，它在 0,) 上是减函数，与题设不符. 当0a1时，xf (x)a ln a0，函数xf (x)a (a0,a1) 是减函数，在 1，2上的最大值为11f ( 1)a =4a=4，最小值为211f (2)

25、=mm=416，. 此时3g(x)x4，它在 0,) 上是增函数，符合题意. 综上所述，满足条件的1a=4. 例 5：（2012 年上海市文4 分） 已知1( )1f xx， 各项均为正数的数列na满足11a，2()nnaf a，若20102012aa，则2011aa的值是 【答案】265133. 【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念. 【解析】根据题意，xxf11)(，并且2()nnaf a，得到nnaa112. 当n为奇数时，11a，213a，523a，735a，9813a. 当n为偶数时，由20122010aa，得到2010201011aa，解得2152010a（负值舍去）. 由2

26、0102008()af a得200815112a，解得2008512a. 当n为偶数时，51=2na. 2011851313 5=13226aa. 七、探索规律法：探索规律法的解题方法是直接通过对填空题的条件，作详尽的分析、归纳和判断，从而得出正确的结果. 当遇到寻找规律的命题时，常用此法. 典型例题：例 1： （2012 年湖南省理5 分）设n=2n（nn*，n2） ，将n个数x1,x2, ，xn依次放入编号为1,2 ，n的n个位置，得到排列p0=x1x2xn. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2n和后2n个位置，得到排列p1=x1x3xn -1x2x4x

27、n， 将此操作称为c变换，将p1分成两段， 每段2n个数，并对每段作c变换，得到2p；当 2in-2 时，将pi分成 2i段，每段2in个数，并对每段c变换，得到pi +1，例如，当n=8 时，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第 4 个位置 . （1）当n=16 时，x7位于p2中的第 个位置；（2）当n=2n（n8）时，x173位于p4中的第 个位置 . 【答案】（1）6； （2）43211n. 【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理. 【解析】（1）当n=16 时, 012345616px x x x x xx, 可设为(1,2,3,4,5,6,16),

28、 113571524616px x x xx x x xx, 即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16), 2159133711 152616px x x x x x x x x xx, 即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16), x7位于p2中的第 6 个位置. （2）考察c变换的定义及（1）计算可发现：第一次c变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2 的等差数列，且第一段序号以1 为首项，第二段序号以2 为首项；第二次c变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4 公差的等差数列，且第一段的序号以 1 为首项，第二段序号以3 为首项，第三段序号以2 为

29、首项，第四段序号以4 为首项；依此类推可得出p4中所有的数字分为16 段，每段的数字序号组成以16 为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，由于173=1610+13，故x173位于以 13 为首项的那一段的第11 个数，由于n=2n（n8）故每段的数字有2n-4 个，以 13 为首项的是第四段，故x173位于第43211n个位置 . 例 2：（2012 年福建省理4分） 数列 an的通项公式= cos+12nnan， 前n项和为sn， 则s2 012 . 【答案】 3018. 【考点】规律探索题. 【解析】寻找规律：a11cos211，a22cos 1 1，a33c

30、os3211，a44cos2 15；a55cos5211，a6 6cos3 1 5，a77cos72 11，a88cos8219；该数列每四项的和+1+2+3+=6=1,5 9,4kkkkaaaakrrn，. 20124=503，s2 0126503 3018. 例 3： （ 2012 年陕西省理5 分）观察下列不等式213122231151233，222111712344照此规律，第五个不等式为 . 【答案】2222211111111234566. 【考点】归纳规律. 【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1 的平

31、方； 右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：2012111ninnn. 令n=5，即可得出第五个不等式52011161in，即2222211111111234566. 例 4： （ 2012 年江苏省5 分）下图 是一个算法流程图，则输出的k 的值是 【答案】 5. 【考点】程序框图. 【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k5k4循环前0 0 第一圈是1 0 第二圈是2 2 第三圈是3 2 第四圈是4 0 第五圈是5 4 第六圈否输出5 最终输出结果k=5. 例 5：（2012 年

32、湖北省理5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果s= . 【答案】 9. 【考点】程序框图. 【解析】用列举法，通过循环过程直接得出s与n的值，得到n=3 时退出循环，即可循环前，s=1，a=3，第 1 次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第 2 次判断并循环n=3，s=9，a=7，第 3 次判断n退出循环，输出s =9. 例 6：（2012 年全国课标卷理5 分）数列na满足1( 1)21nnnaan， 则na的前60项和为 【答案】1830. 【考点】分类归纳（数字的变化类），数列 . 【解析】求出na的通项：由1( 1)21nnnaan得，当=1n时，211aa；当

33、=2n时，3213=2aaa；当=3n时，4315=7aaa；当=4n时，5417=aaa；当=5n时，6519=9aaa；当=6n时，76111=2aaa；当=7n时，76113=15aaa；当=8n时，87115=aaa；当=4+1nm时，42181mama；当=4 +2nm时，4212maa；当=4+3nm时，44187mama；当=4+4nm时，451maa（=0,1,2m，）. 4451mmaaa，na的四项之和为414243441111=81287=1610mmmmaaaaamaamam（=0,1,2m，）. 设41424344=1610mmmmmbaaaam（=0,1,2m，）.

34、 则na的前60项和等于mb的前 15 项和，而mb是首项为10，公差为16 的等差数列，na的前60项和 =mb的前 15 项和 =1016 例 7： （ 2012 年湖北省理5 分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等. 显然 2 位回文数有9 个：11,22,33 ， 99.3 位回文数有90 个：101,111,121 ，191,202 ， 999. 则（） 4 位回文数有 个；（） 2n1（nn+）位回文数有 个 . 【答案】（） 90； （）9 10n. 【考点】计数原理的应用. 【解析】（i ）4 位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9 种选法；第二步，选中间两位数字，有10 种选法，故4 位回文数有910=90 个. （ii ）第一步，选左边第一个数字，有9 种选法；