小学五年级奥数完整教案

1、五年级奥数完整教案奥数第一讲巧算小朋友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但如果善于观察、 勤于思考， 计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、 算得快，还可以让你变得聪明和机敏。一、计算：9.99629.98169.93999.5 解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每个数只要增加一点， 就成为某个整十、 整百或整千数， 把这几个数“ 凑整 ” 以后，就容易计算了。当然要记住，“ 凑整 ” 时增加了多少要减回去。9.99629.98169.93999.5 =10301704000（0.0

2、040.020.10.5）=42100.624 =4209.376 二、计算：10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01 解：式子的数是从1 开始，依次减少0.01，直到最后一个数是0.01，因此，式中共有100 个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数 这样的顺序排列的。由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每4 个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第1 个数减第 3 个数，第 2 个数减第 4 个数，各得 0.02，合起来是 0.04，那么，每组数（即每个括号）运

3、算的结果都是0.04，整个算式 100 个数正好分成25 组，它的结果就是25 个0.04 的和。10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01 =（10.990.980.97）（0.960.950.940.93）（0.040.030.020.01）=0.04 25 =1 如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1 0.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01 =1（0.990.980.970.96）（0.950.940.930.92）（0.030.020.01）=1 三、计算

4、：0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.20 解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察， 它实际上由两个等差数列组成，0.10.20.30.80.9 是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.1，而 0.100.110.120.190.20 是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.01，所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.2 =（0.10.9） 9 2（0.100.20） 11 2 =4.51.65 =6.15 四、计算：9.9 9.91.99 解：算式中的 9.9 9.

5、9 两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10 倍，积不变，即这个乘法可变为99 0.99+1.99 可以分成 0.991 的和，这样变化以后，计算比较简便。9.9 9.91.99 =99 0.990.991 =（991） 0.99 1 =100 五、计算：2.437 36.54243.7 0.6346 解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437 和后一个乘法的 243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的， 就可以运用乘法分配律进行简算了。2.437 36.54243.7 0

6、.6346 =2.437 36.542.437 63.46 =2.437 （36.5463.46）=243.7 六、计算：1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和， 不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11 和 13 这三个数连乘的积是1001，而一个三位数乘1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例如578 1001=578578，这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 =1.1 1.3 0.7 2 1.2 1.5 =1.001 3

7、.6 =3.6036 练习15.4673.8147.5334.186 26.25 1.25 6.4 33.99719.961.9998199.7 40.10.30.90.110.130.150.970.99 5199.9 19.98199.8 19.97 623.75 3.9876.013 92.076.832 39.87 720042005 2005200420042004 20052005 8 （10.120.23） （0.120.230.34）（ 10.120.230.34） （0.12 0.23）96.7341.5363.2664.464 100.8 0.125 11 89.1 90.

8、3 88.6 92.1 88.9 90.8 12 4.83 0.59 0.41 1.59 0.324 5.9 13 37.5 21.5 0.112 35.5 12.5 0.112 14 99992222+33333334 15 19891999-1988 2000 奥数第二讲数的整除如果整数 a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为0，我们就说 a 能被b 整除，或叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么， b 叫做 a 的约数， a 叫做b 的倍数。数的整除的特征：（1）能被 2 整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2 整除。（2）

9、能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或 9）整除，那么这个整数一定能被3（或 9）整除。（3）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么这个数就一定能被4（或 25）整除。（4）能被 5 整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0 或 5，那么这个整数一定能被 5 整除。（5）能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被2 整除，又能被 3 整除，那么这个数就一定能被6 整除。（6）能被 7（或 11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数， 其余各位为另一个数， 如果这两个数之差是0 或是 7（

10、或 11 或 13）的倍数，这个数就能被7（或 11 或 13）整除。（7）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么这个数就一定能被8（或 125）整除。（8）能被 11 整除的数的特征： 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11 整除，那么它必能被11 整除。一、例题与方法指导例 1、下列各数哪些能被7 整除？哪些能被 13 整除？（数的整除特征）88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。例 2、一个六位数 2356是 88 的倍数

11、, 这个数除以 88 所得的商是 _或_. 思路导航：一个数如果是 88 的倍数 , 这个数必然既是 8 的倍数 , 又是 11 的倍数 . 根据 8的倍数 , 它的末三位数肯定也是8 的倍数 , 从而可知这个六位数个位上的数是0或 8. 而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是0 或 11的倍数 , 从已知的四个数看 ,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的, 要使奇偶位上数字和差为0, 两个方框内填入的数字是相同的 , 因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 23056088=2620 23856888=2711 所以, 本题的答案是 2620 或 2711. 例

12、 3、123456789, 这个十一位数能被 36 整除, 那么这个数的个位上的数最小是 _. 思路导航：因为 36=94, 所以这个十一位数既能被9 整除, 又能被 4 整除. 因为 1+2+9=45，由能被 9 整除的数的特征，（可知 +之和是 0（0+0） 、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）. 再由能被 4 整除的数的特征 : 这个数的末尾两位数是4 的倍数 , 可知是 00,04, ，36，72，96. 这样,这个十一位数个位上有0,2,6 三种可能性 . 所以, 这个数的个位上的数最小是0. 例 4、下面一个 1983位数 333

13、444 中间漏写了一个数字 ( 方框), 已 991个 991 个知这个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_. 思路导航：333444 991个 991个=33310993+3410990+444 990 个 990个因为 111111能被 7 整除，所以 333 和 444 都能被 7 整除, 所以只要 990个 990个34 能被 7 整除，原数即可被7 整除. 故得中间方框内的数字是6. 例 5、有三个连续的两位数 , 它们的和也是两位数 , 并且是 11 的倍数 . 这三个数是_. 思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数 , 已知其和是 11的倍数, 而 3与 11互质,所

14、以和是 33 的倍数, 能被 33 整除的两位数只有 3 个, 它们是 33、66、99. 所以有当和为 33 时, 三个数是 10,11,12 ；当和为 66 时, 三个数是 21,22,23 ；当和为 99 时, 三个数是 32,33,34. 所以，答案为 10,11,12或 21,22,23 或 32,33,34 。注 “三个连续自然数的和必能被3 整除” 可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2, 则n+(n+1)+( n+2) =3n+3 =3(n+1) 所以，)2()1(nnn能被 3 整除. 二、巩固训练1.有这样的两位数 , 它的两个数字之和能被4 整除, 而且比这个两

15、位数大1的数, 它的两个数字之和也能被4 整除. 所有这样的两位数的和是 _. 2.一个小于 200的自然数 , 它的每位数字都是奇数 , 并且它是两个两位数的乘积 , 那么这个自然数是 _. 3.任取一个四位数乘3456, 用 a表示其积的各位数字之和, 用 b表示 a的各位数字之和 , c表示 b的各位数字之和 , 那么 c是_. 4.有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来， 第五个数的末位数字是 _. 1. 118 符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除, 而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变 , 则个位

16、增加 1, 其和便不能整除4, 因此个位数一定是9, 这种两位数有 :39 、79. 所以, 所求的和是 39+79=118. 2 195 因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225200,所以其中至少有 1 个因数小于 15, 而且这些因数均需是奇数 , 但 11不可能符合条件 , 因为对于小于 200 的自然数凡 11 的倍数 , 具有隔位数字之和相等的特点, 个位百位若是奇数, 十位必是偶数 . 所以只需检查 13 的倍数中小于 200的三位数 13 13=169不合要求 ,1315=195适合要求 . 所以, 答案应是 195. 3. 9 根据题意 , 两个四位数相乘其积

17、的位数是七位数或八位数两种可能. 因为 3456=384 9, 所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被 9 整除, 根据能被 9 整除的数的特征 , 可知其积的各位数字之和a也能被 9整除, 所以a有以下八种可能取值 :9,18,27,36,45,54,63,72.从而 a的各位数字之和 b总是 9, b的各位数字之和 c也总是 9. 4. 9 0+1+4+7+9=21能被 3 整除, 从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组成的四位数能被 3整除. 即有 0,1,4,7或 1,4,7,9两种选择组成四位数 , 由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.

18、 所以第五个数的末位数字是9. 三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数, 使得对于其中任何两个数 , 它们的和总可以被它们的差整除 , 如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小, 那么这四个数里中间两个数的和是多少？2. 只修改 21475 的某一位数字 , 就可知使修改后的数能被225 整除, 怎样修改？3. 试问, 能否将由 1 至 100 这 100个自然数排列在圆周上 , 使得在任何 5个相连的数中 , 都至少有两个数可被3 整除？如果回答：“可以” ，则只要举出一种排法；如果回答：“不能” ，则需给出说明 . 答案1. 如果最小的数是1, 则和 1 一起能符合“和被差整

19、除”这一要求的数只有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于2. 我们先考察 2、3、4、5 这四个数, 仍不符合要求 , 因为 5+2=7,不能被 5-2=3 整除. 再往下就是 2、3、4、6, 经试算, 这四个数符合要求 . 所以, 本题的答案是 (3+4)=7. 2. 因为 225=25 9, 要使修改后的数能被25整除, 就要既能被 25 整除, 又能被 9 整除, 被 25 整除不成问题 , 末两位数 75 不必修改 , 只要看前三个数字即可 ,根据某数的各位数字之和是9 的倍数 , 则这个数能被 9 整除的特征 , 因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-

20、8, 所以不难排出以下四种改法: 把 1 改为 0；把 4改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1. 3. 不能. 假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100 个数, 我们来按所排列顺序将它们每 5 个分为一组 , 可得 20 组, 其中每两组都没有共同的数, 于是, 在每一组的 5个数中都至少有两个数是3 的倍数 . 从而一共有不少于 40个数是 3 的倍数 . 但事实上, 在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数 , 导致矛盾 . 奥数第三讲数字谜小朋友们都玩过字谜吧， 就是一种文字游戏， 例如“ 空中码头 ”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“

21、空中” 指什么？ “ 天” 。这个地名第 1 个字可能是天。 “ 码头” 指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“ 天” 字，容易想到 “ 天津” 这个地名，而 “ 津” 正好又是 “ 渡口” 的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为 “ 虫食算 ” ，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“ 虫食算 ” 主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用 、等图形符号或字母表示。 文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字， 在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字

22、或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜一、例题与方法指导例 1、， 8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航：1503-8-97-5=340 所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2、我学数学乐 我学数学乐 =数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中， “ 我、学、数、乐 ” 分别代表的 4 个不同的数字。如果“ 乐” 代表 9，那么 “ 我数学 ” 代表的三位数是多少？分析：学 =1，我=8，数=6 ，8

23、161981619=6661661161 例 3、（） =24在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a （b c d）=a c d b (去括号）当 a=1时，有 6 8 2=24，8 9 3=24；当 a=2 时，有 4 9 3=12，6 8 4=12，8 9 6=12；所以，满足要求的等式有：1 （2 6 8）=24，1 （3 8 9）=24，2（3 4 9）=24，2 （4 6 8）=24，2 （6 8 9）=24。例 4、 =5； 12+ =，把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面

24、两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3 个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7 8=56，6 9=54；如果为 7 8=56，则余下的数字有： 3、4、9，显然不行；而当6 9=54 时，余下的数字有： 3、7、8，那么， 12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。二、训练巩固1. 迎迎 春春=杯迎迎杯，数数 学学=数赛赛数，春春 春春=迎迎赛赛在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么， “ 迎+春+杯+数+学+赛” 等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春 春春=迎迎

25、赛赛的只有 88 88=7744，于是，春 =8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为： 77 88=6776，第二个为： 55 99=5445；所以，迎 +春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春 春=迎春， （迎+杯） （迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么 “ 迎+春+杯” 等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1） （8+1）=81，于是，迎 =8；这样，第一个算式显然只有：8+9 9=89；所以，迎 +春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1.在下列各式的 中分别填入相同的两位数

26、：(1)5 =2；(2)6 3。2. 将 39 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1) =；(2) 。3. 在下列各式的中填入合适的数字：(1)448 =；(2)2822 =；(3)13 = 46。4. 在下列各式的中填入合适的数：(1) 32831；(2)573 32 29；(3)4837 7427。答案与提示练习 22 4.(1)287；(2)17；(3)65。竖式字谜一、例题与方法指导例 1 在图 4-1 所示的算式中， 每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么 “ 喜欢” 这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到 “ 欢” 是 0

27、 或 5，但是“ 欢” 是第二个数的十位，所以 “ 欢” 不能是 0，只能是 5。 再看十位， “ 欢” 是 5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的 “ 人” 就应该是偶数，因为结果的百位也是“ 人” ，所以 “ 人”只能是 2；由此可知， “ 喜” 等于 8。 所以， “ 喜欢” 这两个汉字所代表的两位数就是 85。例 2 在图 4-2 所示的竖式中， 相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果： 巧+解+数+字+谜=30， 那么 “ 数字谜 ” 所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位， 5 个“ 谜” 相加的结果个位还是等于“ 谜” ，“ 谜” 必定是 5（0 显然可以排

28、出）； 接着看十位，四个 “ 字” 相加再加上进位 2，结果尾数还是 “ 字” ，那说明 “ 字” 只能是 6； 再看百位，三个 “ 数” 相加再加上进位 2，结果尾数还是 “ 数” ，“ 数” 可能是 4 或 9； 再看千位，（1）如果 “ 数” 为 4，两个 “ 解”相加再加上进位 1，结果尾数还是 “ 解” ，那说明 “ 解” 只能是 9；5+6+4+9=24，30-24=6，“ 巧” 等于 6 与“ 字” 等于 6 重复，不能；（2）如果 “ 数” 为 9，两个 “ 解”相加再加上进位 2，结果尾数还是 “ 解” ，那说明 “ 解” 只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可

29、以。所以“ 数字谜 ” 代表的三位数是 965。例 3 图 4-4 是一个加法竖式，其中e，f，i，n，o，r s，t，x，y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 f，s 不等于零那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位， n 应为 0，e 应为 5；再看最高位上， s比 f 大 1；千位上 o 最少是 8；但因为 n 等于 0，所以，i 只能是 1，o 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 x 不能是 0，因此决定了 t、r 只能是 7、8 这两个；如果t=7，x=3，这是只剩下了 2、4、6 三个数，无法满足 s、f 是两个连续数的要求。所以， t=8、r=7；由此得到 x=

30、4；那么， f=2，s=3，y=6。所以，得到的算式结果是 31486。二、训练巩固1. 在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么d+g 等于多少？分析：先从最高位看，显然a=1，b=0，e=9；接着看十位，因为e 等于 9，说明个位有借位，所以f 只能是 8；由 f=8 可知，c=7；这样，d、g 有 2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以， dg 就可以等于 6，8 或 10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数， 把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529求王老师家的电话号码分析

31、：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529 ；首先从第一个算式可以看出， a=8，从第二个算式可以看出， d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式， c=7；又回到第一个算式， f=9，掉到第二个算式，b=3；那么， e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数 如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd来表示愿四位数， 那么新四位数为dcba ， dcba-abcd=7902 ；由最高为看起， a

32、最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，所以，a 只能是 1；接下来看百位， b 最大是 9，那么， c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。三、拓展提升1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立那么abcde 是多少？分析：由 1/7 的特点易知， abcde=42857。1428573=428571。2. 某个自然数的个位数字是4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4 倍问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推：44=16，原十位为 6；46+1=25，原百位为 5；45+2=22，原千位为 2；42+2=10，原万位为 0； 14=4，正好

33、。所以，原数最小是102564。奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+ 、-、 、 、 、” 等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。 如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律

34、和运算性质解题。一、例题与方法指导例 1、 设 ab都表示数，规定 ab表示 a的 4倍减去 b的 3倍， 即 ab=4 a-3 b,试计算 56，65。解 56=5 4-6 3=20-18=2 65=6 4-5 3=24-15=9 说明例 1 定义的 没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例 2、 对于两个数 a、 b,规定 ab表示 3 a+2 b,试计算 （56） 7， 5 （67） 。思路导航：先做括号内的运算。解： （56）7=（5 3+6 2）7=277=27 3+7 2=95 5（67）=5（6 3+7 2）=532=5 3+32 2=79 说明本题定义的运算不满足结合律。这是与

35、常规的运算有区别的。例 3、已知 23=2 3 4，42=4 5，一般地，对自然数a、b，ab 表示a(a+1) （a+b-1）. 计算（ 63）-（52） 。思路导航：原式=6 7-5 6 =336-30 规定： a=a+(a+1)+(a+2)+ +（a+b-1）,其中 a,b表示自然数。例 4、已知 13=1+2+3=6，求 1100 的值。已知 x10=75,求 x. 思路导航：（1）原式=1+2+3+ +100= （1+100） 100 2=5050 （2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+ +（x+9）=75, 所以：10x+(1+2+3+ +9)=75 10 x+45=75 10

36、 x=30 x=3 例5、定义运算： ab=3a+5ab+kb，其中a，b 为任意两个数， k 为常数。比如： 27=3 2+5 2 7+7k。（1）已知 52=73。问： 85 与58 的值相等吗？（2）当k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有ab=ba，即新运算 “ ”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为 52=3 5+5 5 2+k 2=65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得 k=（73-65） 2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=3 8+5 8 5+4 5=244，58=3 5+5 5 8+4 8=247。因为2

37、44247 ，所以855 8。（2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka ，3a+kb-3b-ka=0，3 (a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a，b，要使上式成立，必有 3-k=0，即k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。例6、对任意的数 a，b，定义： f（a）=2a+1， g（b）=b b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2） ）+g（f（2） ）的值；（3）已知 f（x+1）=21，求x 的值。解： （1） f（5）-g（3）=（2 5+1）-（3 3）=2；

38、（2）f（g（2） ）+g（f（2） ）=f（2 2）+g（2 2+1）=f（4）+g（5）=（2 4+1）+（5 5）=34；（3）f（x+1）=2 （x+1）+1=2x+3，由 f（x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。二、巩固训练1、 若对所有 b,a b =ax,x 是一个与 b 无关的常数； ab=(a+b) 2, 且（13）3=1（33） 。求（ 14）2 的值。2、 如 果 规 定 ： =2 3 4， =3 4 5， =4 5 6， ， =8 9 10 ， 求+-+-+-的值。3、对于任意的两个数 a 和b，规定 a*b=3 a-b 3。求8*9 的值。4、对于任意的

39、两个数 p， q，规定 pq=（p q） 4。例如： 28=（2 8） 4。已知x（85）=10，求x 的值。5、定义：定义：ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算： （43）（24） 。6、已知：23=2 3 4，45=4 5 6 7 8，求（44） （33）的值。7、定义两种运算 “ ” 和“ ” 如下：ab 表示a，b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示a，b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如： 45=4 3=12，45=5 2.5=12.5。计算： (0.60.5)+(0.30.8) (1.20.7)-(0.640.2)。8、设m，n 是任意的自然数， a 是常数，定义运算 m

40、n=（a m-n） 4，并且23=0.75。试确定常数 a，并计算：（57） （22） （32） 。9、对任意两个不同的自然数a 和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算： 19982000， （519）19，5（195） ；（2）已知 11x=4，x 小于20，求x 的值。10、对于任意的自然数 a，b，定义： f（a）=a a-1，g（b）=b 2+1。（1）求f（g（6） ）-g（f（3） ）的值；（2）已知 f（g（x） ）=8，求 x 的值。奥数第五讲周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：

41、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。 像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律， 也就是找出循环的固定数， 如果正好有个整数周期， 结果为周期里的最后一个； 如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数， 最后根据余数的大小得出正确的结果。一、例题与方法指导例 1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_. 思路导航：因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29 天，且 2 月 1

42、 日与 2 月 29 日均为星期日， 3 月 1 日是星期一，所以从这年3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了 31+30+31+1=93(天). 因为 93 7=132，所以这年 6 月 1 日是星期二 . 例 2、1989 年 12 月 5 日是星期二 , 那么再过十年的 12 月 5 日是星期 _. 思路导航：依题意知，这十年中1992年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652 （天）因为（ 3652+1）7=5216，所以再过十年的12月 5 日是星期日 . 注 上述两题 ( 题 1题 2) 都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类

43、问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答. 在计算天数时 , 要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年. 例 3、按下面摆法摆 80 个三角形 , 有_个白色的 . 思路导航：从图中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3 个白色三角形 . 因为 806=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形 13 3=39（个）. 例 4、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一

44、盏彩灯 . 也就是说 , 从第一盏白灯起 , 每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩灯 ,小明想第 73 盏灯是_灯. 思路导航：依题意知 , 电灯的安装排列如下 : 白, 红, 黄, 绿, 白, 红, 黄, 绿, 白, 这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4. 由 734=181, 可知第 73 盏灯是白灯 . 例 5、时针现在表示的时间是14 时正, 那么分针旋转 1991 周后, 时针表示的时间是_. 思路导航：分针旋转一周为1 小时, 旋转 1991周为 1991小时. 一天 24 小时,199124=8223， 1991 小时共 82 天又 23 小时. 现

45、在是 14 时正, 经过 82 天仍然是 14 时正, 再过 23 小时, 正好是 13 时. 注 在圆面上 , 沿着圆周把1 到 12 的整数等距排成一个圈, 再加上一根长针和一根短针, 就组成了我们天天见到的钟面. 钟面虽然是那么的简单平常, 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题 , 周期现象就是其中的一个重要方面. 例6、在100 米地跑道两侧每隔 2 米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？解：一侧： 1002=50（人） 50+1=51（人）51（2+1）=17 组一组里有 2 个女生，女生 217=34（人）两侧共有女生 34

46、2=68（人）答：共有女生 68 人。二、巩固训练1. 把自然数 1,2,3,4,5如表依次排列成5列，那么数“ 1992”在_列. 第一列第二列第三列第四列第五列1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 2. 把分数74化成小数后，小数点第110 位上的数字是 _. 3. 循环小数7992511.0与74563.0. 这两个循环小数在小数点后第_位,首次同时出现在该位中的数字都是7. 4. 一串数 : 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, 共有 1991 个数. (1)其中共有 _个 1,_个 9_个

47、4； (2)这些数字的总和是 _. 5、 777 7 所得积末位数是 _. 50 个答案：1、3 仔细观察题中数表 . 1 2 3 4 5 (奇数排 ) 第一组98 7 6 (偶数排 ) 10 11 12 13 14 (奇数排 ) 第二组 18 17 16 15 (偶数排 ) 19 20 21 22 23 (奇数排 ) 第三组 27 26 25 24 (偶数排 ) 可发现规律如下 : (1) 连续自然数按每组9 个数, 且奇数排自左往右五个数 , 偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2) 观察第二组 , 第三组 , 发现奇数排的数如果用9 除有如下规律 : 第 1 列用 9除余数为 1, 第

48、 2 列用 9 除余数为 2, ，第 5 列用 9 除余数为 5. (3)109=11，10在 1+1组，第 1 列 199=21，19在 2+1组，第 1 列因为 19929=2213，所以 1992应排列在（ 221+1）=222组中奇数排第 3列数的位置上 . 2、7 74=0.57142857它的循环周期是 6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8 110 6=182 因为余 2，第 110个数字是上面列出的六个数中的第2 个，就是 7. 3、35 因为 0.1992517 的循环周期是 7,0.34567 的循环周期为 5, 又 5 和 7 的最小公倍数是 35, 所以两个循环小

49、数在小数点后第35位, 首次同时出现在该位上的数字都是 7. 4、853,570,568,8255. 不难看出 , 这串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4为一个循环 , 即周期为 7, 且每个周期中有 3 个 1,2 个 9,2 个 4. 因为 1991 7=2843， 所以这串数中有 284 个周期， 加上第 285 个周期中的前三个数1， 9， 9. 其中 1 的个数是 :3 284+1=853(个),9的个数是 2 284+2=570(个),4 的个数是 2 284=568(个). 这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255. 三、拓展提升1. 紧接着 198

50、9后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘. . . . 积的个位数 . 例如 8 9=72,在 9 后面写 2,92=18,在 2 后面写 8, 得到一串数字: 1 9 8 9 2 8 6这串数字从 1 开始往右数，第1989个数字是什么？2. 1991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？3. 设 n=2 22 2，那么 n 的末两位数字是多少？1991 个4在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

51、答案： 1、 依照题述规则多写几个数字: 1989286884286884可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现286884，每 6 个一组，即循环周期为6. 因为(1989-4)6=3305，所以所求数字是8. 2、1991个 1990相乘所得的积末两位是0, 我们只需考察 1990 个 1991 相乘的积末两位数即可 .1 个 1991末两位数是 91,2 个 1991相乘的积末两位数是81,3个 1991 相乘的积末两位数是71,4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个 1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每 1

52、0 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为10. 因为 1990 10=199,所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是01, 即所求结果是 01. 3、n 是 1991个 2 的连乘积 , 可记为 n=21991, 首先从 2 的较低次幂入手寻找规律, 列表如下 : nn 的十位数字n 的个位数字nn 的十位数字n 的个位数字210 2 212 9 6 220 4 2139 2 230 8 2148 4 241 6 2156 8 253 2 2163 6 266 4 2177 2 272 8 2184 4 285 6 2198 8 291 2 2207 6 2102 4 2

53、215 2 2114 8 2220 4 观察上表 , 容易发现自 22开始每隔 20个 2的连乘积 , 末两位数字就重复出现 ,周期为 20. 因为 1990 20=9910，所以 21991与 211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是 4，个位数字是 8. 所以, n 的末两位数字是48. 4、因为 100 能被 5 整除, 所以自右至左染色也就是自左至右染色. 于是我们可以看作是从同一端点染色. 6与 5的最小公倍数是 30, 即在 30厘米的地方 , 同时染上红色 , 这样染色就会出现循环 , 每一周的长度是 30 厘米, 如下图所示 . 由图示可知长 1 厘米的短木棍 , 每

54、一周期中有两段 , 如第 1 周期中,6-5=1,55-64=1.剩余 10厘米中有一段 . 所以锯开后长 1厘米的短木棍共有7 段. 综合算式为 : 2 (100-10)30+1 =2 3+1 =7(段) 注 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5 厘米的染色 , 转化为自左向右的染色 , 便于利用最小公倍数发现周期现象, 化难为易 . . . . . . . 6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100 . 90 奥数第六讲行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括

55、：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程 (s) 、速度 (v) 、时间 (t) 三个关系： 1. 简单行程：路程 = 速度 时间2. 相遇问题：路程和 = 速度和 时间3. 追击问题：路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。 追击及相遇问题一、例题与方法指导例 1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40 米，乙每分

56、钟走 38 米，丙每分钟走36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇。 问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在 3 分钟的时间里，甲、丙的路程和为（ 40+36）3=228（米）第一个追击：这 228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的， 是逆向的追击过程， 可求出甲、乙相遇的时间为 228 （38-36）=114（分钟）第二个相遇：在 114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（ 40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三

57、人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例 2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25 千米的速度从东到西地， 1.5 小时后，乙车从西地出发，再经过3 小时两车还相距15 千米。乙车每小时行多少千米？思路导航：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解： （1）甲车一共行多少小时？ 1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？25 4.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105 （千米）（4）乙车每小时行多少千米？(105-15) 3=30（千米）答：乙车

58、每小时行30 千米。例 3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400 米。哥哥骑自行车每分钟行 200 米，妹妹每分钟走80 米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航：从图中可以看出 ，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2 倍。因此本题可以转化为“ 哥哥妹妹相距 2800 米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行 200 米，妹妹每分钟行 80 米，经过几分钟相遇？ ” 的问题，解答就容易了。解： （1）从家到学校的距离的2 倍：1400 2=2800（米）（2）从出发到相遇所需的时间：2800

59、 （200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-80 10=600（米）答：从出发到相遇，妹妹走了10 分钟，相遇处离学校有600 米。二、巩固训练1. 两城市相距 328 千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行 28 千米，乙每小时行 22 千米，乙在中途修车耽误1 小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328+22 1=350（千米） ，两车的速度和： 28+22=50（千米 /小时） ，然后根据相遇问题“ 路程和 速度和 =相遇时间 ” 得 350 50=7（小时）

60、解： （328+22 1） （28+22） =350 50 =7（小时）解法 2：（328-22 1） （28+22） =300 50 =6（小时）6+1=7（小时）答：从出发到相遇经过了7 小时。2.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3 小时快车已过中点12 千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？分析: 从图中可知：快车3 小时行的路程 40 3=120 千米，比全程的一半多12 千米，全程的一半是 120-12=108千米。而慢车 3 小时行的路程比全程的一半还少12 千米，所以慢车 3 小时行的路程是 108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。解：甲乙