中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练 1】 （2013 北京中考） 在abc中， abac ， bac（ 060 ） ， 将线段 bc绕点b逆时针旋转60 得到线段bd（1）如图 1，直接写出abd的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，15060bceabe，判断abe的形状并加以证明；（3）在（ 2）的条件下，连结de，若45dec，求的值真题演练知识关联图【练 2】 （2012 年北京中考） 在abc中， babcbac，m是 a

2、c 的中点，p是线段上的动点，将线段pa绕点p顺时针旋转2得到线段 pq （1） 若且点p与点m重合 （如图 1） ， 线段 cq 的延长线交射线bm于点d，请补全图形，并写出cdb 的度数；（2）在图 2 中，点p不与点 bm，重合，线段 cq 的延长线与射线bm交于点d，猜想cdb 的大小（用含的代数式表示） ，并加以证明；（3）对于适当大小的，当点p在线段bm上运动到某一位置（不与点b，m重合）时，能使得线段cq 的延长线与射线bm交于点d，且 pqqd ，请直接写出的范围考点 1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的

3、旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）例题精讲【例 1】 （14 年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形，且（1）如图，连接、求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，求的度数；请直接写出正方形的边长的值abcdcefgabce1bgdgbgde2abcd2cefgccgbdbgbdbdecefg【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型

4、，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例 2】 （ 2014 年西城一模）四边形abcd 是正方形，bef是等腰直角三角形，90bef，beef，连接df， g 为df的中点，连接eg ， cg ， ec 。（1） 如图24-1， 若点e在 cb 边的延长线上， 直接写出 eg 与 gc 的位置关系及ecgc的值；（2）将图 24-1 中的bef绕点b顺时针旋转至图24-2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图acdgefbacdgefb图【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还

5、能说出几种？【例 3】 （2015 年海淀九上期末） 如图 1， 在abc中，4bc， 以线段ab为边作abd，使 得adbd，连 接 dc ， 再 以 dc 为 边 作cde， 使 得 dcde ，cdeadb（1）如图2 ，当45abc且90 时，用等式表示线段adde，之间的数量关系；（2） 将线段 cb 沿着射线 ce 的方向平移， 得到线段ef， 连接 bfaf， 若90 ，依题意补全图3，求线段af的长；请直接写出线段af的长 （用含的式子表示） 图 2 图 3 备用图eabcdeabcdeabcdeabcd图 1 【例 4】 （13 年房山一模）（1） 如图 1，abc和cde都

6、是等边三角形， 且b、c 、d三点共线，联结ad、be相交于点p，求证：bead（2）如图2，在bcd中，120bcdo，分别以 bc 、 cd 和bd为边在bcd外部作等边abc、等边cde和等边bdf，联结ad、be和 cf 交于点p，下列结论中正确的是_ （只填序号即可） adbecf ； becadc ；60dpeepccpao；（3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证：pbpcpdbe 图 2 pfdecadbppfdcadecabb图 1 【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 120旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程

7、最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换考点 2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例 1】 （2012 年西城期末）已知：如图，正方形abcd 的边长为a，bm， dn 分别平分正方形的两个外角，且满足45man，连结 mc ， nc ， mn 猜想线段bm，dn 和 mn 之间的等量关系并证明你的结论fedcbagfedcbaabcdeffedcbagabcdefgabcdeabcdef【例 2】 （2014 年平谷一模）（1） 如图 1， 点分别是正方形的边上的点，连接， 则之间的数

8、量关系是：连结，交于点，且满足，请证明这个等量关系；（2）在abc中，点分别为边上的两点如图2，当，时，应满足的等量关系是 _；如图 3，当，时，应满足的等量关系是_ 【参考：】ef、abcdbccd、45eafefefbefd、efbefdbdaeaf、mn、mnbmdn、222dnbmmnabacde、bc60bac30daebddeec、bac(090 )dae21bddeec、1cossin22abcdef图1bcde图2abcde图3amn考点 3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型 90 ）（全等型 120 ）（全等型 任意角）【例 1】 四边形被对角线

9、分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积oabcednomabcedoedcbaofedcbaoedcbaabcdbdabdcbdacac2abcddcba【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？【例 2】 已知：点是的平分线上的一动点，射线交射线于点， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使（1）利用图1，求证：papb；（2）如图1，若点是与的交点，当时，求pb与 pc 的比值；图 1 图 2 pmonpaomapaponb180apbmonocabop3pobpcbsscao

10、pbmnttnmbpoac【例 3】(初二期末 )已知：如图，在abc中，abac ，bac， 且 60120 p为abc内部一点，且pcac ，120pca（1）用含的代数式表示apc ，得apc=_ ；（2）求证：bappcb ；（3）求pbc 的度数bcpa【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？（【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。【练 1】 （ 2015 年昌平九上期末）如图，已知abcv和adev都是等腰直角三角形， 90bacdae，abac ，adae 连接bd交ae于

11、m,连接 ce 交ab于 n ，bd与 ce 交点为f，连接af（1）如图 1，求证：bdce ；（2）如图1，求证：af是cfd 的平分线；（3）如图 2，当2ac，15bce时，求 cf 的长 . fedcba图1nm图2abcdefmn全能突破【练 2】 （2014 西城九上期末）已知：abc，def都是等边三角形，m是 bc 与ef的中点，连接ad，be. （1）如图1，当ef与 bc 在同一条直线上时，直接写出ad与be的数量关系和位置关系；（2）abc固定不动， 将图 1 中的defv绕点m顺时针旋转（o0 o90 ）角，如图2 所示，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加

12、以证明；若不成立，说明理由；（3） abc 固定不动，将图1 中的defv绕点m旋转（）角，作 dhbc 于点h设bhx，线段ab，be，ed，da所围成的图形面积为 s当6ab，2de时，求 s关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围o0o90图 2备用图图 1 【练 3】 （2014 年朝阳一模24 题）在abc中， acbc ，在aed中，aded，点d、e分别在 ca 、ab上，（1）图，若90acbade，则 cd 与be的数量关系是_；（2）若120acbade，将aed绕点a旋转至如图所示的位置，则 cd与be的数量关系是_；（3）若2 (090 )acbade，将aed绕点

13、a旋转至如图所示的位置，探究线段cd 与be的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）【练 4】 （2015 年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在 rtabc中，90bac， abac， 点，e在边bc上，45dae若3bd，1ce，求de的长d小辉发现，将绕点a按逆时针方向旋转90o ，得到acfv，连接ef（如图2），由 图 形 旋 转 的 性 质 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 以 及45dae， 可 证faedaevv，得fede解fcev，可求得ef(即de)的长请回答：在图2中，fce的度数是 _，de的长为 _ rtabcv_参考小辉思考问题的方法，解决问题

14、：如图 3，在四边形中，abad，180bdef，分别是边 bccd，上的点，且12eafbad 猜想线段 beeffd，之间的数量关系并说明理由abcd图 1 abcde图 2 fabcde图 3 efdabc【练 5】（ 11 年石景山一模） 已知： 如图， 正方形中，,为对角线， 将绕顶点逆时针旋转()， 旋转后角的两边分别交于点、 点，交,于点、点，联结、（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明abcdacbdbaca045oobdpqbc cdefefeqb

15、acaeqapqaefqfcdbape【练 6】 （2015 年延庆九上期末） 已知：abc是oe的内接三角形，abac ，在bac所对弧 ac 上，任取一点d，连接 adbdcd，（1）如图 1，直接写出adb的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，如果60bac，求证： bdcdad ；（ 3）如图3，如果120bac，那么 bdcd 与ad之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果，直接写出bdcd与ad之间的数量关系. bacbacaobcdaobcddcboa图 1 图 2 图 3 【练 7】 （1)如图， 在四边形中，分别是边上的点，且求证：; (2) 如图在四边形中，

16、分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明(3) 如图，在四边形中，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明abcd90abadbd，ef、bccd、12eaf =badefbefdabcd180abadb+d，ef、bccd、12eafbadabcdabad180badcef，bccd，12eafbadefdcbaefdcbaefdcba【练 8】 小华遇到这样一个问题，如图 1, abcv中，acb30o ，65bcac， 在abcv内部有一点p，连接 papbpc、，求 papbpc 的最小值小华是

17、这样思考的：要解决这个问题， 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据 “ 两点之间，线段最短” ，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法， 发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是， 如图 2， 将apcv绕点 c 顺时针旋转60o ，得到edcv，连接 pdbe、，则be的长即为所求（1）请你写出图2 中， papbpc 的最小值为 _；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，菱形 abcd 中，abc60o，在菱形abcd 内部有一点p，请在图3中画出并指明长度等于papbpc 最

18、小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形abcd 的边长为4，请直接写出当papbpc 值最小时pb的长dacb图 3 deacbp图 2 acbp图 1 【练 9】 （2014 年西城二模） 在abcv，bac 为锐角， abac ，ad平分bac 交 bc于点d（1）如图1，若abcv是等腰直角三角形，直接写出线段ac ， cd ，ab之间的数量关系；（2）bc的垂直平分线交ad延长线于点e，交bc于点f如图 2，若60abe，判断 ac ， ce ，ab之间有怎样的数量关系并加以证明；如图 3，若3acabae，求bac 的度数【练 10】 (2014 年 1 月西城八年级期末试题附加题 ) 已知： 如图，man 为锐角，ad平分man ，点b，点 c 分别在射线am和 an 上， abac . （1）若点e在线段ca上，线段ec的垂直平分线交直线ad于点f，直线be交直线ad于点 g ，求证：ebfcag ；（2） 若 （ 1） 中的点e运动到线段ca 的延长线上，（ 1） 中的其它条件