《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习方法技巧九大专题：2018年中考数学复习方法技巧专题八：面积法解析

1、方法技巧专题八面积法解析1面积公式(1)三角形的面积×底×高×周长×内切圆的半径；(2)矩形的面积长×宽；(3)平行四边形的面积底×高；(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；(5)正方形的面积等于边长的平方；(6)梯形的面积×(上底下底)×高；(7)圆的面积r2；(8)扇形的面积lr；(9)弓形的面积扇形的面积±三角形的面积；(10)相似三角形面积的比等于相似比的平方2面积的计算技巧(1)利用“等底等高等积”进行转化；(2)用两种不同的方法分割同一整体；(3)“割补法”；(4)平移变换；(5)旋转变

2、换等等一、三角形面积【例题】（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点p为等边三角形内任意一点，则点p到三边的距离之和为( )a b c d不能确定答案b考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，abc是等边三角形，ab3，点p是三角形内任意一点，过点p分别向三边ab，bc，ca作垂线，垂足依次为d，e，f，过点a作ahbc于h则bh，ah连接pa，pb，pc，则spabspbcspcasabcab·pdbc·peca·pfbc·ahpdpepfah故选bpbadef答案图ch【同步训练】（2016·

3、黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质【分析】分两种情形讨论当30度角是等腰三角形的顶角，当30度角是底角，分别作腰上的高即可【解答】解：如图1中，当a=30°，ab=ac时，设ab=ac=a，作bdac于d，a=30°，bd=ab=a，aa=5，a2=20，abc的腰长为边的正方形的面积为20如图2中，当abc=30°，ab=ac时，作bdca交ca的延长线于d，设ab=ac=a，ab=ac，abc=c=30°，bac=1

4、20°，bad=60°，在rtabd中，d=90°，bad=60°，bd=a，aa=5，a2=20，abc的腰长为边的正方形的面积为20故答案为20或20二、四边形面积【例题】（2017内江）如图，四边形abcd中，adbc，cm是bcd的平分线，且cmab，m为垂足，am=ab若四边形abcd的面积为，则四边形amcd的面积是1【考点】s9：相似三角形的判定与性质；kj：等腰三角形的判定与性质【分析】延长ba、cd，交点为e依据题意可知mb=me然后证明eadebc依据相似三角形的性质可求得ead和ebc的面积，最后依据s四边形amcd=sebcsea

5、d求解即可【解答】解：如图所示：延长ba、cd，交点为ecm平分bcd，cmab，mb=me又am=ab，ae=abae=beadbc，eadebc=s四边形adbc=sebc=sebc=sead=×=s四边形amcd=sebcsead=1故答案为：1【同步训练】（2017宁夏）在边长为2的等边三角形abc中，p是bc边上任意一点，过点 p分别作 pma b，pnac，m、n分别为垂足（1）求证：不论点p在bc边的何处时都有pm+pn的长恰好等于三角形abc一边上的高；（2）当bp的长为何值时，四边形ampn的面积最大，并求出最大值【分析】（1）连接ap，过c作cdab于d，根据等边

6、三角形的性质得到ab=ac，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）设bp=x，则cp=2x，由abc是等边三角形，得到b=c=60°，解直角三角形得到bm=x，pm=x，cn=（2x），pn=（2x），根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接ap，过c作cdab于d，abc是等边三角形，ab=ac，sabc=sabp+sacp，abcd=abpm+acpn，pm+pn=cd，即不论点p在bc边的何处时都有pm+pn的长恰好等于三角形abc一边上的高；（2）设bp=x，则cp=2x，abc是等边三角形，b=c=60°，pmab，pnac，bm=x，pm=x

7、，cn=（2x），pn=（2x），四边形ampn的面积=×（2x）x+ 2（2x）（2x）=x2+x+=（x1）2+，当bp=1时，四边形ampn的面积最大，最大值是【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键三、组合型面积【例题】（2017营口）如图，点a1（1，）在直线l1：y=x上，过点a1作a1b1l1交直线l2：y=x于点b1，a1b1为边在oa1b1外侧作等边三角形a1b1c1，再过点c1作a2b2l1，分别交直线l1和l2于a2，b2两点，以a2b2为边在oa2b2外侧作等边三角形a2b2c2，按此规律进行下去，则第

8、n个等边三角形anbncn的面积为（用含n的代数式表示）【考点】f8：一次函数图象上点的坐标特征；kk：等边三角形的性质.【专题】2a ：规律型【分析】由点a1的坐标可得出oa1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出a1b1的长度，由等边三角形的性质可得出a1a2的长度，进而得出oa2=3，通过解直角三角形可得出a2b2的长度，同理可求出anbn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形anbncn的面积【解答】解：点a1（1，），oa1=2直线l1：y=x，直线l2：y=x，a1ob1=30°在rtoa1b1中，oa1=2，a1ob1=30°

9、;，oa1b1=90°，a1b1=ob1，a1b1=a1b1c1为等边三角形，a1a2=a1b1=1，oa2=3，a2b2=同理，可得出：a3b3=，a4b4=，anbn=，第n个等边三角形anbncn的面积为×anbn2=故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出anbn=是解题的关键2-1-c-n-j-y【同步训练】（2017绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积

10、为【考点】kx：三角形中位线定理；kw：等腰直角三角形【分析】记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，求出s1，s2，s3，探究规律后即可解决问题【解答】解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，s1=s=s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=，故答案为四、扇形阴影面积【例题】（2016·黑龙江龙东·3分）若点o是等腰abc的外心，且boc=60°，底边bc=2，则abc的面积为（）a2+b c2+或2d4+2或2【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质【分析】根据题意可

11、以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下abc的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当abc为a1bc时，连接ob、oc，点o是等腰abc的外心，且boc=60°，底边bc=2，ob=oc，obc为等边三角形，ob=oc=bc=2，oa1bc于点d，cd=1，od=，=2，当abc为a2bc时，连接ob、oc，点o是等腰abc的外心，且boc=60°，底边bc=2，ob=oc，obc为等边三角形，ob=oc=bc=2，oa1bc于点d，cd=1，od=，sa2bc=2+，由上可得，abc的面积为或2+，故

12、选c【同步训练】（2017贵州安顺）如图，ab是o的直径，c是o上一点，odbc于点d，过点c作o的切线，交od的延长线于点e，连接be（1）求证：be与o相切；（2）设oe交o于点f，若df=1，bc=2，求阴影部分的面积【考点】me：切线的判定与性质；mo：扇形面积的计算【分析】（1）连接oc，如图，利用切线的性质得oce=90°，再根据垂径定理得到cd=bd，则od垂中平分bc，所以ec=eb，接着证明oceobe得到obe=oce=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设o的半径为r，则od=r1，利用勾股定理得到（r1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用

13、三角函数得到bod=60°，则boc=2bod=120°，接着计算出be=ob=2，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2sobes扇形boc进行计算即可【解答】（1）证明：连接oc，如图，ce为切线，occe，oce=90°，odbc，cd=bd，即od垂中平分bc，ec=eb，在oce和obe中，oceobe，obe=oce=90°，obbe，be与o相切；（2）解：设o的半径为r，则od=r1，在rtobd中，bd=cd=bc=，（r1）2+（）2=r2，解得r=2，tanbod=，bod=60°，boc=2bod

14、=120°，在rtobe中，be=ob=2，阴影部分的面积=s四边形obecs扇形boc=2sobes扇形boc=2××2×2=4五、其它类型的面积【例题】如图，四边形abcd中，adbc，abc+dcb=90°，且bc=2ad，以ab、bc、dc为边向外作正方形，其面积分别为s1、s2、s3，若s1=3，s3=9，则s2的值为（）a12b18c24d48【考点】kq：勾股定理【分析】根据已知条件得到ab=，cd=3，过a作aecd交bc于e，则aeb=dcb，根据平行四边形的性质得到ce=ad，ae=cd=3，由已知条件得到bae=90

15、76;，根据勾股定理得到be=2，于是得到结论【解答】解：s1=3，s3=9，ab=，cd=3，过a作aecd交bc于e，则aeb=dcb，adbc，四边形aecd是平行四边形，ce=ad，ae=cd=3，abc+dcb=90°，aeb+abc=90°，bae=90°，be=2，bc=2ad，bc=2be=4，s2=（4）2=48，故选d【同步训练】（2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形abcd，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为s的小正方形efgh已知am为rtabm较长直角边，am=22ef，则正方形abcd的面积为（）a12sb10sc

16、9sd8s【考点】kr：勾股定理的证明【分析】设am=2abm=b则正方形abcd的面积=4a2+b2，由题意可知ef=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，由此即可解决问题【解答】解：设am=2abm=b则正方形abcd的面积=4a2+b2由题意可知ef=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，am=22ef，2a=22b，a=2b，正方形efgh的面积为s，b2=s，正方形abcd的面积=4a2+b2=9b2=9s，故选c【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题【达标训练】1.2. （20

17、17乌鲁木齐）如图，在矩形abcd中，点f在ad上，点e在bc上，把这个矩形沿ef折叠后，使点d恰好落在bc边上的g点处，若矩形面积为4且afg=60°，ge=2bg，则折痕ef的长为（）a1bc2d【考点】pb：翻折变换（折叠问题）；lb：矩形的性质【分析】由折叠的性质可知，df=gf、he=ce、gh=dc、dfe=gfe，结合afg=60°即可得出gfe=60°，进而可得出gef为等边三角形，在rtghe中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出ge=2ec、dc=ec，再由ge=2bg结合矩形面积为4，即可求出ec的长度，根据ef=ge=2ec即可

18、求出结论【解答】解：由折叠的性质可知，df=gf，he=ce，gh=dc，dfe=gfegfe+dfe=180°afg=120°，gfe=60°afge，afg=60°，fge=afg=60°，gef为等边三角形，ef=gefge=60°，fge+hge=90°，hge=30°在rtghe中，hge=30°，ge=2he=ce，gh=he=cege=2bg，bc=bg+ge+ec=4ec矩形abcd的面积为4，4ecec=4，ec=1，ef=ge=2故选c3. （2017四川南充）已知菱形的周长为4，两条

19、对角线的和为6，则菱形的面积为（）a2bc3d4【考点】l8：菱形的性质【分析】由菱形的性质和勾股定理得出ao+bo=3，ao2+bo2=ab2，（ao+bo）2=9，求出2aobo=4，即可得出答案【解答】解：如图四边形abcd是菱形，ac+bd=6，ab=，acbd，ao=ac，bo=bd，ao+bo=3，ao2+bo2=ab2，（ao+bo）2=9，即ao2+bo2=5，ao2+2aobo+bo2=9，2aobo=4，菱形的面积=acbd=2aobo=4；故选：d4. （2017广西）如图，在正方形abcd中，o是对角线ac与bd的交点，m是bc边上的动点（点m不与b，c重合），cndm

20、，cn与ab交于点n，连接om，on，mn下列五个结论：cnbdmc；condom；omnoad；an2+cm2=mn2；若ab=2，则somn的最小值是，其中正确结论的个数是（）a2b3c4d5【考点】s9：相似三角形的判定与性质；kd：全等三角形的判定与性质；le：正方形的性质【分析】根据正方形的性质，依次判定cnbdmc，ocmobn，condom，omnoad，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论【解答】解：正方形abcd中，cd=bc，bcd=90°，bcn+dcn=90°，又cndm，cdm+dcn=90°，bcn=cdm，又cbn=d

21、cm=90°，cnbdmc（asa），故正确；根据cnbdmc，可得cm=bn，又ocm=obn=45°，oc=ob，ocmobn（sas），om=on，com=bon，doc+com=cob+bpn，即dom=con，又do=co，condom（sas），故正确；bon+bom=com+bom=90°，mon=90°，即mon是等腰直角三角形，又aod是等腰直角三角形，omnoad，故正确；ab=bc，cm=bn，bm=an，又rtbmn中，bm2+bn2=mn2，an2+cm2=mn2，故正确；ocmobn，四边形bmon的面积=boc的面积=1，即

22、四边形bmon的面积是定值1，当mnb的面积最大时，mno的面积最小，设bn=x=cm，则bm=2x，mnb的面积=x（2x）=x2+x，当x=1时，mnb的面积有最大值，此时somn的最小值是1=，故正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：d5. （2017营口）如图，点a1（1，）在直线l1：y=x上，过点a1作a1b1l1交直线l2：y=x于点b1，a1b1为边在oa1b1外侧作等边三角形a1b1c1，再过点c1作a2b2l1，分别交直线l1和l2于a2，b2两点，以a2b2为边在oa2b2外侧作等边三角形a2b2c2，按此规律进行下去，则第n个等边三角形anbncn的面积为（用含n

23、的代数式表示）【考点】f8：一次函数图象上点的坐标特征；kk：等边三角形的性质【专题】2a ：规律型【分析】由点a1的坐标可得出oa1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出a1b1的长度，由等边三角形的性质可得出a1a2的长度，进而得出oa2=3，通过解直角三角形可得出a2b2的长度，同理可求出anbn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形anbncn的面积【解答】解：点a1（1，），oa1=2直线l1：y=x，直线l2：y=x，a1ob1=30°在rtoa1b1中，oa1=2，a1ob1=30°，oa1b1=90°，a1b1=

24、ob1，a1b1=a1b1c1为等边三角形，a1a2=a1b1=1，oa2=3，a2b2=同理，可得出：a3b3=，a4b4=，anbn=，第n个等边三角形anbncn的面积为×anbn2=故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出anbn=是解题的关键6. （2017内蒙古赤峰）如图1，在abc中，设a、b、c的对边分别为a，b，c，过点a作adbc，垂足为d，会有sinc=，则sabc=bc×ad=×bc×acsinc=absinc，即sabc=absinc同理s

25、abc=bcsinasabc=acsinb通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图2，在abc中，若a、b、c的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c22bccosab2=a2+c22accosbc2=a2+b22abcosc用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在def中，f=60°，d、e的对边分别是3和8求sdef和de2解：sdef=ef×dfsinf=6；de2=ef2+df22ef×dfcosf=49（2）如图4，在abc中，已知acbc，c=60°，abc'、bca'、acb'

26、分别是以ab、bc、ac为边长的等边三角形，设abc、abc'、bca'、acb'的面积分别为s1、s2、s3、s4，求证：s1+s2=s3+s4【考点】ky：三角形综合题【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出s1，s2，s3，s4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在def中，f=60°，d、e的对边分别是3和8，ef=3，df=8，sdef=ef×dfsinf=×3×8×sin60°=6，de2=ef2+df22ef×dfcosf=32+822×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，acb=60°，ab2