2014全国新课标卷Ⅰ(理科数学)精准解析

1、2014 高考真题全国新课标卷I (理科数学) 1. 2014 高考真题 新课标全国卷I 已知集合 A = x|x2 2x 3 0 , B=x| 2 x0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一 条渐近线的距离为( ) A. 3 B . 3 C. . 3m D . 3m 4 . A 解析双曲线的一条渐近线的方程为 x+ . my= 0根据双曲线方程得 a2 = 3m, b2 = 3,所以 c= 3m+ 3, 双曲线的右焦点坐标为(p3m+ 3, 0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 M；m + 3=看. 1 + m 5 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 4 位同学各自在周六、周日两天

2、中任选一天参加公益活动，则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) 1 3 A8 B.8 24= 16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本 6. 、2014 高考真题 新课标全国卷I 如图 11,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 5 C.8 7 D.8 7 8. 5 . D 解析每位同学有 2 种选法，基本事件的总数为 事件有 的函数 f(x)，贝 U y= f(x)在0 , 4 7. D 解析逐次计算，依次可得：M = 3, a= 2, b = 2, n = 2; M = 3, a= |, b = 8 n = 3; M = 15 15 b =三，

3、n = 4.此时输出 M，故输出的是三. 8 8 71 3 a + B= 2 n 2 a + B = 2 n B n a= +B 即卩2 a B=孑6. C 解析根据三角函数的定义，点 1 M(cos x, 0), OPM 的面积为 qlsin xcos x|,在直角三角形 OPM 中, 根据等1 % f(x)= |sin xcos x|= 2|sin 2x|,且当 x=q 时上述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. 7. 2014新课标全国卷I 执行如图 12 所示的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1, 2, 3，则 20 16 7 代亍 B.? 15 D.

4、y CSS j bM | rtwi+1 | - 15 8， 8. 2014 高考真题 新课标全国卷I 设妖 0, n , - 0, n LT ，且 tan a ，则( cos - 7 8. C 解析tan a cos - cos 2 + sin- cossi n cos+ sin- 2 B . 2 B cos 2 sin 2 1 + tan 2 - =tan + B 1 tan2 7t 因为B 0，专，所以4 + 7t tan a =tan 4 + B，所以 / A / 图 12 X | y 1 9.、2014 高考真题新课标全国卷I 不等式组 -的解集记为 D,有下面四个命题: X 2yW

5、4 pi： ? (x, y) D, x+ 2y 2, p2： ? (x, y) D, x+ 2y 2, P3： ? (x, y) D, x+ 2yw 3, P4： ? (x, y) D, x+ 2yw 1. 其中的真命题是( ) A . P2, p3 B. pi, p2 C . pi, P4 D. pi, P3 9. B 解析不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 z= x+ 2y,根据目标函数的几何 意义可知，目标函数在点 A(2, 1)处取得最小值，且 Zmin = 2 2= 0,即 x+ 2y 的取值范围是0,+ )，故命题 pi, P2为真，命题 p3, p4为假.

6、线 PF 与 C 的一个交点.若= 4,则 QF =( ) A.7 B. 3 C.| D. 2 10 . B 解析由题知 F(2, 0)，设 P( 2, t), Q(X0, y)，则 FP = ( 4, t), = (X0 2, y),由 FP = 4FQ , 得一 4= 4(X0 2)，解得 X0= 1,根据抛物线定义得|QF|= x+ 2 = 3. 11. 2014 高考真题 新课标全国卷I 已知函数 f(x)= ax3 3x2 + 1，若 f(x)存在唯一的零点 x,且 x0，则 a 的取值范围是( ) A . (2 ,+ ) B . (1 ,+ ) C . ( a, 2) D . (

7、a, 1) 11. C 解析当 a= 0 时，f(x)= 3x2 + 1，存在两个零点，不符合题意，故 0. 2 2 由 f x) = 3ax2 6x= 0，得 x= 0 或 x = . a 若 a0 ,则 f(x)极大值=f(0)= 10，此时函数 f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意. 综上可知，实数 a 的取值范围为(一a, 2). 12 . 2014 高考真题新课标全国卷I 如图 13,网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( ) X 、 Q 是直 若 a0， 即可解得 a2bc a2, 即卩 bc 4，所以 ABC

8、 面积的 最大值为苏 4X 2 = . 3. 17 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 已知数列an的前 n项和为 Sn, a1= 1, an* 0, anan +1=入n 1，其中 入为常数. (1) 证明：an+ 2 an=入 是否存在 入使得an为等差数列？并说明理由. 17 .解：(1)证明：由题设，anan +1=入$ 1 , an +1an + 2=入$+1 1 , 两式相减得 an+ 1(an+2 an)=入0, + 1. 因为 an+丄工 0,所以 an+2 an=入 (2) 由题设，a1= 1, a1a2=入 1 1,可得 a2= 1, 由(1)知，a3= + 1. 若

9、2n为等差数列，则 2a2= a1 + a3,解得入=4，故 a*+ 2 a*= 4. 由此可得a2n-1是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n1 = 4n 3; 13 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 13 . 20 解析(x+ y)8的展开式中 x2y8 的系数为 8 28= 20. 15 . 90 解析由题易知点 O 为 BC 的中点，即 角，即 AC 与 AB 的夹角为 90 . BC 为圆 O 的直径，故在 ABC 中，BC 对应的角 A 为直 16. 3 解析 b2+ c2 a2 1 A = 2bc= 2, 根据正弦定理和 n 所以A = y.根据 a2n是首项为 3

10、,公差为 4 的等差数列，a2n= 4n 3. 所以 an = 2n 1, an+1 an= 2. 因此存在 入=4,使得数列 an为等差数列. 18 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量 指标值，由测量结果得如图 14 所示的频率分布直方图： 3 证明：AC = AB1； (1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 (2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 似为样本方差 s1 4 (i)利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)； (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100

11、件产品中质量指标值位于区间 (187.8 , 212.2)的 产品件数，利用(i)的结果，求 EX. 附： 150 12.2. 若 ZN(仏 0)，则 p(厂 oZ 叶 0= 0.682 6, p( 1 2 oZ 叶 2 0 = 0.954 4. 18 .解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2分别为 =170X 0.02 + 180X 0.09+ 190X 0.22+ 200X 0.33 + 210X 0.24+ 220X 0.08+ 230X 0.02 = 200. s2= ( 30)2X 0.02 + ( 20)2 X 0.09+ ( 10)2X 0.22+ 0X 0.

12、33+ 102X 0.24 + 202X 0.08 + 302X 0.02 = 150. (2)(i)由(1)知，ZN(200, 150)，从而 P(187.8Z212.2) = P(200 12.2Zb0)的离心率为 ；,F 是 椭圆 E的右焦点，直线 AF 的斜率为竽，O 为坐标原点. (1) 求 E 的方程； (2) 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 I的方程. 20. 解：(1)设 F(c, 0),由条件知，C= 233，得 C= Y. 又 C=专，所以 a = 2, b2= a2 c2= 1. a 2 2 故 E 的方程为x +

13、y2= 1. 4 (2)当 I丄 x 轴时不合题意， 故可设 I: y= kx 2, P(X1, y1), Q(x2, y2). 2 将 y= kx 2 代入x + y2= 1 得(1 + 4k2)x2 16kx+ 12 = 0, 4 当= 16(4k2 3)0,即卩 k23 时， 8k 2 寸 4k2 3 x1, 2= 4k2+ 1 , 从而|PQ| = k2 + 1|X1 X2| _ 4k2+ 1 . 4k2 3 = 4k2+1 . 又点O到直线 I的距离 d= 2 Vk+1 所以 OPQ 的面积 贝 U cos n, m n m 1 丽=7. , 0. 3333 1 4p4k2 3 S

14、OPQ= 2 d |PQ|= 4k2+1 . 设 4k5 6 3 = t,贝 U t0, SOPQ= 2+4 = 4. t t+1 因为 t+ 44，当且仅当 t= 2,即 心垮时等号成立，满足 40, 所以，当 OPQ 的面积最大时，k=27, l 的方程为 y = #x 2 或 y= #x 2. bex-1 21. 、2014 高考真题新课标全国卷I 设函数 f(x) = aexln x+，曲线 y= f(x)在点(1, 为 y= e(x- 1) + 2. (1) 求 a, b; (2) 证明：f(x)1. 21 .解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,+s ), x. a x b x-

15、1 i b x-1 f (x) = ae ln x+ _e x2e 十 xe . 由题意可得 f(1) = 2, f(特 e,故 a= 1, b= 2. (2)证明：由(1)知，f(x) = exln x+ ex 7 8, x 从而 f(x)1 等价于 xln xxe-x -2 e 设函数 g(x) = xln x, 则 gx)= 1 + In x, 所以当 x 0, 时，g (x)0. Q, 1上单调递减，在 E，+s 上单调递增，从而 g(x)在(0,+)上的最小值为 设函数 h(x) = xe- x 2，则 hx)= e-x(1 x). e 所以当 x (0, 1)时，h刈0; 当 x

16、(1,+ )时,hx)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1. 22 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 选修 41:几何证明选讲 如图 16,四边形 ABCD 是O O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB= 故 g(x)在 0 因为 gmin(x)= g h(1) = hmax(x), 设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB= MC 知 MN 丄 BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是O O 的直径，M为 AD的中点，故 OM 丄 AD，即 MN 丄 AD , 所以 AD / BC,故/ A=Z CBE. 又/ CBE = Z E,故/

17、 A=Z E,由(1)知， 23 . 2014 高考真题 新课标全国卷I 选修 44:坐标系与参数方程 (1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 I的普通方程； (2) 过曲线 C 上任意一点 P 作与 I夹角为 30 的直线，交 I于点 A，求|PA|的最大值与最小值. x = 2cos 0 , 23 .解：(1)曲线 C 的参数方程为 (0为参数), |y = 3sin 0 直线 I的普通方程为 2x+ y 6= 0. 曲线 C 上任意一点 P(2cos 0 , 3sin 0倒 l 的距离 15 d=|4cos 0 + 3sin 0 6|, 则 |PA=爲盒=255|5sin( 0+ a 6|, 4 其中a为锐角，且 tan a = 3. 3 当 sin( 0+ %)= 1 时，|PA|取得最大值，最大值为 笔生 5 当 sin( 0+ = 1 时，|PA|取得最小值，最小值为 红5. 5 24. 2014 高考真题新课标全国卷I 选修 45:不等式选讲 若 a0 , b0 ,且+ = ab. a b u (1)求 a3+ b3的最小值. 11 2 是否存在 a, b，使得 2a + 3b= 6?并说明理由.24.