2019-2020学年广东省梅州市兴宁宋声中学高三数学理期末试卷含解析（精编版）

1、2019-2020学年广东省梅州市兴宁宋声中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设均为非零常数，给出如下三个条件：与均为等比数列；为等差数列，为等比数列；为等比数列，为等差数列，其中一定能推导出数列为常数列的是（）a b c d参考答案：d 试题分析：当与均为等比数列时, 则, 即, 注意到, 故有, 也即, 所以既是等比数列也是等差数列, 故是常数数列 , 因此是正确的. 当是等差数列 ,为等比数列时 , 则, 即, 注意到, 故有, 也即, 所以既是等比数列也是等差数列, 故是常数

2、数列. 当是等比数列 ,为等差数列时 , 则, 即, 即, 注意到, 故是常数数列 , 所以应选 d.考点：等差数列等比数列的定义及性质的综合运用.【易错点晴】本题以等差数列和等比数列的有关知识为背景, 考查的是归纳猜想和推理论证的能力 , 及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力. 求解时充分借助题设条件中的有效信息 , 利用等差数列和等比数列的定义, 逐一验证和推算所给四个命题的正确性, 最后通过推理和论证推知命题题都是正确的.2. 知双曲线，a1、a2是实轴顶点， f 是右焦点，是虚轴端点，若在线段bf 上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以 a1a2为斜边的直角三角形，则双曲线离

3、心率e的取值范围是（）abcd参考答案：b3. 已知点 m（x, y）在不等式组所表示的平面区域内，则的值域为 ( ) （a）( b) ( c) ( d) 参考答案：答案： b 4. 已知 tan =2，则=( )ab2 cd2参考答案：a【考点】运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值【解答】解： tan=2，则=，故选： a【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题5. 在一个圆锥内有一个半径为r 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则 r=（）a. 1

4、 b. c. 2 d. 参考答案：b 【分析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为，高为,得，进一步得圆锥体积，求导求最值即可求解【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为o, 半径为，高为,则 oa=,又圆锥体积令，则当，故在单调递增，在单调递减，故在取得最小值，此时故选： b 【点睛】本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题6. 点 p是抛物线 y2=4x 上一动点，则点p到点 a（0， 1）的距离与到直线x=1 的距离和的最小值是（）abc2 d参考答案：d【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系【分析】设a（0，

5、1），先求出焦点及准线方程，过p作 pn 垂直直线 x=1，有|pn|=|pf| ，连接 f、a，有|fa| |pa|+|pf| ，从而只求|fa| 【解答】解：设a（0， 1），由 y2=4x 得 p=2， =1 ，所以焦点为f（1，0），准线x=1，过 p 作 pn 垂直直线 x=1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有 |pn|=|pf| ，连接 f、a，有|fa| |pa|+|pf| ，所以 p为 af与抛物线的交点，点p 到点 a（0，1）的距离与点p到直线 x=1 的距离之和的最小值为 |fa|=，故选： d 7. 已知 a=（x，y）|x2+y22

6、 ，b是曲线 y=sinx 与 x 轴围成的封闭区域，若向区域a 内随机投入一点m ，则点 m落入区域 b的概率为（）abcd 参考答案：d【考点】 cf ：几何概型【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx 与 x 轴围成的区域记为m的面积，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3，正弦曲线y=sinx 与 x 轴围成的区域记为m ，根据图形的对称性得：面积为s=2 0sinxdx= 2cosx|0=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆o内投一个点 a，则点 a 落在区域 m内的概率p=，故选： d 8.

7、已知向量, 则面积的最小值为（）.a. b. c. d. 不存在参考答案：c略9. 若 样 本的 方 差 是， 则 样 本的 方 差为（）a. 3+1 b. 9+1 c. 9+3 d. 9参考答案：d 略10. 要得到函数y=sin2x 的图象，只要将函数y=sin （2x）的图象（）a向左平移单位b向右平移单位c向左平移单位d向右平移单位参考答案：c【考点】函数y=asin （x+）的图象变换【分析】根据函数y=asin （x+?）的图象变换规律得出结论【解答】解：将函数y=sin （2x）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=sin2x的图象，故选 c二、 填空题 :本大题共

8、 7 小题,每小题 4分,共 28分11. 设变量满足约束条件的取值范围是 _.参考答案：12. 对于实数，定义是不超过的最大整数，例如：在直角坐标平面内，若满足，则的最小值为参考答案：2 或者，即或表示的可行域如图所示：可以看作可行域内点到点距离的平方由图可知，可行域内的点到到点的距离的平方最小的最小值为2 故答案为 2. 13. 设变量 x, y满足约束条件，则目标函数的最小值为。参考答案：9；画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（ 3，-3 ）时取最小值，且最小值为-9.14. 如图所示，三棱锥pabc中， abc是边长为 3 的等边三角形， d是线段 ab的中点，de pb=

9、e ，且 de ab ，若edc=120 ， pa= ，pb=，则三棱锥pabc的外接球的表面积为参考答案：13【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由题意得pa2+pb2=ab2，即可得 d为pab的外心，在cd上取点 o1，使 o1为等边三角形 abc的中心，在 dec中，过 d作直线与 de垂直，过 o1作直线与 dc垂直，两条垂线交于点 o ，则 o为球心，在 dec中求解 oc ，即可得到球半径，【解答】解：由题意，pa2+pb2=ab2，因为，ad 面 dec ，ad ?pab ，ad ?abc ，面 apb 面 dec ，面 abc 面 dec ，在 cd上取点 o1，使

10、 o1为等边三角形abc的中心，d 为pab斜边中点，在 dec中，过 d作直线与de垂直，过 o1作直线与 dc垂直，两条垂线交于点o，则 o为球心edc=90 ，又，oo1=，三棱锥 pabc的外接球的半径r=，三棱锥 pabc的外接球的表面积为4r2=13，故答案为： 13【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题15. 如右图，放置的边长为1 的正方形沿轴滚动。设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为参考答案：16. 已知，i 是虚数单位，若，则的值为 _. 参考答案：2 试题分析：，则，所以，故答案为 217. 函数的

11、零点属于区间，则参考答案：1 【知识点】零点存在性定理b9 解析：在 r上单调递增且为连续函数，因为，所以，根据零点存在性定理可得。零点属于区间，所以，故答案为 1.【思路点拨】因为函数为单调递增且为连续函数，根据零点存在性定理，只需找到的，的值即可，确定的值.三、 解答题：本大题共5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12 分）设函数 f （x）=alnx ，g（x）= x2（1）记 g （x）为 g（x）的导函数，若不等式f （x）+2g （x）（a+3）xg（x）在x1 ，e 上有解，求实数a 的取值范围；（2）若 a=1，对任意的x1x20，不等

12、式 mg（x1） g（x2） x1f （x1） x2f （x2）恒成立求 m （m z， m1）的值参考答案：1）不等式 f（x） +2g （x）（ a+3 ）xg（x），即 为，化简得：，由 x 1 ， e 知 xlnx0，因而，设，由=当 x（1，e）时 x10，y 0 在 x 1 ， e 时成立由不等式有解，可得知，即 实数 a 的取值范围是，+）.6分（2）当 a=1 ，f（x）=lnx 由 mg （x1）g （x2）x1f（x1）x2f（x2）恒成立，得mg （x1）x1f（x1）mg （x2）x2f（x2）恒成立，设由题意知 x1x20，故当 x（0， +）时函数 t（x）单调递

13、增， t （ x）=mx lnx10恒成立，即恒成立，因此， 记，得，函数在（0，1）上单调递 增，在（ 1， +）上单调递减 ，函数 h（x）在 x=1 时取得极大值，并且这个极 大值就是函 数 h（x）的最大 值由此可得h （ x ）max=h （ 1 ） =1 ， 故m1， 结 合 已 知 条 件mz， m1， 可 得m=1 .12分略19. 某市公租房的房源位于a，b，c 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：（）恰有 2人申请 a 片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望参考答案：解：这是等可能

14、性事件的概率计算问题. （i）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有 2 人申请 a 片区房源的申请方式种，从而恰有 2人申请 a 片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4 次独立重复试验 . 记“申请 a 片区房源”为事件a，则从而，由独立重复试验中事件a 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有2 人申请 a片区房源的概率为（ii） 的所有可能值为1，2，3.又综上知， 有分布列 1 2 3 p 从而有20. 已知设 p：函数 y在 r 上单调递减； q：函数在上为增函数，若“ pq”为假，“ pq”为真，求实数的取值范围参考答案：解： 函数在 r上单调递减，01. 又

15、函数在上为增函数，.即q：0.又“pq”为真，“ pq”为假，p真 q 假或 p 假 q 真当 p 真，q 假时， |0 1当 p 假，q 真时， |1综上所述，实数的取值范围是略21. 设函数. （1）若的解集为 3,1，求实数 a 的值；（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围 . 参考答案：（1）即，2 分当时，即，无解3分当时，令，解得4分综上：5分（2）当时，令7分当时，有最小值，即8分存在，使得不等式成立，等价于，即，所以10 分22. 如图，已知圆柱oo1，底面半径为1，高为 2，abcd 是圆柱的一个轴截面，动点m 从点 b 出发沿着圆柱的侧面到达点d，其路径最短

16、时在侧面留下的曲线记为：将轴截面abcd 绕着轴 oo1，逆时针旋转角到 a1b1c1d1位置，边 b1c1与曲线相交于点 p. （1）当时，求证：直线平面；（2）当时，求二面角的余弦值 . 参考答案：（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）法一：建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面的法向量，可得结论；法二：由已知条件推导出aba1b1，aboo1，得到 ab平面 a1b1c1d1，可得abb1d1，结合 opb1d1由此能证明直线b1d1平面 pab（2）以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，利用向量法能求出二面角dabp 的余弦值【详解】（ 1）方法一：当时，