数学选修2-3-2.4：正态分布(公开课课件)

1、2.42.4正态分布正态分布 我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率它等于某一特定实数的概率0 0，人们感兴趣的是它取，人们感兴趣的是它取不同值的概率，即研究其分布列不同值的概率，即研究其分布列. . 引入引入 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，所连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率. .离散型随离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随连续型随机变量的概率分布规律用密度曲线描述机变量的概率分

2、布规律用密度曲线描述. . 思考：思考：连续型随机变量的概率分布规律又怎样研连续型随机变量的概率分布规律又怎样研究呢？究呢？你知道你知道高尔顿板试验高尔顿板试验吗吗? 新课探究新课探究返回返回我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图123456 球槽编号球槽编号频率频率组距组距 新课探究新课探究7891011试验试验思考：球槽数增加，重复次数增加，频思考：球槽数增加，重复次数增加，频率分布直方图怎么变化？率分布直方图怎么变化？频率频率组距组距随着重复次数的增加，球槽数

3、增加随着重复次数的增加，球槽数增加直方图的形状会越来越像一条直方图的形状会越来越像一条“钟钟形形”曲线曲线 球槽编号球槽编号 新课探究新课探究这条曲线（这条曲线（就是或近似地是）就是或近似地是）下面函数的图象：下面函数的图象：22()21( ),(,)2xxex 正态分布密度曲线定义：正态分布密度曲线定义：易知易知 x x落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:abx xy,( )yx ,()( )bap abx dx xx 该区间所夹面积该区间所夹面积 的意义的意义总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平平均数平均数x x= 产品 尺寸(mm)总体平均数总

4、体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 的意义的意义1 2 （1）当）当 = 时时,函数值为最大函数值为最大.(3) (3) 的图象关于的图象关于 对称对称.（2） 的值域为的值域为 （4）当当 时时 为增函数为增函数.当当 时时 为减函数为减函数.,( )x ,( )x xxx( )x ( )x 正态曲线正态曲线的函数表示式的函数表示式 1(0,2（, （ ，+）012-1-2xy-33 =0 =1标准正态曲线标准正态曲线x 22()21( ),(,)2xxex 例例

5、1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（ ） a. b. c. d.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是实数222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeb正态曲线的性质正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右两头低、中间高、左右对称对称的基本特征的基本特征22()21( ),(,)2xxex （1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交. .（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线

6、x=对称对称.（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 22（4）曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1 2 1 3=0.5=-1=0=1若若 固固定定 , , 随随 值的变化值的变化而沿而沿x轴轴平移平移, , 故故 称为位置称为位置参数；参数； 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示 =0.5 =1 =2=0若若 固定固定, , 大时大时, , 曲线矮而曲线矮而胖；胖； 小时小时, , 曲曲线瘦而高线瘦而高, , 故故称称 形状参数

7、形状参数 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质=0.5012-1-2xy-33x=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定，曲线随着确定，曲线随着的变的变化而沿化而沿x轴平移；轴平移； 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质22()21( )2xxe 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律x轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1

8、。对称区域面积相等。对称区域面积相等。s(- ,-x)s(x, )s(- ,-x) 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。s(-x1, -x2) -x1 -x2 x2 x1s(x1,x2)=s(-x2,-x1) 4 4、特殊区间的概率、特殊区间的概率: :-a+ax=若若xn ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的分的面积，对于固定的 和和a 而言，该面积随着而言，该面积随着 的减少的减少而变大。这说明而变大。这说明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，的概率越大，即即x集中在集中在 周围概率

9、越大。周围概率越大。2( ,) (,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.pxpxpx特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.pxpxpx例例 在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态服从一个正态分布，即分布，即 n(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？xxx2、已知、已知xn (0,1)，则，则x在