2021年高考数学高分套路基本不等式(解析版)

1、基本不等式【套路秘籍】-千里之行始于足下a + b一.基本不等式：abw2_(1)基本不等式成立的条件：a> 0, b> 0. 等号成立的条件：当且仅当a= b时取等号.(3)其中一；厂称为正数a, b的算术平均数，.ab称为正数a, b的几何平均数.二几个重要的不等式(1) a2+ b2> 2ab(a, b R) b ar(2) "+匚2( a, b同号) a ba+ b 2 abw ( a, b R).a + ba+ b 22(a，b R)以上不等式等号成立的条件均为a= b.三算术平均数与几何平均数a + bt设a>0, b>0,则a, b的算术平

2、均数为，几何平均数为.ab,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0，贝U(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x= y时，x+ y有最小值2 p.(简记：积定和最小)2 如果和x+ y是定值p,那么当且仅当x = y时，xy有最大值鲁.(简记：和定积最大)【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一直接法2【例1】(1 )若x>0，则x +-的最小值是()xA. 2 B 4 C. ,2 D 2 2【答案】(1) D(2) C【解析】(1)由基本不等式可得x+J2、,x - = 2护，当且仅当x= 2即

3、x =护时取等号，故最小值是2 2、A.80B.77C.81D.82故选D.2x + y(2) xy w 2= 81,当且仅当x = y = 9时取等号.答案 C【套路总结】|利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即I一正：各项必须为正；II二定：各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时条件是否具备【举一反三】1. 已知0 vXV 4,则x(4 X)取得最大值时x的值为()A. 0B. 2C. 4D.6【答案】Cx 4 x o2时取【解析】因为0v xv 4，所以4 x > 0,所以x(4 x) w () = 4,当且仅当x= 4 X,即卩x=2等号.故选C

4、2. 若x>0, y>0，且x + y= 18,则.xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81【答案】 A【解析】 因为x+ y = 18,所以'xyw9，当且仅当x = y= 9时，等号成立13. 若 x<0,则 x + -()xA.有最小值，且最小值为 2B.有最大值，且最大值为 2C.有最小值，且最小值为 2D.有最大值，且最大值为 2【答案】D1 1【解析】因为x<0,所以一x>0, x+> 2 1 = 2,当且仅当x =- 1时，等号成立，所以 x+ <-2.X*x考向二配凑法3【例2-1】(1 )设0<x<2，则函

5、数y= 4x(3 2x)的最大值为 51已知则f(x) = 4x-2+厂的最大值为9【答案】 (1) 2(2)1【解析】(1) y= 4x(3 2x) = 22 x(3 2x) < 22x+( 3 2x)23当且仅当2x= 3 2x,即x=时，等号成立43339/ 4 0, 2,函数 y = 4x(3 2x)OVx V 2的最大值为空511 因为 x<，所以 5 4x>0,则 f (x) = 4x 2 += 5 4x + 344x 55 4xW 2(5 4x) 5 4x+ 3 = 2+ 3= 1.当且仅当 5 4x = § 4x，即 x= 1 时，等号成立1故f (

6、x) = 4x 2+ 4 _ 5的最大值为1.4X 5x【答案】+ 2【例2-2】函数y = x1 (x>1)的最小值为.【答案】2 3+ 22x 2x+ 1 + 2x 2 + 3x 12x + 2【解析】/ x>1,.x 1>0,.y =x 1x 1=(x 1) + 2> 2 3+ 2.3_当且仅当X - 1 = x 1,即x=3 + 1时'等号成立【套路总结】I此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等.B【举一反三】1. 已知0<x&l

7、t;1，则x(4 3x)取得最大值时x的值为.【解析】x(4 3x) = 3 (3x)(4 3x) < ； 3x+ 4 3x 2 43当且仅当3x= 4 3x,即x= 3时，取等号.2.若函数a等于()1f (x) = x+ -r(x>2)在x = a处取最小值，则x 2A.1 + 2B.1 +3C.3D.4【答案】【解析】当 x>2 时，x 2>0, f (x) = (x 2) + x + 2> 2 (x 2)x 土 + 2 = 4,当且仅当x 2 = 土(x>2),x= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即 a= 3.3.函数y承1的最大值为x+ 3

8、+ x 1【答案】【解析】y = x 1+ 4 + x1,当 x 1 = 0 时，y = 0，1 1 1 当 x 1>0 时，y=<= , 当且仅当 x 1 =44+ 15x 1 + 1'眾 x 14 等号成立，即x= 5时，ymax= 1.x 15考向三常数替代法【例3】(1)1 2已知 x>°, y>°,且-+ -= 1,则x + y的最小值为(2)已知正数4x, y 满足 x + y= X 则 x + y+ 11的最小值为【答案】(1)3 + 2 2(2) 9【解析】(1)由 x>0，y>0，得(x + y)当且仅当1 2y

9、 =2x时等号成立，又x + y = 1,x+ y> 3+ 2 2,所以x+ y的最小值为 3 + 2 2.(2)正数 x, y 满足(x + 2) + (y+ 1) = 4,4114-x + 2 + y+ 1 = 4(x + 2) + (y+ 1)+1x+ 2 4 y + 11x+ 2 1 y + 1 = 4 5 + y+ 1+ x + 24 5 +x+ 24 y + 19y+ 1 x+ 2 = 4,当且仅当2»419x = 2y=时，+. min =.3 x+ 2 y + 14【套路总结】I在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1 ”的替换，或

10、构造不等式I求解.【举一反三】411.若a, b c都是正数，且 a+ b+ c= 2,则+的最小值是a+1 b+c【答案】3【解析】t a, b, c都是正数，且 a+ b+ c=2,. a+ b+ c + 1 = 3,411且 a+ 1>0, b+ c>0. a+1 + »+ c= 3 (a+1 + b+ c)41a+1 + b+ c14 b+ca+1513 a+1 b+c1A 3(5 + 4) = 3.2 ,【例4】正数a, b满足ab= a+ b+ 3,则ab的取值范围是 当且仅当a + 1 = 2( b+ c)，即a= 1, b+ c = 1时，等号成立.2.

11、函数y = a1x(a>0, a 1)的图象恒过定点 A,若点A在直线m>+ ny- 1 = 0上，且m n为正数，则 m 1的 最小值为.【答案】4【解析】曲线y= a1-x恒过定点 A x = 1时，y = 1,可得m+ n= 1,1111 + + m n m n A(1 , 1).将 A点代入直线方程+ ny- 1 = 0(n>0, n>0),(m+ n) = 2+ -+2+ 2 /卫 且 4m nm n当且仅当m=n= 1( m>0, n>0),即1m= n=2时，取得等号3 .已知a 1,b0, a b2，则一a1的最小值为(2bC.22【答案】a

12、 1,b0,a b(a1) b1,a111 11则(a 1) b()1a 12ba 1 2b2当且仅当a 1b时，等号成立，则12ba 1a 1【解析】由题意知可得:a 1b3o a 1 b322b a 122b a 121的最小值为32。故选：A .2b2考向四 基本不等式积(ab)与和(a+ b)的转化【解析】/ a, b是正数， ab= a+ b+ 3>2 ab+ 3,解得 ab> 3，即 ab> 9.即 a+ b+ 3 wa+ b2 ，整理得(a+ b)2 4(a+ b) - 12>0,拓展：本例已知条件不变，求a+b的最小值.【答案】见解析【解析】2a+ b/

13、 a>0, b>0,. abw?,2【例6】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为qx），当年产量不足解得a+ b> 6或a+ b<- 2（舍）.故a+ b的最小值为6.【举一反三】11.若a>0, b>0且2a+ b= 4,则二的最小值为（）abA.2B.2C.41【答案】B【解析】 因为a>0, b>0,故2a + b>2 2ab（当且仅当2a= b时取等号）. 又因为 2a+ b = 4 , 2 2ab w 4? 0<abw 2,11,1 _ 1 “、 abq,故Ob的最小值为2（当且仅当a= 1,

14、 b = 2时等号成立）.2.若正数x, y满足x + 3y= 5xy，贝U 3x + 4y的最小值为 .【答案】51313133x12y 1312【解析】由x+ 3y= 5xy 可得 5y + 5x =1，所以 3X+ 4y = (3x + 4y)5y+ 5x= 5 + 5y +5x > 5 + 5 = 5(当且仅当3x = 22【解析】t a - b+ 4w o,. b>a + 4,. a+ b>a + a+ 4.，即x= 1, y= 时，等号成立)，所以3x+ 4y的最小值是5.5y 5x2考向五消元法【例5】已知正实数a, b满足a2- b+ 4w 0，则u = 土学

15、的最小值为 .a+ b14【答案】人5又；a, b>0.a+a2 + a+ 4,>-2 ,a+ ba + a+ 4a+ 3b u= a+b一 一 13> 3 2= 3a+ b a + a+ 44145，1 111 a 1【解析】由丄丄1 得:1 -a bbaai * b 0, a 0a1019191a 1 b 1 a1a1 a 1a 11当且仅当9a 1，即a 4时取等号a 1【答案】A，即：baa 119 a129 a 16a11.196本题正确选项：Aa 1b 1min24A -B. 59【答案】B【解析】正数X、y满足x 4y小40，贝U的最大值为( )x y14C -

16、D27xy 0 , y x0，解得x4,x 42 .若正数x、y满足x 4y xy44a+ +1a【举一反三】1 1 11 .若正数a , b满足1 ,则一9一的最小值为（ b 1)a ba 1A. 6B. 9C. 12D. 1554)的最大值为-故选：B .x y99，当且仅当4x 4时，等号成立,x 4考向六实际运用1 2 一 10 000 一 一80千件时，C（ x） = 3x + 10x（万兀）.当年产量不小于 80千件时，Qx） = 51x+ 1 450（万兀）.每件3商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. 写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数

17、解析式;（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解析】（1）因为每件商品售价为0.05【答案】见解析万元，则x千件商品销售额为 0.05 X 1 000x万元，依题意得当0<x<80250= 3x2+ 40x 250;3时，L( x) = 1 000 x X 0.05 ；x2+ 10x3当 x> 80 时，L(x) = 1 000 xX 0.05 51x + 10 000 1 450 250= 1 200 x+xx1 23X + 40x 250, 0<x<80, L( x)=10 0001 200 x + , x > 80.x 当

18、0<x<80 时，L(x) =- 3(x 60) 2+ 950.3对称轴为x = 60 ,即当x= 60时，L（x）max= 950万兀;当 x> 80 时，L(x) = 1 200 x + 10 000 w 1 200 20 000 = 1 000(万元),x当且仅当x = 100时，L( x) max= 1 000万元,综上所述，当年产量为 100千件时，年获利润最大.【举一反三】1.运货卡车以每小时 xkm的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制 50< xw 100（单位：km/h）.假设汽油的2x 价格是每升2元，而汽车每小时耗油2 + 升，司机的工资是每小

19、时 14元.360（1）求这次行车总费用 y关于x的表达式；当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】见解析2130130x130【解析】（1）设所用时间为 t,则 t = x （h） , y= x X 2X 2 + 360 + 14X x , x 50,100.一130X 18 2 X 130所以这次行车总费用 y关于x的表达式是y = x + 360 x，x 50,100.130X 182X 130l y=r + "X5X>2巩10，130 X 18 2 X 130,当且仅当 一x= 360 X，即卩x= 181时等号成立.故当x = 18 10 km

20、/h，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10元.考向七不等式与其他知识综合1 2【例7 (1)已知m n为正实数，向量a= ( m,1) , b= (1 n, 1)，若a/ b,则一 一的最小值为 .m nx y > 0,42(2)已知x, y满足约束条件 x + 2y0,且目标函数z = ax+ by(a, b>0)2x y 2 w 0,最小值为【答案(1) 3+ 2 2(2) 3 + 2 212 12n 2 m【解析(1)/ a / b,. m- (1 n) = 0，即 m n= 1,又 m n 为正实数，二-+- = 一+- (m n) = 一+ m n m nm n

21、时，取等(2)画区域如图，易知目标函数在点A处取得最大值，由x y= 0,2x y 2= 0,解得x= 2,y= 2,所以 2a+ 2b = 4，即 a+ b= 2,4 2 2 a+ b a+ b 2b a2b a/2ba厂所以 a+ b=r- + =2+, b+1=3+ h 产3+b=3+G2,2baa= 4 2J2,42厂当且仅当a = b，即卩时，取等号.故a+ b的最小值为3+ 2 2.abb= 2p2 2ab【举一反三1.已知函数f(x) = ex在点(0,f(0)处的切线为I，动点(a,b)在直线I 上,则2a+ 2b的最小值是 .【答案2【解析由题意得 f' (x) =

22、e, f (0) = e = 1, k=f ' (0) = e = 1.所以切线方程为 y 1 = x 0，即x y + 1 =0, a b+ 1= 0,. a b= 1 ,二 2a+ 2 b>2 2a - 2 b = 2 2ab= 2 21= 21 1当且仅当a= 2, b= 2时取等号2 .已知 2 1x 0, y 0,且x y1,若x 2y m2 2m恒成立，则实数m的取值范围是（）,2)4,4)2,) C.(-2,4)(-4,2)【答案】【解析】1,可得2y22y -x4 2 x 4y 8,'、y x而x 2y2m恒成立2mx 2y所以m22m8恒成立，即m22m

23、 80恒成立,解得m 2，故选3 .已知双曲线2y1(m, nn0）和椭圆11有相同的焦点，贝U m-的最小值为（nC.【答案】D【解析】椭圆1的焦点坐标为:1,014mnm,n0n4mmn14mn1mmin4m4m4m4 （当且仅当4mn2m时取等号）5 49本题正确选项:【运用套路】-纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行1已知正数a, b满足a+ b= 1,则4 +1的最小值为a b【答案】【解析】由题意知，正数a, b满足a+ b= 1,41则a+ b4 14b aa+ 匕2+ b) = 4+ 1+ a + b5+ 24b aab= 9，1当且仅当4b a2141a = b，即a= 3，b=

24、3时等号成立，所以a+ b的最小值为9.2.若实数x, y满足xy + 3x = 3 0<x<1，则|+ 占的最小值为【答案】【解析】由已知得，x= y+31 十口31又 0<x<-，可得 y>3,-+2 x1 1y-3+6=8,y-3 y+ 3+ y- 3 = = 3 + y- 3+ 62 y-当且仅当x = 7 时,31x+ y - 3 min= 8.3 圆 x24x 2y10上存在两点关于直线 ax 2by2 0 a 0,b0对称，则14的最小a b值为 。【答案】【解析】由圆的对称性可得,直线ax 2by 20必过圆心2,1，所以ab 1所以4ab5 49

25、，当且仅当b 4a；即 2ab时取等号,故选B.已知0，且 2x8yxy0，若不等式a x y恒成立，则实数a的范围是。,18【答案】【解析】2x 8yxy0得:10,即2x102x2x2x 8yy x2 y2x 8y 8 8x（当且仅当2x2 y时取等号）x y 10 818（当且仅当x 2y时取等号）18本题正确选项： D5.已知向量m a,1 ,n 2b 1,3 a 0,b2 10 ,若m/n,则的最小值为a b【答案】84.38 2、1243 8,【解析】因为/ n，所以 3a 2b 10 ,$(3a 2b)8b4b3ab当且仅当2b.3a时，取到最小值4、36若实数x，y满足x2 y

26、2xy则x+y的最大值是【答案】3【解析】实数x, y满足x2xy1，即xy 1 ，可得（xy)x2y2，变形得3(x y)214解得(x y)2<4,，故3x y的最大值为7设a0, b 0，若3是3a与3b的等比中项，则4的最小值为b【答案】 【解析】1 41 14 /, x1厂b-(a b)5a b'2 ab2a4a 汁 5+2 叼=2,8.已知x【分析】；3是3a与3b的等比中项，3a 3b 32，a b 2 ,0, lg2xlg8y1 1lg 2，贝U的最小值是x 3y【答案】4【解析】lg2x+lg8y=lg2,ig (2x?8/)=lg2, 23y _2, x+3y

27、= 1 x> 0,1y> 0, 1c1x 3y -12型x 2 2、3yx14,当且仅当x= 3y时x3yx3yx3y.x3y2等号by（a 0,b0）的最小值为1,则2x9 设变量x, y满足约束条件xy 3 02y 40,若目标函数z ax因为 4a 3b 1 0，所以 4 m n 3 2n m 10，整理得 m 2n 1 ,-1的最小值为b2a【答案】【解析】3变量x ,y满足约束条件 x2y40的可行域如图，y1当直线zax by(a0,b0）过直线y 1 和 2xy 30的交点（2,1）时,所以2a-一彳1 b 1,111(2 a b)=2+b 2a c c * 2 2

28、4.2ab2ab2a b当且仅当1 .1a-, b-42时取等故选:D10 .正实数x、y满足4x22y2xy4，则 2xy的最大值疋。0有最小值为1,【答案】4【解析】4x22y2xy2112x y 2x ,x40x(2x y)24 2xy4.11 .若正数a,b满足4a3b2x2；2x4 （当且仅当1 ,取等号），因此2x y的最大值为1的最小值为b【答案】3 22【解析】由题意，设2ab，解得a mn,b2n m 其中 m 0, n 0 ,2ab当且仅当2nm1所以12ab12.已知x【答案】18【解析】因为当且仅当4x又由11 12n mm 2n 3 -nm nm nm 沖，即mn1

29、_ 的最小值为3 22 a b'1(0, -)，则x(14x)取最大值时x的值是4、” 2n等号成立，(0,1)，所以 4x 0,1 4x 0，所以 x(1 4x)44x时，即x1，等号成立.13.已知正实数y满足x2yxy，则 xy的最小值为3 2：m14x(1 4x)44x 1 4x16【答案】3 2 2【解析】由x 2yxy，可得-1，可得x1 2x y (x y)()y x2. 2 ,14.已知x0, y0, x 2y2xy3，则x2 y的最小值为【答案】2【解析】1由题可得：x 2y 3x2y 32x 2y2(当且仅当x2 y时取等号)整理得：x2y24 x 2y120,即：

30、x2y2x 2y 60,又：x 2y0 ,所以：x2y2(当且仅当x2y时取等号)，则：x2y的最小值是2.故答案为：故x y的最小值为2.224?-15 .设实数？?满足条件 ?-?- 10 < 02?+ 8 >0，若目标函数?> 0, ?> 0? ? ?(>?0,?> 0)的最大值为 12,2则?+3?的最小值为【答案】25【解析】由可行域可得，当？?= 4 , ?= 6时，目标函数？?= ?取得最大值，4?+ 6?= 12 ,卄？?即 3+ 2 = 1，23. + =?23 只？(?+ ? ?( 3 + 2)13?13256 + ?+ ?6 + 2 =

31、 6 .故答案为：25616.函数 f(x)x2x 4(xx0)的最大值为，此时x的值为【答案】-32【解析】因为f (x)x2 x 44(x -) 1x又x 0，所以x2.44 ,当且仅当x2时取等号;2此时f (x)(x3.17若 a0,b0,a 2b 5，则ab的最大值为【答案】258【解析】【分析】由a0,b0, a 2b5, a2b 52,2ab,可得ab25，当且仅当5a 2b -取等号，25ab的最大值为，答案：25828818.已知xy0 ,x则_的最小值为yx即f (x)最大值为此时3，2.【答案】6【解析】因为xy 0，所以-0 , 9y 0，所以-9y 2 /- 9y 6，所以最小值为6 yxy x Y y x19若x 4, y 1，且xy 12 x 4y，则x y最小值是.【答案】13x 12x 12【解析】由题得y，故x yxx 4x 4x 1216又xx 4 5216 513，当且仅当x=8,y=5,等号成立故答案为13x 4 x 420 已知正数a，b满足2ab 2a b，则a 8b的最小值是【答案】21 1【解析】正数a , b满足2ab 2a b，二1,b 2a则a 8b1 1a 4b1725