八年级直角三角形(标准答案)

1、八年级直角三角形（答案）作者:日期:3直角三角形12一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论： 直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,则它所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30° .难点：1. 性质定理的证明方法.2. 性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定

2、理联系解综合问题。三、角平分线的性质定理R1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等.定理的数学表示：如图4,V OE是 AoB勺平分线，F是OE上一点，且CFIOA于点C,DFIOB于点 D, CF = DF.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； 7角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：(1) 关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边 距离相等.AABC定理的数学表示：如图6,如果AP BQ CR分别是的内角 BAC ABC、/ ACB的平分线，那么： AP、BQ CR相

3、交于一点I ; 若ID、IE、IF分别垂直于BC CA AB于点D E、F,贝S DI = EI = FI.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题(2) 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).3. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线；(2)会作已知角的角平分线;(3) 会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用1 .勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的

4、两直角边分别为 a , b ,斜边为c,那么a2 b2 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把 直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出了 勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现 并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下:方法一：4SSl

5、E方形 EFGH1 P、S正方形ABCD, 4 -ab (b a)2，化简可证.方法二:HEFGb四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直 角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4丄ab c2 2ab c2大正方形2面积为 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2方法三:得证S梯形2(a b) (a b) ,S弟形2S ADES ABE12 ab21 2 C23 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对 于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明 了所考察的对象是直角

6、三角形4 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 ,则C a2 b2 , b c2 a2 , a -.c2 b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果二角形二边长a , b , C满足a2 b2 C2，那么这个二角形是直角二角形，其中C为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数 转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较 长边的平方C2作比较，若它们相等时，以a ,b ,c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2

7、 C2， 时，以a， b， C为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 C2 ,时，以a， b， C为三边的三 角形是锐角三角形； 定理中a， b， C及a2 b2 C2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边 长a， b， C满足a2 C2 b2 ,那么以a， b， C为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平 方和时，这个三角形是直角三角形6 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 C2中，a , b , C为正整数时，称a , b , C为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提

8、高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数） m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n 为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中， 斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线）， 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行

9、求解.8 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直 角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可 不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成完成对问题的解决常见图形：A10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那

10、么另一个叫做它的逆命题勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系(3) 用于证明线段平方关系的问题。(4) 利用勾股定理，作出长为,n的线段勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90°(1)已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; (3)已知 c=25, b=15,求 a.,a=6, c=10,b=1a=40, b=9,c='c=25, b=15,a=J - -思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中， 注意勾股定理的变形使 用。解

11、析：(1)在厶ABC中， C=90(2) 在厶 ABC 中， C=90°,(3) 在厶 ABC 中， C=90°,举一反三【变式】：如图 B= ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少 【答案 ACD=90°AD = 13, CD=12 AC2 =AD2- CD2= 132 122=25j AC=5又 ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52 32=16 AB= 4 AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、AC = 70，畀衣O . 求:BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含工

12、角的直角三角形，为此作匚-二于D ,则 有，2,再由勾股定理计算出 AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因 -C,'（乞丄的两个锐角互余）=45 = 15】（在丘丄中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，-二二二1二匸根据勾股定理，在刃丄二二中，UZ)= yAC1-ADi = 70a-1523 M 65 SC-3Z)+DC-65+15 = SO举一反三【变式1】如图，已知：-厂，丄），三三于p.求证：J -1 u_解析：连结BM，根据勾股定理，在 Wj=匸中,BP2 = BM2-PM2.而在4_匸U中，则根据勾股定理有二 AMI 一

13、AP.分“一 F - - ：r 一二*又T（已知），. . .在m中，根据勾股定理有. =EL + 且【变式2】已知：如图， B= D=90°, A=60 ° , AB=4 , CD=2 O求：四边形ABCD 的面积16分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或延长AB、DC交于F, 或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选 第三种较为简单解析：延长AD、BC交于E ot A= 60o, B=90°, E=30°o.AE=2AB=8 , CE=2CD=4, BE2=AE 2-AB2=82-42=48,

14、 BE= " = '。T DE2= CE2-CD2=42-22=12, DE= = ' 。丄丄. S四边形ABCD =S ABE-Sa CDE = 空 AB BE-戈 CD DE，巧类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏 东60°方向走了二工到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了 500m到达目的地C点(1) 求A、C两点之间的距离。(2) 确定目的地C在营地A的什么方向。解析：(1)过B点作BE/AD DAB= ABE=60V 30° + CBA+ A

15、BE=180 ° CBA=90即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m, AB=：-一 心由勾股定理可得：-÷-丄“所以 J + -' ,l"r + ""I-.1":(2)在 Rt ABC 中，V BC=500m, AC=Iooom CAB=30v DAB=60 DAC=30即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？Li【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度

16、是否小于CH .如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD AB, 与地面交于H .解：OC= 1米（大门宽度一半）,OD = 0.8米（卡车宽度一半）在RtA OCD中，由勾股定理得:CD = J'-l =T r 严=O .6 米,CH=O .6 + 2 . 3 = 2 . 9（米）2 .5（米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国R H 各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D ,且正好位于 正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四 种架设方案，

17、如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3, AB+BC+CD = 3图（3）中，在RtA ABC中AC =+ BC2 = 2图（3）中的路线长为“_亠1图（4）中，延长EF交BC于H ,则FH丄BC, BH = CH3$ .EH =-由 FBH =二及勾股定理得：-J FH=-EA = ED = FB = FC=-； EF= 1 2FH= 1-此图中总线路的长为 4EA+EF = 1:3&g

18、t;2.828>2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AE为4cm, EC是上底面的直径.只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:如图,OCm,根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC =I -l/： =J= ：' 10.77（ Cm）（勾股定理）.答：最短路程约为1 0.77 cm.类型四：利用勾股定理作长为 而 的线段5、作长为<、宀的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为匸和1的直角三角形斜边长就是人，类似地可作 芒作

19、法：如图所示（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角 ACB ,使AB为斜边；（2） 以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角'U'。斜边为：；（3） 顺次这样做下去，最后做到直角三角形,这样斜边三、I、匚、:的 长度就是J、，-'.、门、“ J O举一反三【变式】在数轴上表示J的点。解析：可以把/看作是直角三角形的斜边为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1 o作法：如图所示在数轴上找到A点，使0A=3 ,作AC丄OA且截取AC=1 ,以OC为半 径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为J1 o类型五：逆命

20、题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1. 原命题：猫有四只脚.（正确）2. 原命题：对顶角相等（正确）3. 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4. 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫(不正确)2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？(正确)4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC的三边分别为a、b、c,且

21、满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC的 形状。思路点拨：要判断 ABC的形状，需要找到a、b、C的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0°/ (a-3)2 0, (b-4)2 0, (c-5)2 0。 a=3, b=4, C=5。V 32+42=52, ai2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理

22、是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中， B=90°, AB=3 , BC=4, CD=12, AD=13,求四边形ABCD的面积。A【答案】：连结ACv B=90 ° , AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） AC=5VAC2+CD2=169, AD2=169 ac2+cd2=ad2 ACD=90 °（勾股定理逆定理）=5c÷Pc CD=36【变式2】已知: ABC的三边分别为m2 n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m>n）,判断ABC是否为直角三

23、角形分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可证明:（肌'-W2）2 + （2幽疔2聊组2 +4wi2-M4 ÷2Ma +425所以 ABC是直角三角形.丄【变式3】如图正方形ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BFh AB 请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】答：DE丄EFO证明：设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,. EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;“DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。PB 连接DF （如图）DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2

24、+DE2,FE DE o勾股定理经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比 值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x， 4x，根据题意得： (3x) 2+ (4x) 2= 202化简得x2= 16;1直角三角形的面积=2 × 3x× 4x = 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股 定理列方程(组)求解。举一反三 【

25、变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【答案】如图，等边 ABC ,作AD丄BC于D丄贝心BD =二BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)V AB = AC = BC = 2 (等边三角形各边都相等) BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2 = AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2= 4- 1= 3 AD = J丄ABC =二 BC AD =注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 X, y,根据题意得：羞十尹十5 = 12 (D

26、宀宀工 (2由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2= 49, x2+2xy+y2= 49 (3)(3) (2),得：Xy = 121 1直角三角形的面积是2 Xy = 2 × 12= 6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=(n+3) 2化简得：n2= 4 n=± 2,但当 n= 2 时，n+1 = 1<0, n= 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平

27、方和等于“斜边”的平方，在题目没 有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(.)A、8, 15, 17 B、4, 5, 6C、5, 8, 10D、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2 = a2+b2的变形：b2= c2 a2 =( G- a) (c+a)来判断。例如：对于选择D,V 82( 40+39)×( 40 39),以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇

28、，且 QPN= 30° ,点A处有一所中学, AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖 拉机的速度为18kmh ,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A ,实质上是看A到公路的距离是 否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长 度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解

29、析：作AB丄MN ,垂足为B。在 Rt ABP 中，v ABP = 90°, APB = 30°, AP = 160,丄 AB =二AP = 80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)V点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么 AC = 100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600/. BC = 60。尹7 _计A Q同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m), BD = 60(m),/ CD = 120

30、(m)°拖拉机行驶的速度为：18kmh= 5mst = 120m ÷ 5m/s= 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时 间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ，若图形缺少直角条件，则可以通过 作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷 径”在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 路(假设2步为Im),却踩伤了花草。37解析：他们原来走的路为3+4 = 7(m)设走“捷径”的路长为Xm ,则；'故少走的路长为7-5

31、 = 2(m)又因为2步为Im,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。(1) 直接写出单位正三角形的高与面积。(2) 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积 是多少？(3) 求出图中线段AC的长(可作辅助线)。3I 133【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是。(2)如图可直接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 24= O 345?(3)过A作AK丄BC于点K (如图所示)，则在Rt ACK中,c=l

32、7;l÷l= AdKC2 J故类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题 转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且 DE丄DF,若BE=12, CF=5.求线段EF的长思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是 线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为 BAC=90 ° , AB=AC . 又因为AD ABC的中

33、线， 所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC.且 BAD= C=45°.因为 EDA+ ADF=90 ° . 又因为 CDF+ ADF=90 ° .所以 EDA= CDF. 所以 AED CFD (ASA).所以 AE=FC=5.同理：AF=BE=12 .在RtAAEF中，根据勾股定理得：,所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可 以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放 在同一直角三角形中求解。(二)方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC中， C=90°, A

34、=60 °,：J ,求上、的值。 思路点拨：由'1 ；:：,再找出'、&的关系即可求出&和的值。解：在 RtA ABC 中， A=60 °, B=90 ° - A=30 ° ,贝厂一 L-,由勾股定理，得'因为也+ b=3+靳,所以施+必=3+內，击+1"苗启三也前=M C=Qh = 2-J3, , 。总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD ,使点D落在BC边的点F处，已 知 AB=8cm , BC=IoCm ,求 EF

35、 的长。解：因为 ADE与厶AFE关于AE对称，所以 AD=AF , DE=EF 因为四边形ABCD是矩形，所以 B= C=90°,在 RtAABF 中，AF=AD=BC=10cm , AB=8cm ,所以 BF = JAF2-AB2 = 103-S2 二 6(Cnl) O 所以 FC=BC-BF=W-S = 4(Cm) 设总C = HCin，贝y EF=DS= (8-x)Cin O在RtA ECF中， ，即L -，解得*1 oC L- - U -亠即EF的长为5cmo直角三角形的性质经典例题透析例1:已知：如图 ABC中，BD丄AC，CE AB，BD、CE交于0点，且BD=CE求证

36、：OB=OC.分析：欲证OB=OC可证明仁2,由已知发现， 1, 2均在直角三角形中，因此证明 BCE与厶CBD全等即可证明：T CE AB , BD 丄 AC,则 BEC= 在 Rt BCE 与 RtA CBD 中 CE BDBC BC Rt BCE 坐 RtA CBD(HL) 1 = 2, OB=OC例2:已知：RtAABC中， ACB是直角，的垂线交AC于E,求证：CD丄BE分析：由已知可以得到厶DBE与厶BCE全等D是AB上一点，BD=BC ,过D作AB即可证明DE=EC又BD=BC ,可知B、E在线段CD的中垂线上，故 CD丄BE证明：T DE丄AB BDE=90° ,v

37、ACB=90在 Rt DEB 中与 Rt CEB 中BD=BCBE=BECR Rt DEB 刍 RtA CEB (HL) DE=EC 又 V BD=BC E、B在CD的垂直平分线上即BE丄CD.例3:已知 ABC中，CD丄AB于D ,过D作DE丄AC , F为BC中点，过F作FG 丄DC求证：DG=EG O分析：在RtADEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角FGC=90° B= GFCV F为BC中点 BF=FCBQF FGC 在 RtA BQF 与 RtA FGC 中 B GFCBF FC BQFFG

38、C (AAS)/. QF=GC V QF=DG DG=GC在 Rt DEC 中，v G 为 DC 中点 / DG=EG例4:已知如图，AC丄BC, AD丄BD , AD=BC , CE AB , DF丄AB ,垂足分别是E、求证：CE=DF.分析：在RtA ACB与Rt ABD中BC ADAB AB Rt ACB 坐 Rt BDF ( HL) CAB= DBA , AC=BD在 Rt CAE 与 RtA BDF 中CEA DFBCAE DBFAC BD CAEBDF (AAS) CE=DF.例5:已知：如图AB丄BD , CD丄BD , AB=DC求证：AD/BC.分析：V AB丄BD CD丄

39、BD ABD= BDC=90AB DC在 Rt ABD 与 RtA CDB 中 ABD BDCBD BD ABD 刍乂 CDB (SAS) ADB= DBC AD/BC例6:已知，如图5,在厶ABC中， BAC>90 , BD CE分别为AG AB上的高，F为BC的中点，求证： FED FDE图5分析：因为BD CE分别为AC AB上的高,所以 BDC BEC=90 O在Rt BDC中 DF为斜边上中线，所以DF4BCEF-IBC同理在Rt BEC中，;所以DF=EF所以 FED FDE例7: （2015年上海市中考题）已知：如图 6,在厶ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BEDGL

40、 CE G为垂足。求证：（1）G是 CE的中点；（2） B=2 BCE分析：（1）E是Rt ADBM边上中点，连 DE贝SDE = Iae =be2所以DE=DC又因为DGLCE所以G为CE的中点。（2）因为 DE=DC 所以 1= 2。因为 EDB 1+ 2,所以 EDB= 2。由性质拓展知： B= EDB所以 B=2Z 2,即 B=2 BCE例8：（2015年呼和浩特市中考）如图 7,在厶ABC中， C=2Z B,ADL AB 点 E是 BD的中点，连 AE 求证：（1） AEC C;（ 2）D是BC上的一点，且求证：BD=2AC分析：（1）因为AE是Rt ABAD斜边BD上中线，由性质拓

41、展可知: AEC= BO又因为 C=2Z B,所以 AEC CO（2）由（1） AEC C,所以AE=AC AE是Rt BAD斜边上中线。由性质可得:11AE = Iel2,所以AC =IBD故 BD=2AC例9:（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8,在梯形ABCD中 AB/ CD A+ B=90°,E、F分别是AB CD的中点分析：延长AD BC交于G,连GE GR由于 A+ B=90o,所以 G=90E、F分别为DC AB中点由性质可得：GE = ICD,gf=1ab 2 2由性质拓展可得: GDEAGE GAF AGF因为 CD/ AB,所以 GDE GAF所以 AGE AGF

42、所以G E、F三点在同一直线上,所以 例10：如图9,在四边形 ABC冲，ACBC BDLAD 且AC=BD M N分别是AB DC边上的中点。求证：MNL DQM 35?分析：M是Rt ADB与Rt ACB斜边上中点，连DM CM由性质可得:DM=MC:4AB所以 DMC为等腰三角形。又因为N为CD的中点， 所以MNL DC经典习题精讲1、如图所示，已知BEAC DFAC垂足分别为E,中点，求证BE=DFF,BD的O是AC与BD的交点且是382、如图所示，AD是厶ABC中 BAC的平分线， ABC=2 C,求证：AB+BD=AC O3、如图所示，在 ABC中， B=900, CAE和 ACF的平分线相交于D ,求 D的度