圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

1、圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一、圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过立点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出 定点（2）、从特殊位宜入手，找出泄点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。例1、2020年髙考全国二卷理数】已知去B分别为椭圆E： C + r =1 >i）的左.右顶点，G为E的 Cr上顶点，AGGB = S P为直线，=6上的动点，与E的另一交点为C,"与E的另一交点为Z（1）求E的方程：（2）证明：直线CD过左点.例2. （2020届山东省临沂市髙三上期末）如图，已知点F为抛物线C： y求抛物线C的方程.

2、 试确左在X轴上是否存在点P,使得直线PM, PN关于X轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.=2px （p>O）的焦点，过点F的动直线/与抛物线C交于M N两点，且当直线/的倾斜角为45。时，IMNl = I6 .12例3、2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：卫=-2“），经过点（2, -1）.（1）求抛物线C的方程及其准线方程：（2）设O为原点，过抛物线C*的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M, N,直线尸Ll分别交直线OM, ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个左点.题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的左值问题，属于难题.探索圆

3、锥曲线的左值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根 据特殊位置和数值求出泄值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在汁算推理的过程中消去 变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国二卷】已知椭圆C： + = = i（>b>0）的离心率为迟，且过点A （2, 1）.Cr Ir2（1）求C的方程：（2）点M, N在C匕 且AM丄AN, AD丄MN, D为垂足证明：存在泄点0 使得IDQ为左值例5、（2020届山东省泰安市髙三上期末）已知椭圆E* + fr = l（d>">O）的离心率。满足 2/-3屈+ 2 = 0,右顶点为去上顶点为D点C（0, 2）,过

4、点C作一条与y轴不重合的直线人直线/交椭圆E于P, 0两点，直线Ep 分別交X轴于点 M当直线/经过点/时的斜率为©(1) 求椭圆E的方程；(2) 证明：S爾MScn为泄值例6、(2019苏州三市、苏北四市二调)如图，在平而直角坐标系Xoy中，已知椭圆C】：T÷y2=b椭圆X2 y2C2: 7+说=l(a>b>0), Q与CI的长轴长之比为2: h离心率相同(1) 求椭圆C2的标准方程：(2) 设点P为椭圆C?上的一点.PA 射线PO与椭圆C】依次交于点A, B,求证：西为定值； 过点P作两条斜率分別为k, k2的直线h, 12,且直线11, 12与椭圆CI均有

5、且只有一个公共点，求证 k k2为左值.二、达标训练h(2020届浙江省温州市髙三4月二模)如图，已知椭圆c： + y2 = l> F为其右焦点，直线4.y = kx+m(km<O)与椭圆交于P(XryQ(X 2,y2)两点，点A,B任上,且满足PA = PF,QB = IeFl,(9AI = OB (点 A, P Q, B 从上到下依次排列)(2)试用XI表示IPFl:()证明：原点O到直线/的距离为立值2、【2018年髙考北京卷理数】已知抛物线C： y2=2px经过点P (1, 2).过点0(0, 1的直线/与抛物线C有两个不同的交点儿B、且直线刃交y轴于M直线PB交y轴于N.

6、(1) 求直线/的斜率的取值范围：(2) 设O为原点，QM)f QN = QO ,求证：丄+ ：为泄值.A “X2 V3也3、(2019苏锡常镇调研)已知椭圆E： 7+b2=l(a>bX)的离心率为2，焦点到相应准线的距离为3(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 已知P(t, 0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线h和12,直线h和12分别交椭圆E于点A, BPAPB和点C, D,且h和b的斜率分别为立值k和P,求证：疋pb为立值4、(2018苏州暑假测试)如图，已知椭圆O： T+y2 = 1的右焦点为F,点B, C分别是椭圆O的上、下顶 点，点P是直线1： y=2±的一个动点(

7、与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求LFBM的面积；(2) 记直线BM, BP的斜率分别为k, 6 求证:kk2为定值;5、(2016泰州期末)如图，在平而直角坐标系g冲，已知圆O： x2+y2=4，椭圆C：于+y2=l，A为椭 圆右顶点.过原点o且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B>C两点，直线,毎与圆O的另一交点为P >直 线PD与圆O的另一交点为Q -其中0).设直线AB，AC的斜率分别为k1.(1) 求上必的值：(2) 记直线Po，BC的斜率分别为心。 ksc，是否存在常数久，使得kPQ=kkBC2若存在，求2的值：若 不存

8、在，说明理由；(3) 求证：直线MC必过点0V一、题型选讲题型一、圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过立点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出 定点（2）、从特殊位宜入手，找出泄点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。例1、2020年髙考全国二卷理数】已知去B分别为椭圆E： C + r =1 >i）的左.右顶点，G为E的 Cr上顶点，AGGB = S P为直线，=6上的动点，与E的另一交点为C,"与E的另一交点为Z（1）求E的方程：（2）证明：直线CD过世点-【解析】（1）由题设得A （-u, O）, B （“，0）, G <

9、;0, 1）.则 AG = (at 1)» GB = (“, -I) 由 AG - GB =8Jd2-I = 8,即=3.>所以E的方程为+r=9(2)设Ci (XB y)t D (X2> P(6. f)若0,设直线CD的方程为x=gv+",由题意可知-3<fl<3.山于直线刊的方代为2； Ct+3).所以X； (m3).99直线PB的方程为(-3),所以坪彳(小一3)可得3、(疋一3) =V2 (x+3)由 j "7 + y2 =1 故 Jz可得 27Xy2 =Ta+3)(兀+3),即(27 + m2)yly2 + m(n + 3)(y1

10、 + y2) + (n + 3)2 = 0.®将X = my + 死代入+ y2 = 1 得(/H2 + 9)y2 + 2mny + n2 -9 = 0. rr .2mnn2 -9浙以Hr=乔再'2厂齐.代入式得(27 + m2 )(n2 一9) 一 2m(n + 3)mn + (H + 3)2(m2 +9) = 0.3解得（含 ）, n=-33故l'i线CD的力F；y +亍即血线CD过定点（，0）.若匸0,则直线3的方程为尸0,过点（手0）3 综上，宜线CD过左点(二，0).2例2、(2020届山东省临沂市高三上期末)如图，已知点F为抛物线C： y2 = 2 px

11、( p>0)的焦点,过点F的动直线/与抛物线C交于M N两点，且当直线/的倾斜角为45。时，IMNl = I6.(1) 求抛物线C的方程.(2) 试确泄在X轴上是否存在点P,使得直线PM, PN关于X轴对称？若存在，求岀点P的坐标：若不存 在，请说明理由?；? ' 1' V2 =Sa- '2 们2.().便九饯 FM PN )'； ' .v ：i <-; (A【解析】(1) 当直线/的倾斜角为45。，贝弭的斜率为1,OL .-J 的方程为y = x-.y = X-,9n2由V 2 得2-3r + - = 02 O4y =2px、设M(Xyly

12、 N(X2/2)，则X+W=3p,. V7V = Xl +x2 + p = 4p = 169 ” = 4,.抛物线Q的方程为=8x.(2) 假设满足条件的点P存在，设P(d,0),由(1)知F(2,0),当直线/不与彳轴垂直时，设/的方程为y=k(x-2) (k0),由/=8v_2)，得心2 一(必2 +8卜+4 疋=0, =(4疋+8)'-4疋.4疋=64疋+64>0x+x2=r7M2=4.直线PM PN关于X轴对称,心一2) k +k =0 k -心 _2) KPM 十 KPN U KPM ' K .j -ax2 -U.*. k(x -2)(x2 -a) + k(x2

13、 -2)(XI - a) = k2xix2 -(f + 2)(Xl + x2) + 4tz = -(- = O.PM ' PNPN = -2 时，此时 P(-2,0).当直线/与X轴垂宜时，由抛物线的对称性，易知PM, PV关于X轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综匕，存在唯一的点P(2,0),使直线RM, PN关于X轴对称.例3、2019年高考北京卷理数】已知抛物线C： F=-2Py经过点(2, -1).(1) 求抛物线C的方程及苴准线方程：(2) 设O为原点，过抛物线Q的焦点作斜率不为0的直线丿交抛物线C于两点M, N,直线.V=-I分 别交直线OM, ON于点A和点B.求证：

14、以AB为直径的圆经过y轴上的两个左点.【答案】(1)抛物线C的方程为F=-4y,准线方程为y = 1； (2)见解析.【解析】(1)由抛物线C-XI=-IPy.过点(2,-1), .p2.所以抛物线C的方程为X2 = -4y ,其准线方程为y = 1 (2)抛物线C的焦点为F(O,-1).设直线/的方程为y = kx7(k H 0).y = kx-y由5 得疋+4RX-4 = 0X" =-4v设MaIj)”(吃2)则W2=一4直线OM的方程为尸辭令y = -,得点A的横坐标XA=同理得点B的横坐标妒令设点D(O,)，则丽=r-J,DB = (-土,-1-”< >1JIy2

15、)DADB = + (n + )2Xy2Xd2+ ( + 1)2162+ (,2 + 1)2=-4 + (z +1)2.令DA DB = O KJ-4 + (z + l)2 =0,则H = III = -3 综以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).题型二.圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的立值问题，属于难题.探索圆锥曲线的立值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根 据特殊位置和数值求岀泄值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去 变量，从而得到左值例4、2020年新高考全国二卷】已知椭圆C：二+二=l(>,>0)的离心率为竺，且过点A (

16、2, D .U- b2(1) 求C的方程：(2) 点M, N在C上，且AM丄AN, ADdMN, D为垂足.证明：存在泄点0,使得Qa为立值.【解析】(1)由题设得 += H= L ,解得6, /r =3.Cr IyU2 22 2所以C的方程为-+ = I.(2)设 M(XPyJ, N(x2,y2).若直线MN * j A-轴不垂直，设直线MN的方程为y = kx + m ,F V2代入+ - = 1 得( + 2k2)x2+ AhnX + 2,-6 = 0 r h I4km2m2 -6 z .rxl +x, = 一，X无= I- + 2k2 + 2k2由 AM 丄 AN !I* AJW AN

17、 = O ,故（舛一 2）（兀 一 2） + （）一 1）（儿 一 I） = O , 可得伙'+1）XIX2 +伙川一£ - 2）（jV + x2）+ （/W-I）2 +4 = O .将代入上式可得伙 + 1)芒二一(如一 £一2)芒二+伽 1)2+4 = 01 + 2/r1 + 2十整理得(2k + 3m +1)(2« + 加 一 1) = O.因为A(2,l)不在直线AlN上，所以2+w-l0,故2k+3m + l=O,代工12 1于是MN的方程为y =心-§)-§伙Hl).2 1所以宜线MN过点P(-若直线MN ,j-V-轴垂直，

18、可得N(Xl-yl).由 AM AN = 0 f,!(石 一 2)(X 2) + (>,l -l)(-y -I) = O.又互+ 2L = 1,可得 3<-8x1+4 = 0.解得 X1 =2 (舍去)，XI=I.6332 1此时直线MN过点H亍-2)4 1令Q为AP的中点，即<?(-,-).若D IjP不重合，则由题设知AP是RtZADP的斜边，故IDQl=IlAPl=器.3若D与P重合，贝DQ=AP.4 1综上.存在点Oqw)，使得I02为疋值.2 2例5、(2020届山东省泰安市髙三上期末)已知椭圆E + yy = l(f>7>0)的离心率e满足2疋一3血

19、+ 2 = 0,右顶点为川，上顶点为D点C(0, 2),过点C作一条与y轴不重合的直线/,直线/交椭圆E于P, Q两点，直线肿，分別交X轴于点M, N：当直线/经过点-4时，/的斜率为J.证明:SW)M SsHCN为定值2【答案】(I) y + y2=l(2)证明见解析【解析】1I1 Hl 2e2 3>>j2e + 2 = 0 得e = 或e = JJ (舍去),* a = VzC » 乂 / = Zr + c',. a = y/lb，X= = 2.G-O. a = >2 .b = 1,二椭圆E的方程为y + =l:（2）由题知，直线/的斜率存仏 设直线&l

20、t;的方程为y=Ax-2,设 P(XPyl),(2,y2),y = kx-2- + y2=2 得(22+1)x2-8x+6 = 0洙61+%2 = 2F7T,x22F7T, =(-8t)2-4×6×(2Z:2 +1) = 16“ _24> O ：.k2 y1 + y2=c(x1+x2)-4 =Xy2 =(l-2)(-2) =k2xlx2-2k(xl +x2)+4=i-,ZK + 1直线BP的方程为' = -V + 1,Al令y=O解得X=则M亠,0U-Ji15同理可得N戶一,0U->2X23Xd23Xd21一丁2一4(I-Ji)(I-J2)41一(儿+儿

21、)+)沙2xI1 才2宀144 2/1 + 2l2 + l ' 2k2+；I S gw撐MN为宦仇X2例6、(2019苏州三市、苏北四市二调)如图，在平而直角坐标系XOy中，已知椭圆Ci： 7+y2=h椭圆c2: +=l(a>b>0), C2与CI的长轴长之比为返：1,离心率相同(1) 求椭圆C?的标准方程：(2) 设点P为椭圆C?上的一点.PA 射线PO与椭圆C】依次交于点A, B,求证：西为定值： 过点P作两条斜率分别为k, k2的直线11, 12,且直线Ib 12与椭圆Cl均有且只有一个公共点，求证k k2为定值一思路分析(1)根据已知条件，求出纸b的值，得到椭圆C2

22、的标准方程.(2)二对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论当OP斜率存在肘，设直线OP的方程为y=kx,PA并与椭圆Cl的方程联立解得点A横坐标.同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出西的表达式，化 简整理得到定值.设P(XO, yo),写出直线h的方程并与椭圆CI联立，得到关于K的一元二次方程，根据直线h与椭24(2)试用Xl表示IPFI:()证明：原点O到直线/的距离为定值. ：?- FP=2-.X-. (ilrl-IJ V<,2 1【解析】(7)椭C-+y2=4,故f(Io)(ZT)设A(Xpy3) t 3(心儿)，则将)=+加代入l + y2= 1得到:4(4“ + I)F

23、+ ShnX + Anr-4 = 0故 Xl + X2 =-Skm.42 -4一 4疋 + 1一引=44:2 +1 - nr4宀1得到x3+4 =一 2km k2+WI=IoB|,故4区+“) +加=丄1,11 X3+x4x3+x4kIpAI = IPFl,故y + k2 IXl -x31 = 2,同理：>1+T4 -x2 = 2-Xl.2 2由己知得：X3 < x< x2 < x4或 N > X】> jv2 >兀，即 Jl + -&km 2km4k2+ + k2+故 1+Ty (XI + x2)-(x3 + x4 )| =化简得到m2=k2

24、+ 故原点O到直线7的I':为d = -7= = 1为定值.+F2、【2018年髙考北京卷理数】已知抛物线C： y2=2px经过点P (1, 2).过点0(0, 1的直线/与抛物线C有两个不同的交点仏B、且直线刃交y轴于M 直线PE交y轴于N.(1) 求直线/的斜率的取值范围：(2) 设O为原点，)M = Q , QN = 咖,求证：丄+丄为左值.A Pl【答案】(1) (-, -3) U (-3, 0) U (0, 1)； (2)见解析.【解析】(1)因为抛物线長=2四经过点P (1, 2),所以4=2p,解得尸2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线7的斜率存在且不为0,设

25、直线/的方程为y=b+l(A0).由k2x2+(2k-4)x + = 0.y = + 1卫总 zl = (2R 4)2 4x W1 > 0 解得 XO 或 0<<l.又刃，PE与y轴相交，故直线/不过点(1,2).从而A3.所以宜线/斜率的取值范围是(8 -3) U (3 0) U (0, 1).(2)设d (x, y), B(X2> J2).2k_41由(1¾.vl+x2=- x1x2=-直线刃的方程为y-2 = (x-l)舛-1令X=Of得点MiKi纵乂标为如= + 2 = + 2XI -1AI _ 1ICX +1同理得点N的纵坐标为XV = - + 2

26、.由 QM =QO , QN=PQo ;,.j A=I- yM " = 1 一 yNXI -1 x2 -1 _ I 2x1x2 -(xl+x2) _ 1所以丄+ 1 - yM1一儿伙一 I)Xl 伙-1)© RTk_22«-4iF所以卅为足Fi.x2 y3也3、(2019苏锡常镇凋研)已知椭圆E： ÷b2=l(a>bX)J离心率为2，焦点到相应准线的距离为3(1) 求椭圆E的标准方程：(2) 已知P(t, 0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线h和12,直线h和12分别交椭圆E于点A, BPA-PB和点C, D,且h和h的斜率分别为立值b和1,求证

27、：PC PD为立值由已知得,c y3 a2 y3；=2，则7-c= 3，c2=a2-b2, (3 分)解得 a=2 b=l, c=y, (5 分)2所以椭圆E的标准方程是J+y2=l.(6分)(2)解法1由题意，设直线h的方程为y=k1(x-t)l代入椭圆E的方程中，并化简得(l+4k)-8ktx +4kjt24=0, (8 分)设 A(Xb y). B(X2» yz)8ktt4kt2-4则 x+x2=l+4kf XE= l+4k?，因为 PA=÷x-1, PB=Jl+kfX2-t, (10 分)所以 PA pB=(I+kr)x-tx2-t=(l+k)t2-(x÷

28、x2)t+xx28册 4kfJ4 (1+kb t2-4=(l+kj)t2-+4k÷ l+4k= l+4k ，(12 分)(1+ld)t2-4同理，PC PD=, (14 分)PAPB <l+k) (1+4Id)所以PC PD= (l+k?) (1+4好)为左值(16分)解法2由题意，设直线h的方程为y=k1(x-t),宜线12的方程为y=b(xt),设 A(x, y), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y)直线h的方程为y=k(xt),代入椭圆E的方程中，并化简得(l+4kc?8khx+4k甲一4=0, (8分) 8ktt4kt2-48k2t41dt2-

29、4则 x÷X2=l + 4k x1x2= l+4k > 同理则 X3+x4=l+4k x3x4= 1+4疋，PA PS=(XI-tf y)(xz-1, y2)=(xt)(x2t)+k(x-t)(x2t)=(xj-t)(x21)( 1 ÷ki),PC PD=(X3- t, ys)(x4-1> y4)=(x3-t×X4-t)÷k2(x3t)(x40=(x3t)(x4-t)(l÷k2). (12 分)因为P, A, B三点共线，所以PA ½=PA PB.同理，Pe Pb=PC PD.PA PB PA PB(xt) (x2t) (

30、l÷k)(l÷k)(xit) (X2t)PC PD = e Pg =(X3t) (x4t) (l+k?)=(l+k)(X3t) (X4t)=(l+kf) x-1 (x1+x2) +t1 2(l+ki) X3X4t (x3+x4) ÷t2-8kt4kft2-48k：t4k2-4PA PB代入 xi + X： = l4k，12 = l+4k，x3 + ×4 = i+41d > 3×4 = l41d，化 简 得 PC PD = (l+ki) (l+4k2)(l+k2) (l+4k) > (14 分)PA PB (l÷k) (l+

31、4k：>因为是宦值，所以PC PD= (l+k) (l+4kf)为宦值(16分)解后反思 本题着重考查了计算能力，而在运算过程中借助了两条直线的地位一致性，只需算出一份数捋 即可，另外对应换掉相应位置的参数就好，需要考生仔细观察，不能盲目地硬算.定值问题，要恰当去转 化，能很好的降低计算量，用向量的坐标来计算，结构对称、优美，代入根与系数关系可以很容易得出结 果24、（2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O： 7+y2 = 1的右焦点为F,点B, C分別是椭圆O的上、下顶 点，点P是直线I: y=-2±的一个动点（与y轴的交点除外），直线PC交椭圆于另一个点M.（1）当直线PM

32、经过椭圆的右焦点F时，求LFBM的而积；（2）记直线BM, BP的斜率分别为k, 6 求证:kk2为定值;规范解答（1）由题意B（0, 1）, C（0, 一 1）,焦点F（3, 0）,当直线PM过椭圆的右焦点F时，；=：（舍），即 M（宇，I）(2分)X y连结 BF,则直线 BB 5 + 1 = 1,即 x+3y-3 = O,而BF=a=2,点M到直线BF的距离为8317 +3×Ty31 （ 一2）1 解法1（点P为主动点）设P（m, 一2）,且m0,则直线PM的斜率为k=右=一忑1则直线PM的方程为y= 乐一 1 Jy=VxT, / _4_8联立j 2化简得（1+頑丿2+X = 0,l4+y2=l（Sm 4nr解得庐刁丿，（6分）4m2亦+4 1 -2? 11 一（一2）2所以 k= = -8m =4m> k2=OF =m> （8 分）m2÷42 13所以ki k2= m in=4为宦值（10分） 5、(2016泰州期末)如图，在平而直角坐标系XOV中，已知圆0： x2+>2=4，椭圆C： ÷>2=1，A为椭 圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B、C两点，直线AB与圆O