第十二章可分离变量的方程

1、一阶方程的一般形式为一阶方程的一般形式为0),( yyxf本节主要研究能把导数解出来的一阶方程本节主要研究能把导数解出来的一阶方程),(yxfdxdy 的解法的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式出解的有限表达式几特殊类型的一阶微分方程的解法。几特殊类型的一阶微分方程的解法。所以本节只讨论所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式一阶方程有时也可以写成如下的对称形式0),(),(dyyxqdxyxp它既可视为以它既可视为以 x 为自变量以为自变量以 y 为未知函数的方程为未知函数的方程),()

2、,(yxqyxpdxdy 也可以视为以也可以视为以 y 为自变量为自变量 以以 x 为未知函数的方程为未知函数的方程),(),(yxpyxqdydx很重要的观点很重要的观点考虑方程考虑方程xdxdy2 或写成或写成xdxdy 2 两边积分得两边积分得cxy 2 但并不是所有的一阶方程都能象上面但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解那样采取两边积分的方法来求它的通解如如22xydxdy 困难就在于方程的右端含有未知函数困难就在于方程的右端含有未知函数积分积分 dxxy22求不出来求不出来为了解决这个问题为了解决这个问题 方程的两边同乘以方程的两边同乘以 dxy21使方

3、程变为使方程变为xdxdyy212 这样变量这样变量 x , y 已经分离在等式的两端已经分离在等式的两端两边积分得两边积分得 cxy 21或或cxy 21可以验证可以验证 cxy 21是方程的通解是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中也是方程的解，但不包含在通解中 称为称为奇解奇解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 这类方程的这类方程的特点特点是是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分其微

4、分解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法设设函函数数)(yg和和)(xf是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数, cxfyg )()(为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤求解步骤分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到隐式通解隐式通解或或通积分通积分(或写成y(x)(y) 讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程: 微分方程分离变量是否可分离变量 y2xy 3x25xy0 (x2y2)dxxydy=0 y1xy2xy2 y10 xyxyyxy是不是不是是是是y1dy2xdxdy

5、(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )yxxy23dd二、典型例题二、典型例题练习练习 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lncxy .2为所求通解为所求通解xcey 例例2. 解

6、初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得cxyln11lnln2即cxy12由初始条件得 c = 1,112xy( c 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2cxutan解得cxyx) 1tan( c 为任意常数 )所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解解 分离变量xeyexyddceexy即01)(yxece( c 0 )解解,dtdm衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 mdtdmdtmdm ,

7、dtmdm,lnlnctm ,tcem 即即00mmt 代代入入00cem 得得,c temm 0衰变规律衰变规律m0mto例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2co%1 . 02co2co

8、2co%03. 0解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2co)%(txt,dttt 在在 内内,2co的通入量的通入量,03. 02000 dt2co的排出量的排出量),(2000txdt 2co的通入量的通入量2co的排出量的排出量2co的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tcex , 1 . 0|0 tx,07. 0 c,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.

9、02co例例6.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkc代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时三、小结三、小结分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.注注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别分离变量时，注意检查是否有漏解

10、，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于分母不等于0）思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2cx 为所求解为所求解.练练 习习 题题一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. . 二

11、、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. . 三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、cyx tantan； 2