由“理发师悖论”引发的讨论

1、课题：由“理发师悖论”引发的讨论一、问题背景在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只 给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。二、问题提出有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了 剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？三、问题解答1、学生思考回答如果他不给自己刮脸， 他就属于 不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮 脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于 给自己刮脸的人”，他就不该给自己 刮脸。2、教师适时点拨如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素

2、被定义成这个人刮脸的 对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合， 并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样 就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。3、师生共同归纳一般地，把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中 的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为 Q,于是有： P =AA A,Q=A|AA，问，Q P 还是 Q Q?若Q P，那么根据第一类集合的定义，必有 Q Q，但是Q中任何集合都有A ： A 的性质，因为Q Q,所以QC Q，引出矛盾。若Q Q，根据第一类集合的定义，必有

3、Q P,而显然P - Q = ，所以QC Q,还是矛盾四、小链接第一次数学危机罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希 望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除 悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来Zermelo-Frae nkel alter native。解决这一悖论在本质上存在两种选择，the alter native 和 the von Neum ann-Ber nays第二次数学危机1908年，策梅罗(Ernst Zermelo) 在

4、自己这一原则基础上提出第一个 公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴 素集合论的缺陷。这一公理系统在通过Abraham Frae nkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在该公理系统中， 由于限制公理 (The Axion Schema of Comprehension 或 Subset Axioms) : P(x)是 x 的一个性质，对任 意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x B当且仅当x A且P(x); 因此xl x是一个集合并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任 何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A=x

5、 l x是一个集合在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。第三次数学危机除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼(von Neumann)等人提出的NBG 系统等。在 the von Neuma nn-Ber nays alter native 中，所有 包含集合的collection都能被称为类(class)，因此某些集合也能被称为class，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此仅仅是个classo这同样也避免了罗素悖论。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆 满地解决了

6、第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更 为深刻的影响。它使得 数学基础 问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数 学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极 其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上 著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。五、思考与讨论应用1: 一只小虫在绳上爬，从一个端点爬向另一个端点。如图：速度为 1cm/s, 绳子以3m/s的速度均匀拉长。问：小虫是否能爬到终点？分析：假设小虫能爬到右端点N.将绳子右端固定，取其靠近右端点 N的三百等 分点S'(注：S'以1cm/s向左端移动)

7、，则途中会经过s'点。经过s'点时，小 虫有个向右的速度v=1cm/s，而其所处的位置有个向左的速度 u=1cm/s，所以它 到右端点的距离始终不变。与反设中“小虫能爬到右端点N'矛盾，所以假设不成立。命题得证，即小虫不能爬到右端点No小结：运用假设，借助所设条件，使问题简单化。应用2:有位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅中学生数学的情 况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果.于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校 的调查数据看，中学生中男生订阅中学生数学的比例比女生大后来，他又 把三所学校的学生合

8、起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得 出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅中学生数学的所有学生中，女生的比 例比男生要大些，怎么会是这样呢？这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变 少了你能帮他找找原因吗？分析：假设A、B、C三所学校各有100名学生，A有1男99女，B有50男50 女，C有99男1女，这样男女总数相同。计算得到 A的比例：男：1/1=100%， 女：98/99=98.99%; B 的比例：男：50/50=100%,女：49/50=98%; C 的比例： 男：1/99=1.01%, 女: 0/1=0%。可见三个学校的比例都是男生多， 但是总的来看， 一共有1+50+

9、仁52男生订阅，98+49+0=147名女生订阅，远远大于男生的比例。 应用3：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的 钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个钱包里的所有钱。学生甲：嗨.,如果我的钱比乙的多，他就会赢掉我的钱，可是如果他的 多,我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多.因此这个游戏对我有利.学生乙：如果我的钱比甲的多，他就会赢掉我的钱.可是如果他的钱多，我就 会赢,而且我赢得比输得多，所以游戏对我有利.一个游戏怎么会对双方都有利呢？到底是谁的想法有问题呢？分析：钱包只有二个，所以钱包里的钱只存在二个数：X,Y，设X>Y。甲有1/2机会是X， 1/2机会是丫 ；乙也如是。如果甲的钱是丫，则赢得X ;如果甲的钱是 X，贝U输掉X ;乙也如是。结论：1/2机会赢，1/2机会输。 而甲乙想法的问题出在，他们假设了 3个数：设甲有X元，乙有Y元,(Y<X)或Z元,(Z>X)。但实际上只存在 2个数，所以这是错误的论证，推理出错 误的结论。点评：悖论虽然看似