直接证明和间接证明

1、第三节直接证明和间接证明A组基础题组1. （2018衡阳示范高中联考（二）用反证法证明某命题时,对结论：“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为（）A. 自然数a,b,c中至少有两个偶数B. 自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C. 自然数a,b,c都是奇数D. 自然数a,b,c都是偶数答案 B “自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然 数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.2. 分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1 +时，索的因是（）22A.x >2 B.x >422C.x >0

2、D.x >1答案 C因为x>0,所以要证<1+-,只需证（）2<-,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.3.在厶 ABC中 ,sin As in C<cos AcosC,则厶 ABC 定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案 C 由 sin As in C<cos AcosC,得 cos AcosC-sin Asin C>0,即 cos(A+C)>0,所以 A+C是锐角, 从而B>_,故厶ABC必是钝角三角形4.利用数学归纳法证明不等式1+4+<f(n

3、)(n >2,n N)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1 项 B.k 项 C.2k-1 项 D.2k 项答案 D令不等式的左边为g(n),则g(k+1)-g(k)=1+ _+-+ + - +,增加的项数为2k+1-1-2 k+仁*-2冬21故左边增加了 2k项.5. 设a>b>0,m= 一- _,n= -,则m,n的大小关系是.答案 m<n解析(分析法)-_<- ? _+- > _? a<b+2 - - +a-b? 2 - - >0,显然成立.6. 若二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间-1,1内

4、至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.答案解析（补集法）令解得pW-3或p，故满足条件的p的取值范围是 -.7. 已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+-x3,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a,b的值；证明:f(x) < g(x).2解析(1)f '(x)=一,g'(x)=b-x+x,由题意得解得 a=0,b=1. 证明：令 h(x)=f(x)-g(x),32即 h(x)=ln(x+1)-x +-x -x(x>-1),贝U h'(x)= 一-x2+x-1 = 一

5、.易知h(x)在(-1,0)上为增函数，在0 + s上为减函数.h(x) ma=h(0)=0,所以 h(x) < 0,即 f(x) < g(x).8. 已知点 P1(an,bn)满足 an+1=an bn+1,bn+1=(n N)且点 R 的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程； 试用数学归纳法证明：对于n N,点Pn都在 中的直线l上. 解析 由R的坐标为(1,-1)知ai=1,bi=-1.所以 b2=-,a2=ai b2.所以点P2的坐标为-.所以直线I的方程为2x+y=1.证明：当n=1时，2ai+bi=2x 1+ -1)=1 成立.假设 n=k(n N；

6、k > 2)时,2ak+bk=1 成立，则 2ak+1+bk+1=2a bk+1+bk+1=(2ak+1)=1,所以当n=k+1时，命题也成立.由知，对n N,都有2an+bn=1,即点Pn都在直线I上.B组提升题组1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x >0时，f(x)单调递减，若X1+X2>0,则f(x 1)+ f(x 2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案 A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x > 0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数 由 Xl+X2>0,可知 Xl>-X2, f(x 1)<

7、; f(-x 2)=-f(X 2),则 f(X i)+f(X 2)<0,故选 A.2.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2 nC. D.n2+n+1答案 C 1条直线将平面分成1+1=2个区域；2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+n)=1+=个区域.3.已知等差数列an中,首项a1>0,公差d>0.(1)若a1=1,d=2,且一，一,一成等比数列，求正整数m的值；求证：对任意正整数n, ,一,都不成等差数列.解析

8、(1)由题意，得一=,() =(a 1an),因为a1=1,d=2,所以=a1a®即49=1+(m-1) 2,解得 m=25. 证明:假设一,成等差数列，则一 +=,即=-,所以(a n+l+3n+2)=(a n+an+1),(2an+3d)=(a n+2d)2(2an+d),即 2d(3+6and+2d2)=0,因为 ai>0,d>0,所以 an=ai+(n-1)d>0,故2d(3+6and+2d2)>0与式矛盾,所以假设不成立即对任意正整数n,都不成等差数列.*4.设集合M=1,2,3,n(n >3,n N),记M的含有三个元素的子集的个数为 S,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1) 求一,一,一,一的值；(2) 猜想一的表达式，并证明.解析 (1) 一=2, =, =3,(2)猜想一=(n > 3,n N).下面用数学归纳法证明. 当n=3时，由知猜想成立； 假设当n=k(k > 3,k N)时，猜想成立，即一=,而S=,所以Tk=一.则当n=k+1时，易知S+i=,而当集合M从1,2,3,k变为1,2,3,k,k+1时,Tk+i在T