空间几何体的内切球与外接球问题

1、方体的体对角线所以球的体积为AC=+ 4 = 215,A空间几何体的内切球与外接球问题1. 2016全国卷n 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）32A. 12 n B. n C . 8 n D . 4 n3解析A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2 3,所以正方体的外接球的半径为 3,所以球的表面积为 4 n（3）2 = 12 n .2. 2016全国卷 川在封闭的直三棱柱 ABC- ABC内有一个体积为 V的球.若 ABLBC AB= 6, BC= 8, AA= 3,贝U V的最大值是（）9 n32 nA. 4 nB.' C . 6 n D.2

2、3解析B 当球与三侧面相切时，设球的半径为1, / AB丄BC AB= 6, BC= 8, / 8 n+ 6m= 10,解得1= 2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为2,3 34 Q 甲 9则22= 3,即2= 2- 球的最大半径为 2故V的最大值为qnX逅=2 n .3. 2016郑州模拟在平行四边形 ABCD中, / CBA= 120° , AD= 4,对角线BD= 2 . 3,将其沿对角线BD折起，使平面 ABDL平面BCD若四面体 ABCD勺顶点在同一球面上，则该球的 体积为.答案：203n ;解析：因为/ CBA= 120°,所以/ DAB

3、= 60°,在三角形 ABD中，由余弦定理得（23） 2= 42+ AB 2X 4 ABcos 60°,解得AB= 2,所以AB丄BD折起后平面 ABL平面BCD即有ABL平面BCD如图所示，可知 A, B, C, D可看作一个长方体中的四个顶点，长AC就是四面体ABCD外接球的直径，易知20 . ,5n4. 2016山西右玉一中模拟球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B, C四点共面， ABC是边长为2的正三角形，平面SABL平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为（ ）A 严B. 3C. 2 3D. 4选A;解析（1）由于平面SABL平面ABC所以点S在平

4、面ABC上的射影H落在AB上，根 据球的对称性可知，当 S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥 S-ABC的 体积最大.2 2 3 2石 因为 ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径 r = OC= §CH=尹于x 2=宁. 亠 i 1 也在 Rt SHC中, OH= 2°C=2,23精选资料，欢迎下载所以SHh=1,故所求体积的最大值为5. 2016赣州模拟如图7-38-19所示，设 A, B, C, D为球0上四点，AB, AC, AD两两垂 直，且AB= AC= _3，若AD= R（R为球0的半径），则球0的表面积为（）A. n B. 2 n C.

5、4 n D. 8 n选D;解析：因为 AB AC AD两两垂直，所以以 AB AC AD为棱构建一个长方体，如图所 示，则长方体的各顶点均在球面上，AB= AC= 3,所以AE= 6 , AD= R DE= 2R则有 氏+ 6 = （2 R）2 ,解得R=叮2 ,所以球的表面积 S= 4 n R= 8 n .6. 2016安徽皖南八校三联如图所示，已知三棱锥 ABCD勺四个顶点 A, B, C, D都在球0 的表面上，ACL平面BCD BCL CD且AC= 3 , BC= 2 , CD= 5,则球0的表面积为（）A. 12 n B . 7 n C . 9 n D . 8 n解析A 由ACL平面

6、BCD BCL CD知三棱锥 A-BCD可以补成以 AC BC CD为三条棱的长方体，设球 0的半径为 R则有(2 R) 2= AC+ BC+ CD= 3 + 4+ 5 = 12 ,所以S球=4n R = 12n .7. 2016福建泉州质检已知A, B, C在球0的球面上，AB= 1, BC= 2, / ABC= 60°,且 点O到平面ABC的距离为2,则球O的表面积为 .答案：20 n 解析在厶ABC中用余弦定理求得 AC= 3,据勾股定理得/ BAC为直角， 故BC的中点O即为 ABC所在小圆的圆心， 则00丄平面ABC,在直角三角形 00B中可求得 球的半径r = 5 ,则球

7、0的表面积S= 4n r2= 20n .8. 2016河南中原名校一联如图K38-16所示，ABCD1BGD是边长为1的正方体，S-ABCD 是高为1的正四棱锥,若点 S , A , B , C, D在同一个球面上，则该球的表面积为（）9A. n16B.25n16C.49n16D.8116图 K38-16选D;解析如图所示作辅助线，易知球心O在SG上，设OG= x,则OB= SO= 2 x,、2 2x) = x +同时由正方体的性质知 B1G = ¥，则在Rt OBG中，由勾股定理得 OB= GB+ OG,即(2 2 i,解得x = 7，所以球的半径 R= 2 7= 9，所以球的表面

8、积 S= 4 n R = 81 n .2 8 8 8 169. 2013课标全国I 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (500 n 3A. cm3B.866 n厂cm1 372 n 3 C.- cm2 048 n 3cmD.3解析：设球半径为 R,由题可知R, R- 2,正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图.BC= 2, BA= 4, OB= R 2, OA= R 由 R2= (R 2)2+ 42,得 R= 5,435003,所以球的体积

9、为3 nX 5 = - ncm )，故选A项.答案：A10.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A. 12 nB. 36 nC. 72 nD. 108n选B;解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3 2 X 2 = 6 ,高为寸（3曲6 f = 3,球心为底面正方形的中心,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4 nX 3 = 36 n11. 2014石家庄质检一已知球O,过其球面上 A、B C三点作截面，若 O点到该截面的距离是球半径的一半，且AB= BC= 2,Z B= 120

10、6;,则球O的表面积为（）64 n 8 n16 nA. ' B. C . 4 n D. _精选资料，欢迎下载解析：如图，球心 0在截面ABC勺射影为RABC的外接圆的圆心 O .由题意知082，OA R 其中R为球O的半径在 ABC中,AO QaB+ bC 2ABBCcos120 °22+ 22- 2 X 2X 2X2= 2 3.AC4 ABC的外接圆半径为，则2r = snACO華=4,得 r = 2,即卩 O A= 2.在 Rt2222 R2216264 nOGA中，0缜0A= 0A即-+ 4 = R,解得 R = p，故球 0的表面积 S= 4点=可，故选A.答案：A1

11、2. 2014郑州模拟在三棱锥 A-BCD中，AB= CD= 6, AO BD= AD= BO 5,则该三棱 锥的外接球的表面积为 .解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，fa2+ b2= 62,设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且其外接球的半径为 R,则S b2+ c2= 5s,得c2+ a2= 52,a2+ b2 + c2= 43，即(2F)2= a2+ b2+ c2 = 43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三 棱锥的外接球的表面积为 4 nR = 43 n答案：43 n13. 2014 全国卷正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的

12、高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()81 n27 nA. B . 16 n C . 9 n D.44答案：A;解析如图所示，E为AC与 BD的交点.因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE= 2aC= 2.设球心为0,球的半径为 R则0E= 4 R 0A= R又因为 A0E为直角三角形，所以 0A= OE2+ AE2,即卩氏=(4 R) 2+ 2，解得R= 9，所以该球的表面积 S= 4 n F2= 4 n81 n4主坝图Afl14. 2016 湖南八校联考如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为()A. 8 n B . 16 n C . 32 n D .答案：C;解析该几何体

13、为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2叮2,表面积为4 nX (2 2) 2= 32 n .ABCD是正方形且球心 O在此平面)15.已知四棱锥S -ABCD勺所有顶点在同一球面上，底面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+ 16 3，则球O的体积等于(n 64 2 n-B.C.D.解析由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥.设球则 AC= 2R, SO R, AB= 2r 则有(2R)2+ 4X 2x 卜乙* 16+ 16 ,3,解得 R= 2 2, 球 O的体积是 £n R= §: ?冗.33A.4,2 n 口 16 2 n 32 2 3°厂答案：D;的半径为16. 2016 武汉调研已知直三棱柱 ABCABC的各顶点都在同一球面上，若AB= AC= AA=2, / BAC= 90°,则该球的体积等