浅论新课程背景下中学数学思想方法的渗透

1、数学思想方法在初中课堂教学中的渗透和实践摘 要：本文从实施新课程标准的大背景出发，结合当前初中教学的实际状况，阐述 了渗透学生数学思想方法的必要性，同时对渗透数学思想方法的教学策略作了一些理性思考 和实践上的探索，对促进初中学生数学思想方法的形成，具有一定的实践操作意义。关键词：初中教学 数学思想方法 渗透为改变传统单一的果程 目标，促进学生全面. 和谐地发展，本次 i果程改革针对现行的基础教育果程教材中存在的弊端，在基础教育 课程改革纲要（试行）中明确提出了课程改变的六项具体目标，并 把实现果程功能的转变作这次果程改革的核目标，在此基础上确立 了知识与技省皂、过程与方法、情感态度与价值观三维

2、一体的新的*1果程 目标理念。目前广大教师正在积极地学习和实施新课程，通过在实施 过程中大胆地探索，积累了不少的宝贵经验，但纵观整个实施过程不 难发现还存在着不少问题，尤其是课堂教学中如何对学生进行思想方 法的渗透成为教师亟待解决的一个问题。为此本文就新课程背景下中 学数学课堂教学中如何对学生进行思想方法的渗透作一探讨，希望能 起一种抛砖弓i玉的作用。一、数学思想方法的基本内容所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的 意识之屮，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论 的本质认识。这其中有一部分是体现或应该体现于基础数学中的具有 奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以

3、称之为基本数学思想。如 极限思想、对立统一思想等。所谓数学方法，是指某一数学活动过程 的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。从 上面两者的界定可以看出，数学思想与数学方法既相互联系又相互依 存，数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和 得以实现的手段，因此，人们把这两者合称为数学思想方法。就初中 数学而言，主要有以下几种思想方法：1. 分类的思想方法。数学中所谓“分类”，是指把所研究的对象，按某种本质特征区分 为不同种类，然后分别加以考察的一种思想方法。进行分类时，必须 抓住研究对象的某种本质特征，对同一类研究对象，可以根据不同的 需要，采取不同的标准进行分

4、类，但应注意不能把其中某些对象遗漏, 也不能使某些对象重复。2. 类比的思想方法类比是一种不同对象之间或事物与事物之间，根据他们某些方面 的相似之处进行比较，通过联想、猜测，推断出其他方面也相似，从 而建立猜想、发现真理的方法。通过类比可以发现新旧知识的和同点, 利用已有的知识来认识新知识。例如二次根式一章中的合并同类二次 根式与合并同类项进行类比，二次根式的乘法与多项式乘法进行类 比。3. 数形结合的思想方法数形结合是一种重要的数学思想方法，其特点是把直观的图形和 抽象的数结合起来，借助图形来解决有关数的问题，起到化难为易， 化抽象为形象的作用，同吋也便于对概念的理解和掌握。由数思形、 以形

5、助数、适时转化、相互为用，这就是数形结合思想方法的精髓所 在。4. 化归思想方法化归思想就是把未知问题化归为已知问题，把复杂问题化归为简 单问题，把非常规问题化归为常规问题，从而使很多问题得到解决的 思想。结合解题进行化归思想方法的训练的做法有：(1)化繁为简;(2)化高维为低维；(3)化抽象为具体；(4)化非规范性问题为规 范性问题；(5)化数为形；(6)化形为数；(7)化实际问题为数学问 题(8)化综合为单一；(9)化特殊为一般等。5. 函数思想方法函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究自然界中具体问 题量的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象出蕴含其中的数学 特征，用函数的形式把这

6、种数量关系表示出来，并加以研究，利用函 数的性质使问题获得解决。6方程的思想方法。方程的思想是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所 涉及的各量间的制约关系，列出方程（组），从而求出未知数及各量的 值，使问题获得解决，这就是方程的思想方法。所设的未知数，沟通 了变量之间的联系。方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件， 它架设了由已知探索未知的桥梁。用方程的思想解题，就是把问题 转化为利用方程求解的问题，其关键是利用等量关系构造方程。%1. 初中数学教学中渗透数学思想方法的理论依据数学知识只是数学的躯体，而数学思想方法才是数学的灵魂。数 学学习屮，知识的学习固然很重要，但更引起我们重视的

7、是对数学思 想方法的学习。古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想 方法都闪烁着人类智慧的火花。因此，数学课堂教学屮有选择地渗透 一些数学思想方法是很有必要的，这主要体现在以下儿个方面：1. 学生的心理发展规律心理学研究表明，个体的心理发展具有阶段性。根据这一特点， 在心理学中把婴儿、青少年的思维发展划分为四个阶段：动作思维（03岁）、形象思维（37岁）、形式思维（713岁）、辩证思维（13 19岁）；初中学生的思维发展正处在一个由形式思维为主向辩证思维 过渡的关键阶段。在认知心理学里，思想方法属于原认知范畴，它对 认知活动起着监控、调节的作用，对培养辨证思维能力起着决定性的 作用。因此

8、，课堂教学屮对学生渗透一些基本的数学思想方法，有利 于提高学纶的原认知水平，培养学半辨证分析问题和解决问题能力， 促进学生的思维由形式思维向辩证思维的发展。2. 新教材的编排结构新一轮的数学课程改革，并不是仅仅是“换本子”。数学新课程与 原教材中主要采取“定义定理（公式）例题一一习题”的形 式不同，新标准提倡以“问题情境一一建立模型解释、应用 与拓展”的基本模式呈现知识内容，让学生经历“数学化”与“再创 造”的过程，形成自己对数学概念的理解，在教材内容的编排上也呈 现螺旋上升，体现出“知识是载体，方法是主线”的编排结构。因此, 教学中应通过适当的数学思想方法，引导学生对所学知识进行合理编 排和

9、二度整合，进一步理顺教材中的知识结构，揭示各知识点之间的 内在联系，形成学习过程中的知识链、技能链、思想链，为学生运用 知识解决实际问题奠定基础。3. 教学的根本任务新的数学课程标准要求从原大纲中以获取数学知识、技能和能力 为首要目标，转变为首先关注每一个学生的情感、态度、价值观和一 般能力的发展，使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解 数学的价值，促进数学思维，增强对数学的理解和应用数学的能力。 在数学新课程标准的理念下进行教学创新，就应该从学生的生活经验 和已有知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机 会，不断培养学生的思维能力，全面提高学生的思维素质。思维素质 中最积

10、极、最活跃的因素又是思想方法，要促进学主的思维发展，不 仅要让学生掌握一些必要的基础知识，更要让学生掌握获取知识的方 法。例如七年级数学新教材每章中所安排的“综合实践活动”这种新 的学习形式，通过学生的自主探索与合作交流，使他们获得综合运用 数学知识和方法解决实际问题、探索数学规律的能力,逐步发展对数 学的整体认识，促进了学生整体素质的提高。4. 教育的发展趋势二十一世纪是人类知识大爆炸的时代，随着计算机信息技术的快 速发展，知识正在以儿何级数增长，人类已无法用传统的方式去掌握 这些知识，这就使世界的教育呈现出一 种由掌握知识转变为掌握思想 方法的发展趋势，在这种形式下，我国的教育就必须像邓小

11、平同志指 出那样“教育要面向现代化，面向世界，面向未来。”才能成为世界 强国。因此，课堂教学中对学生渗透一些基本的数学思想方法，这既 是交给学生一把打开知识宝库大门的金钥匙，又为学生今后走上社会 提供了必要的生存工具。三、初中数学教学中渗透思想方法的策略数学思想方法与数学知识相比，前者呈“隐性”，后者呈“显性”。 但是，很多知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长期的，能使 人“受益终生”。正如数学家乔治波利亚所说：“完善的思想方法 犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。因此，就数学教学 而言，“知识诚可贵，思想价更高”。那么在学数学教学何对学生进 行思想方法的渗透呢？(-)革新观点 提

12、升理念人的行为是受思想观念支配的，教师有什么样的教学观，就会在 课堂教学中体现出相应的教学行为。才有可能使教师在课堂教学中对 学生进行思想方法的渗透。(二)理清脉络 挖掘素材数学知识是以显性的方式出现在教材中的，而数学思想方法都是 以内隐的方式存在于教材z中的，教师要理清蕴藏在教材中的思想方 法的脉络，必须深入钻研教材，弄清各部分教材的编排意图和知识结 构、知识的展示方式，才能挖掘出教材中的思想方法教育的素材。具 体来说，要求教师做到以下两点：数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材屮，是“形” 的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并 且不成体系地散见于教材各章节中

13、。教师讲不讲，讲多讲少，随意性 较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生 的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从 思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识。(三)潜移默化 合理渗透数学思想方法的体会必须通过具体的教学过程加以实现。因此， 必须把握好教学过程中进行数学思想方法的渗透契机，如概念形成的 过程，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想 方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应 有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。结论推导的过程, 方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进 行数学思想

14、方法的渗透要注意有机结合、自然和谐，要有意识地潜移 默化地启发学生领悟蕴含于数学知识z屮的种种数学思想方法，切忌 生搬硬套、和盘托岀、脱离实际等适得其反的做法。例如：学生在学 习一元一次方程的解法时，如果只是让学生注意解一元一次方程的步 骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项等，而未掌握解一元一次 方程的基本思想求出一个与原方程同解的且解是明显的方程，即 ax=b (aho)。那么，学生对这一基本思想的精髓就不会有什么真正 的领悟，对解方程的认识，也只能是“知其然，但不知其所以然”。 因此在教学中，在强调解决步骤的同时应着重强调所反映出的“化归” 思想方法，使学生真正体会因解题步骤是“化归”思

15、想方法的指导下 的具体外显，这样学生才会举一反三，建立基本的数学模型，增强方 法的迁移能力。四、初中数学教学中渗透思想方法的具体措施思想方法教育是一个生成的过程，它的实效性与教师的课堂教学 有着直接的关系，教师只有通过多种形式、多种渠道、灵活运用才能 达到提高实效的目的。k在知识形成过程中的领悟和体验学生头脑中的思想方法的形成与教师的教学有着直接的关系。一 些有经验的教师，总是特别重视知识形成过程的教学。他们对概念具 体形象的描述，对性质、法则、公式的有根有据的逻辑推理，对算理 科学合理的解释，解题时的思路和方法，无不体现出较高的数学思想 境界。许多年后，学生仍感到记忆犹新，受益匪浅。而现实教

16、学中， 有些教师往往就不太重视“过程”的教学，舍本求末。例如有的教师 在提问学生时，只注意学生冋答的答案是否正确，不问为什么。改作 业时只看得数，不看过程。有的教师在新知的教学中，把概念形成的 过程、性质、法则、公式和规律的推导归纳过程这些最精彩、最生动、 最能启发学生思维的地方掩盖起来，只讲抽象的结论，要求学生死记 硬背，谓之“精讲”、“这样做就行了”，把教学简单化，嫌“过程” 繁琐、难讲、占时多。脱离了从具体到抽象的过程，舍去了根本的逻 辑推理，学生就不能建立一些必要的数学模型，也无法体会数学学科 独具的思想美和方法美，导致学生对数学会感到空洞乏味和莫名其 妙，从而失去对数学的兴趣。其实，

17、数学思想和方法恰恰就渗透在这 些知识的形成过程屮。“有理数” 一章教学就是最好的例证。学生初 次接触负数、相反数、绝对值以及有理数这些抽象概念吋，往往在理 解上有一些困难，如果能渗透数行结合思想通过数轴来帮助理解就可 以解决这个问题。例1指出数轴上a、b、c、d各点分别表示什么数a d c b-5-4-3-2-1012345解：点a表示一2,点b表示+2,点c表示0,点d表示一1。例2画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：-5,0,5,4,-|2 25 -4 -3 -2 -1 012 3 4 5例1由“形”到“数”，例2由“数”到“形”，两例从不同侧面 体现出数形结合的思想。归纳起来，利用数轴

18、可以在以下几方面帮助我们理解有关的概 念（1）形象地表示有理数；（2）直观地解释和反数；（3）比较有理 数的大小；（4）理解绝对值的意义。在这个过程的教学屮，学生从形到数，从数到形的认识，不但轻 松地掌握了各知识点，而且从中也体会到了数形结合思想方法的精妙 所在。如果学生对“过程”不了解，对知识往往是一知半解，缺乏本 质的认识。这对学生数学思想方法的形成毫无帮助。吋至今h,那种 随意阉割教材、本末倒置的教学方法应当“束之高阁” 了。实施素质 教育，不但要重视“结果”的教学，更要重视“过程”的教学。教师 要在“过程”的教学中，帮助学生沟通新知和旧知的联系，完成知识 的转化和迁移，构建认识结构。这

19、是学生掌握数学思想方法的主要途 径。2、在知识理解过程中揭示与提炼在学生接触过较多的数学知识后，数学思想方法的学习逐渐过渡到明朗期，那时学生对数学思想方法的认识已经明朗，开始理解解题 过程中所使用的探索方法与策略，这吋教学过程中应有意识地启发学 生概括、揭示、总结出所蕴含的数学方法。例如，在二元一次方程组的解法中有这样的叙述：这种解法的基 本思路是，通过“代入”、“加减”，达到消元（即消去一个未知数） 的目的，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。这样的叙述在 解三元一次方程组又再次出现。教学实践中给足时间，让学生自读， 结合课本题目，专项讨论“消元”怎样进行，不仅突出内容的重点， 突破了难

20、点，更得益的是强化了内容所反映出来的数学思想方法。再 如在“可化为一元二次方程的方程”的教学中，引导学生逐个探索解 法，然后引导学生归纳出：咼次方临嚳一元一次或一元二次方程无理方程两边平冲 换元法有理方程整式方程最后，引导学生回答解高次方程、分式方程、无理方程的相通之 处在于“关键是转化为一元一次或一元二次方程”。说明学生已经意 识到化归的数学思想，通过教师的引导，学生自己提炼出所含的数学 思想方法。3、在知识运用过程中巩固和深化数学思想方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有 一个“从个别到一般，从具体到抽象,从感性到理性，从低级到高级”的 认识过程。在教学中，学生对某一思想方法首先

21、是产生感性的认识，再 经过多次反复，在比较丰富的感性认识的基础上，然后逐渐概括上升成 理性认识,最后在应用中，对形成的数学思想方法进行验证和发展，进 一步加深理性认识。因而只有反复渗透，才能螺旋上升。笔者认为可 让学生在不断经历“模仿一初步应用一自觉应用”的过程中，水到 渠成地促进。如在二次根式一章复习时，可利用以下典型知识的运用 过程中巩固和深化相关思想方法。例1已知"丄("+,求 x2 - xy + y2 的值。2 2解：x = y(v7 + v5),y = y(v7-75).-. x + y = “,小jj.兀2 - xy + y2 =(兀+y)2 - 3xy = (

22、y/lj -3x = 5评析后二问，(v)2=>0)中的g可以是一个数，也可以是一个代数式。将一个代数式看作公式里的一个字母，这就是整体思想。例2计算：+忑-忑分析：设匕暑2 +厲，b暑2-厲，则原问题转化为求的值。解：设=爲2一羽=b ,则 ah = f a2 +b2 =4/. (a + b)2 =a2 +b2 +2db = 4 + 2x1 = 6乂 t a a 0, b a 0,二 d + b a 0:.a + b = 4,即2 +的+2-侖=愿.（化归思想方法）例 3 化简：ja? _4g + 4解：原式=yj（a-2）2 = a-2当a>2时，原式二°一2；当gy

23、2时，原式二一一2） = 2-a先由q ,再分a > 0和a y 0两种情况对h加以分类讨论（利用了分类思想方法）例4化简：卄2 +伫1 + + 2-伫!(沦2) n+ 2-n2 - 4 n + 2 + j/-4: 设 a = n + 2 + 一 4, “ =川 + 2 -4,贝ijg + z? = 2 + 4, ab = 4h + 8a b a2 +b2(a +b)2 -lab (in + 4)2 -2(2n + 8)4/2 + 8原戌=f = hb a cib（利用了换元的思想方法）例5、观察2亠2三8±=423可以猜想，归纳出v®为口 然数，n.« &

24、gt; 2）.nn + = n宀1n -1（观察、猜想、归纳的思想方法）本章中的合并同类二次根式与合并同类项进行类比，二次根式的 乘法与多项式乘法类比。（类比思想）4、在解决生活问题中反思和应用在众多的数学思想方法中，转化是核心，因为在解决数学问题的 具体操作过程中，无一不是实现未知向已知的转化、复杂向简单的转化、一般向特殊的转化、抽象向具体的转化所以数学中一切问题 的解决都离不开转化。数学思想方法能驾驭数学知识，能培养学生的 数学能力，而学习数学的目的是利用数学知识解决一些实际问题，而 一个实际问题的解决往往隐含着几种思想能方法，运用哪种思想方法 去解决问题又是学生的一个难点问题。女口：例1

25、、有甲、乙、丙三种文具，若买甲3件，乙7件，丙1 件，共需3. 15元；若买甲4件，乙10件，丙1件，共需4. 20元。 现买甲、乙、丙各一件，共需要多少元？分析：这是一个三元但只 有两个独立条件的问题，因此要分别求出买甲、乙、丙各一件分别需 要多少元是不可能的，必需用整体法。（提问：同学们讨论，怎么办？）解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要x、y、z元，由题意得方 程组：3x + 7y+ z = 354x +10y + z = 4.203x （1） 2x （2）得 x+y+z二 1.05（元）评析：学生首先想到的是用方程思想方法，通过立方程组、消元 然后转化成一个ax=b的形式，但这样彳亍不通

26、，把x+y+z当作一个整 体就可以解决了，整体思想方法起了作用。此题用到了方程思想方法 和整体思想方法。例厶解不等式x2+2x-3>0若采用常规的解不等式的方法不容易求，但适当对其变形得y= x?+2x 3,利用函数图象性质，即当x取何值时y>0,就容易求解了。 其实这里体现了方程思想、函数思想、数形结合思想。五、实践和反思学生问卷调查：经过一段吋间的教学实践，笔者用问卷1对初三甲、 乙两平行班调查（每班均为40）,其中甲班每题提示解题的思想方法;乙班不提示解题的思想方法。结果显示：提示班级23人全做出来， 没提示的班，只有14人全做出来。这有力证明了数学思想方法对解 决数学问题的

27、作用。卷2对甲、乙两班学生作一调查，调查总的显示, 开展数学思想方法渗透以来：（1）学生对数学的亲近感增强了，兴趣 提高了；（2）感受到数学这门学科的美妙；（3）拓宽了思维，站在了 一个更高的高度解数学题；（4）能迁移到其它学科，服务于其它学科。 因此，我们的数学教学不应该仅仅教会学生数学知识，更重要的是应 该教会学生的数学思想方法，让他们受益终身。所以我们的数学教学 不要仅仅局限于“考试”，要真正为学生着想，教会的不是一个题， 而是一种方法，一种分析的方法；教会的不是一类题，而是一种思想; 教会的不是怎样做这题，而是怎样去分析，去理解这类题，使z能力 真正得到提高。六、问题和建议数学思想方法

28、的形成经历模仿一一初步应用一一自觉使用的一个 长期的过程。在教学过程中渗透数学思想方法，既要注意各种思想 方法独自的特点，也要注意几种思想方法的综合及灵活运用。笔者在 教学实践中领悟到渗透思想方法可从以下几方面去加强实施：（1）要 有整体设计。如初一可渗透类比思想、方程思想、了解数形结合思想 （以数带形）；初二渗透数形结合思想（以形带数）、函数思想、化归 思想；初三强化各种数学思想及运用数学思想解决实际问题。（2）教 学过程中要坚持不懈、贵在平时。（3）各学科步调一致，加强学科思 想的渗透。（4）作业中加强体现（必要时按教师要求让学生出题、编 题。（5）复习时按思想方法专题复习。（6）说题（练习训练时，要 求学生说内容、说思想、说思路）。将数学思想方法内化为学生潜在 意识，努力培养学生解决问题的能力。诚然，耍使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过 儿堂课就能达到的，但是只要我们在教学中大胆实践，持z以恒，寓 数学思想方法于平时的教学中,学生对数学思想方法的认识就一定会 日趋成熟；只要我们一线教师在教学工作中不断深入地探索研究和努 力实践，学生对数学思想方法的理解和应用水平也一定会达到应有的 高度。参考文献：1. 教育学罗正华主编，中央电大出版社，1989年版2. 数学思想方法与中学数学钱佩玲、邵光华主编，北京师范大学 出版社，1999.7