2022年2022年《常微分方程》期末模拟试题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载常微分方程模拟练习题及参考答案一.填空题（每个空格4 分,共 80 分）1.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好为n个；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.一阶微分方程dydx2 x 的通解为yx2c （ c为任意常数）,方程与通过点（2, 3）的特解为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx21,与直线y=2x+3 相切的解为yx24,满意条件3ydx03 的解为yx22；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.李普希兹条件为保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件；精品学习资料精选学习资料 - -

2、- 欢迎下载dy4.对方程dx xy2 作变换uxy,可将其化为变量可分别方程,其通解为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ytan xc x；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy5.方程dx1y 2过点 2、 1共有很多个解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载''2x4x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.方程 yx1的通解为yc1xc2122,满意初始条件y |x 12、 y |x 35 的特解为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x4x219yx；12264精品学习

3、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy7.方程dxyxx无奇解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.微分方程d 2 ydydx 2dx6 y0 可化为一阶线性微分方程组dyz dx；dzz6 y dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy9.方程dxy 的奇解为y=0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.d 3 ydy2x53 为 3阶常微分方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx311.方程dx

4、dyx2dxy2 满意解得存在唯独性定理条件的区域为xoy平面；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12.微分方程dyz dxd 2 ydy245ydxdx；0 通解为5 xyc1exc2e,该方程可化为一阶线性微分方程组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dz4z5 y dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13.二阶线性齐次微分方程的两个解y1 x、 y2 x成为其基本解组的充要条件为线性无关；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料

5、精选学习资料 - - - 欢迎下载13dxe 2 t3e5t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载14.设 a,就线性微分方程组42dtax 有基解矩阵te 2t；4e5t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.解方程（每个小题8 分,共 120 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 . x2 ydxxdy0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dyy答案：方程化为12dxx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 yxu ,就 dydxduduux,代入上式,得x1u dxdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习

6、资料 - - - 欢迎下载分别变量,积分,通解为ucx1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 原方程通解为ycx 2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx2.dt dydtx y4 xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11答案：特点方程为ae410 即223 0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特点根为13 ,21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载131a10a11对应特点向量应满意可确定出413b10b12精品学习资料精选学习资料 -

7、- - 欢迎下载同样可算出2a211 对应的特点向量为b22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xe3te t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 原方程组的通解为yc12e3 tc2；2e t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy2x3.3 ye dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：齐次方程的通解为yce 3 x3x15 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令非齐次方程的特解为ycxec xec 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入原方程,确定出原方程的通解为yce3x + 15e2 x精品学习资料精选学习资料

8、- - - 欢迎下载4 . dydx2 x y ；精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy答案：2 x ydx为一个变量分别方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变量分别得2 y dy2x dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两边同时积分得2 y2 xc （其中 c 为任意常数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dyyxy5.edxxdyxexyy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答

9、案：dxxdye xyxexyxyydxxxdyydxxexy dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dxyxexy dxdxyxyxdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载积分：e xye1 x22c故通解为：1 x 22e xyc0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.yx x2y 2 dxxdy0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：ydxxdyx x 2y 2 dx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两边同除以x2y2 得ydx x 2

10、xdy y2xdx0 ,即xd arctg y1 dx20 ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故原方程的解为arctgxy1 x2c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx7.dt dydt2 x4 y.5 x3 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：方程组的特点方程为24ae053精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 23450 ,即25140特点根为17 ,22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对应特点向量应满意274a1537b1

11、0a41,可得0b15精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a21同样可算出22 时,对应特点向量为b21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 原方程组的通解为y4e7tc15e7te 2tc2e 2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. xxsin tcos2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：线性方程xx0 的特点方程210 故特点根i精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f1t

12、 sin ti为特点单根,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原方程有特解xt acostb sint 代入原方程a=-b=02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f2 t cos2t2i不为特点根,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原方程有特解xacos2tb sin 2t 代入原方程ab=03精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以原方程的解为xc costcsin t1 t cost11223cos2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 2 x2 y1dx xy 2 dy0精品学习

13、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy2xy1dzdy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：,令 z=x+y ,就1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dxdz1 dx xy2 z1z 22z1、z2dxdx1z2 dzdx z1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 z+3ln|z+1|=x+c1 , ln| z1|3 =x+z+ c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 xy1 3ce2 x y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.d

14、2 xdxdt 2dtx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案：所给方程为二阶常系数齐线性方程；其特点方程为210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特点根为113 i ,22213 i22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载213131精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 方程的通解为xi t22i t2233t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c1ec2ec1 costc2 sin22t e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy11.dxxy1x y 23精品学习资料精选学习资

15、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： x-y+1dx-x+y 2 +3dy=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xdx-ydx+xdy+dx-y2 dy-3dy=0 即1 d x 2 -dxy+dx-21 dy 3 -3dy=03精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 1 x 22xyx1 y 33yc3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.证明题（共160 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.（ 12 分）证明假如（ t）为x /ax 满

16、意初始条件t 0 的解,那么tea tt0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 设t的形式为t= e at c（ 1）（c 为待定的常向量）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就由初始条件得t0 = e at0 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 eat0 1 = eat 0所 以 c=eat 0 1= e at 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入（

17、 1）得t = eat eat 0ea tt 0 即命题得证；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.（ 12 分）设 x在区间 、 上连续试证明方程dydx x siny的全部解的存在区间必为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载、 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 由已知条件,该方程在整个xoy 平面上满意解的存在唯独及解的延展定理条件；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显 y1 为方程的两个常数解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载任取初值 x0 、 y0 ,其中 x0、 、y

18、01 ；记过该点的解为yyx ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由上面分析可知,一方面yyx可以向平面无穷远处无限延展；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载另一方面又上方不能穿过y1 ,下方不能穿过y1 ,否就与惟一性冲突；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故该解的存在区间必为、 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.（ 12 分）设y1 x ,y2 x为方程 yp x yq x y0 的解,且满意y1 x0 = y2 x0 =0,y1 x0 ,精品学习

19、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这里 p x、q x 在 、 上连续,x0、 试证明：存在常数c 使得y2 x=c y1 x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 设y1 x ,y2 x为方程的两个解,就它们在、 上有定义,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其朗斯基行列式为w xy1 xy1 xy2 xy2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知条件,得w x0

20、y1 x0 y1 x0 y2 x0 y2 x0 0y1 x0 00y2 x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故这两个解为线性相关的；由线性相关定义,存在不全为零的常数1, 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使得1 y1 x2 y2 x0 , x、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 y1 x0 ,可知20 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

21、载否就,如20 ,就有1 y1 x0 ,而y1 x0 ,就10 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这与 y1 x ,y2 x线性相关冲突故y2 xy1 x12cy1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.（ 12 分）表达一阶微分方程的解的存在唯独性定理的内容,并给出唯独性的证明；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理： 设 r :| xx0 |a、|y y0 |b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）f x、y 在 r 上连续,精品学习资料精

22、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）f x、y 在 r 上关于 y 满意利普希茨条件：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l0、x、 y1 、 x、 y2 dyf x、 yr ,总有| f x、 y1 f x、y2 |l | y1y2 | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就初值问题dxy x0 存在唯独的解yy0 x,定义于区间| xx0 |h 上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续且满意初值条件 x y ,这里

23、 hmin a、 b 、 mmax |f x、 y | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00m x、 y r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载唯独性：设 x 为积分方程在区间 x0h、 x0h 上的解,就 x x .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： xy0xf 、d,x0n xy0xf 、x0n 1 d, n1、2、.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第一估量xx0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

24、- - 欢迎下载x|0 x x |x0f 、 | dm xx0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x|1 x x |x0f 、0 f 、 | d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxl| | dlmx dml xx 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x00ml nx002.0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 | xx |xxn 1 成立,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n0n1.xxn 1ml精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

25、迎下载|x x | f 、f 、 | d| | dxx n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xn 1n0nx0n02.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ml nn 1ml nn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这就证明白对任意的n ,总成立估量式：|n x x |xx0 h.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 n1. n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此, n x一样收敛于 x ,由极限的唯独性,必有x x、 x x0h、 x0h .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料

26、 - - - 欢迎下载5.（ 10 分）求解方程组dxx dtdyxdty1的奇点,并判定奇点的类型及稳固性；y5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy10x2解： 令,得,即奇点为（2, -3 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy50x x2y3dxxy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令,代入原方程组得dt,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y y3dyxydt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11由于21110 ,又由11220 ,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

27、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得12 ,22 为两个相异的实根,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以奇点为不稳固鞍点,零解不稳固；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.（ 12 分）求方程组dx3 xy dt1满意初始条件01的解 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy3y1dt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 方程组的特点方程为31320 ,03精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以特点根为3（二重）,3 t对应齐次方程组的基解矩阵exp ate i a3ete3t1t,01精品学习资料精选学习资料 -

28、- - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载满意初始条件的特解t3t1t13t1tt3 s1s1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t exp atexp atexpas f sdseeeds精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0011010010精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t11t11 e 3tte3t2 e3t1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e3te3t3333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1010e3t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.（ 10 分）假设m 不为矩阵a 的特点值,试证非

29、齐线性方程组x'axcemt有一解形如tpemt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 c , p 为常数向量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 设方程有形如t pemt 的解,就p 为可以确定出来的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载事实上,将pemt 代入方程得mpemtapemtcemt ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 emt0 ,所以 mpapec ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

30、料精选学习资料 - - - 欢迎下载 meapc（1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 m 不为矩阵a 的特点值,det mea0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 mea 1 存在,于为由（1）得 pmea 1 c 存在；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故方程有一解t mea 1 cemtpemt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.（ 12 分）试求方

31、程组x'21ax 的一个基解矩阵,并运算exp at ,其中 a12.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： pdetea0、 13、23 ,均为单根,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设1 对应的特点向量为v1 ,就由 1 eav10 ,得v123,0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 v111,同理可得1 对应的特点向量为v2,2323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就te 3t v 、t

32、e 3t v ,均为方程组的解,1122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令t 1t、2 t ,又11w0det030 ,2323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t 即为所求基解矩阵e 3te3t.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23 e 3t23 e3t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（.12 分）试证明：对任意x0 及满意条件 0y01 的dyy0 ,方程dxy y1x212 的满意条件yy x0 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

33、下载的解 yy x 在 、 上存在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y y12 y11x 2y2 y y12 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： f x、 y1x2y 2 , f y x、 y1x2y2 2在全平面上连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 原方程在全平面上满意解的存在唯独性定理及解的延展定理条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又明显 y0、 y1 为方程的两个特解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载现任取 x0、 , y

34、00、 1 ,记 yy x 为过x0 、y0 的解,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么这个解可以唯独地向平面的边界无限延展,又上不能穿越y1 ,下不能穿越y0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载因此它的存在区间必为、 10.（ 10 分）求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点1、0 的连线相互垂直.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 设曲线方程为yyx ,切点为 x、 y ,切点到点1、0 的连线的斜率为y,x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

35、料精选学习资料 - - - 欢迎下载就由题意可得如下初值问题：y'y1x1y00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别变量,积分并整理后可得y2 x12c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入初始条件可得因此得所求曲线为c1, x12y21 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy11.（ 12 分） 在方程dxf y y 中,已知f y , x 在 、 上连续, 且10 求证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对任意x0 和 y01,满意初值条件y x0 y0 的解y x 的存在区间必为、 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： 由已知条件可知,该方程在整个xoy 平面上满意解的存在惟一及延展定理条件,又存在常数解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yk、k0、1、2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对平面内任一点 x0 、y0 ,如 y0k,就过该点的解为yk,明显为在 、 上有定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 y0k、 就 y0k、 k1