三角函数的图像和性质教师讲义

1、1 三角函数的图像和性质1.诱导公式（把角写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）sin)2cos(cos)2sin(）sin)2cos(cos)2sin(2、三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos( + )=cos cos -sin sin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sin cos

2、cos sin tan( + )=(tan +tan )/(1-tan tan ) tan( - )=(tan -tan )/(1+tan tan 2、倍角公式：sin(2 )=2sin cos =2/(tan +cot ) cos(2 )=(cos)2-(sin )2=2(cos )2-1=1-2(sin )2 tan(2 )=2tan/(1-tan2 ) cot(2 )=(cot2 -1)/(2cot ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsin coscos sinsin22sin cos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos1 1

3、2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin22tantan21tan令4、 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin3、三角函数的图像与性质2 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像“五点法”描图(1)ysin x的图像在 0,2 上的五个关键点的坐标为：(0,0) ，)1 ,2(，( ， 0) ，)1,23(，(2，0) (2)ycos x的图像在 0,2 上的五个关键点的

4、坐标为：(0,1) ，)0 ,2(，( ， 1)，)0 ,23(，(2 ，1)2. 周期函数定义：对于函数( )f x，如果存在一个不为零的常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，()( )f xtf x都成立，那么就把函数( )fx叫做 周期函数 ，不为零的常数t叫做这个函数的周期 。（并非所有函数都有最小正周期）三角函数的图像和性质函数性质y sin xy cos xytan x定义域rrx|xk2，kz 图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-3

5、2-2oyxy=cotx3222-2oyx3 值域 1,1 1,1r对称性对称轴：xk2(kz) 对称中心： (k，0)(kz) 对称轴：xk (kz) 对称中心：(,0)2k无对称轴对称中心：zkk)0,2(周期22单调性单调增区间zkkk22,22；单调减区间zkkk232,22单调增区间2k ，2k(kz) ；单调减区间2k，2k(kz) 单调增区间zkkk)2,2(奇偶性奇偶奇4由 ysin x 的图像变换出 ysin( x) 的图像一般有两个途径利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换( 伸缩变换 ) 先将ysinx的

6、图像向左 (0)或向右 ( 0平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的1倍( 0) ，便得ysin( x) 的图像。途径二：先周期变换( 伸缩变换 ) 再平移变换。先将ysinx的图像上各点的横坐标变为原来的1倍( 0) ，再沿x轴向左 ( 0)或向右 ( 0平移|个单位，便得ysin( x) 的图像。3、形如sin()yax的函数特点（1）几个物理量：a振幅；1ft频率（周期的倒数） ；x相位；初相；（2）函数sin()yax表达式的确定：a 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如( )sin()(0,0f xaxa，|)2的图象如图所示，则( )f x_（答：15( )2si

7、n()23f xx） ；（3）函数sin()yax图象的画法 ：“五点法”设xx，令x0，3, ,222求出相应的x值，计算得出五23题 图29yx-2234 点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yaxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的图象纵坐标不变， 横坐标向左 （0）或向右（0)在区间 0 ，2 的图像如右：那么 =（）a. 1 b.2 c.1/2 d. 1/3 6. 将函数的图像f向右平移个单位长度得到图像f，若f的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）a. b. c. d.7. 函数在区间 (，) 内的图像大致是（）a b

8、c d8. 为得到函数的图像，只需将函数的图像（）a向左平移个长度单位 b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位 d向右平移个长度单位9. 把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍 （纵坐标不变） ， 得到的图像所表示的函数是（）a bsin()yx3,1x51251211121112tansintansinyxxxx223cos3yxsinyx665656sin ()yx xr312sin 23yxxr，sin26xyxr，8 c d10已知函数=acos() 的图像如图所示，则=（）a.b. c.- d.11. 函数sin(2)(0)yx是r

9、上的偶函数，则的值是（）a.0 b.4 c.2 d.12. 若,24则（）a.tancossin b.sintancosc.costansin d.cossintan13. 函数23cos()56yx的最小正周期是（）a.52 b.25 c.2 d.514. 在函数xysin、xysin、2sin(2)3yx、2cos(2)3yx中，最小正周期为的函数有（）a.1个 b.2个 c.3个 d.4个15.xxxf32cos32sin)(的图像中相邻的两条对称轴间距离为（）a3 b34c23 d6716. 函数)252sin(xy的一条对称轴方程（）a2x b 4x c 8x dx45二、填空题1.

10、 关于x的函数( )cos()f xx有以下命题：对任意，( )f x都是非奇非偶函数；不存在，使( )f x既是奇函数，又是偶函数；存在，使( )f x是偶函数；对任意，( )f x都不是奇函数. sin 23yxxr，sin 23yxxr，( )f xx2()23f(0)f232312129 其中一个假命题的序号是，因为当时，该命题的结论不成立. 2. 函数xxycos2cos2的最大值为 _. 3. 若函数( )2sin(2)3f xkx的最小正周期t满足12t, 则自然数k的值为 _. 4. 满足23sin x的x的集合为 _. 5. 若)10(sin2)(xxf在区间0,3上的最大值是2，则=_. 6若，则. 7函数的最小正周期为8函数（为常数，）在闭区间上的图像如右图所示，则=. 三、解答题1. 已知函数（ 1）求的最小正周期及对称中心；（2）若，求的最大值和最小值. 2. 已经函数( ) 函数的图像可由函数的图像经过怎样的变化得出？（）求函数的最小值，并求使取得最小值的