小升初数学升学专题因数倍数和同余问题

1、1 课题因数、倍数的应用学习要求熟悉短除法找公因数和公倍数教学目标利用因数、倍数解决相关应用题掌握同余问题的答题技巧培养学生观察、分析、概括、推理能力重、难、考点因数、倍数应用同余问题一、公因数和公倍数【基础回顾】1、公倍数 :几个数公有的倍数最小公倍数 :公倍数中除零以外的最小的一个大于零的公倍数. 公因数的含义：几个数公有的因数最大公因数 :公因数中最大的一个数2、 求几个数的公倍数和最小公倍数的方法？3、 求几个数的公因数和最大公倍因数的方法？4、2、3、5 公倍数的特点？【精讲精练】例 1：求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 10 和 6 3 和 12 13 和 7 18 和 45

2、6、8 和 12 30、24 和 42 例 2：(1)有一种长 16 厘米，宽12 厘米的塑料扣板，如果用这种扣板凭成一个正方形,最少需要多少块？(2)把一张长 50 厘米、宽 35 厘米的长方形载成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以载多少个？例 3：六年级一班有学生40 人，五年级二班有学生32 人，两个班的学生分组参加一项活动，要求每班每组的人数相同，并且不能有剩余的学生，每组最多有多少人？这时两个班共分成了多少组？例 4：每 6 人一组或每8人一组都没有剩余，已知该班的人数在30 至 50 之间，该班有学生多少人？2 例 5：小明、小红和小李三名同学沿环形跑道跑步，小红

3、跑完一圈需要6分钟，小明跑完一圈需要4 分钟，小李跑完一圈需要7 分钟，三人同时从a 地同向出发，几分钟后，三人又会在a 地相会？例 6：把 1，2，3，4， 5，6，7，8，9 这九个数分别填在下面的九个方框里，使以下等式成立：3634 二、同余问题同余相关性质性质（ 1） ：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32 除以 5 余数是 2，19 除以 5 余数是 4，两个余数的和是2+4=6。 “32+19”除以 5 的余数就恰好等于它们的余数和6 除以 5 的余数。也就是说， 对于除数 5， “ 32+19”与它们的余数和 “2+4”同余， 用符号表示就是

4、：322（mod 5） ，194（mod 5） ，32+192+41（mod 5）性质（ 2） ：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性质（ 3） ：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。例题 1：求 199259 除以 7 的余数。应用同余性质（ 2）可将 199259 转化为求1992 除以 7 和 59 除以 7 的余数的乘积， 使计算简化。 1992 除以 7余 4，59 除

5、以 7 余 3。根据同余性质， “43”除以 7 的余数与“ 199259”除以 7 的余数应该是相同的，通过求“43”除以 7 的余数就可知道199259 除以 7 的余数了。因为 199259435（mod 7）所以 199259 除以 7 的余数是5。练习 1：1、求 4217364 除以 6 的余数。例题 2：已知 2001 年的国庆节是星期一，求2010 年的国庆节是星期几？一星期有7 天，要求2010 年的国庆节是星期几，就要求从2001 年到 2010 年的国庆节的总天数被7 除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。2001 年国庆节到2

6、010 年国庆节之间共有2 个闰年 7 个平年，即有“3662+3657”天。因为3662 224（mod 7） ， 365717 0（mod 7） ，3662+3657 22+174+04（mod 7）答： 2010 年的国庆节是星期五。3 练习 2：1、已知 2002 年元旦是星期二。求2008 年元旦是星期几？例题 3：.用 412、133 和 257 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：412133=279=319 412257=155=315 257133=124=314 这个自然数最大是31 练习 3：一个整数除226、192、141 都得到相同的

7、余数，且余数不为0，这个整数是几？例题 4：某数用 6 除余 3，用 7 除余 5，用 8 除余 1，这个数最小是几？分析与解答：我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑用8 除余 1 的数是 9，但 9 除以 7 余数不是5，所以某数不是 9。依次类推， 17，17 除以 7 的余数也不是5；25，25 除以 7 的余数也不是5；33，33 除以 7 的余数正好是5，而且 33 除以 6 余数正好是3，所以这个数最小是33。练习 4：某数除以7 余 1，除以 5 余 1，除以 12 余 9。这个数最小是几？【作业】1、一盒糖果可以平均分给2，3，4，5 或 6 个小朋友，这盒糖果最少有（）块2、

8、两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是（） 。3、两个整数的最小公倍数是72，最大公约数是12，且小数不能整除大数，这两个数是（）和（ ） 。4、把能同时被2、 5、7 整除的三位数，按由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是（） 。5、一个数除以7 余数是 2，如果将被除数扩大9 倍，那么余数是（） 。6、已知两个自然数的和为224，它们的最大公约数是28，这两个数是（）或是（） 。7、甲数除以18 商 196 余 7，乙数除以18 商 375 余 9，甲、乙两数的和除以18，商是（）余（ ） 。8、一筐苹果分给几个人，若分给5 个人还剩3 个，分给 6

9、 个人还剩4 个，分给9 个人则有2 人各少 1 个，这筐苹果至少有（）个。9、用 96 朵红花和72 朵黄花扎成花束，如果每束红花朵数相同黄花朵数也相同，每束花最少有（）朵10、已知两个数的积是3174，它们的最大公约数是23，这两个数是（）或是（） 。11、王老师带学生去植树，学生恰好平均分成三组，如果他们共植树638 棵，且老师和学生植树棵数相同，问一共有多少名学生？每人植树多少棵？（全班人数接近60 人）12、有三个自然数a，b，c，已知 ab=36 ，b c=108，ac=48，则这三个自然数的和是多少？4 13、电子钟每9 分钟亮一次灯，整点响铃，12 点既亮灯又响铃以后，下次在几点既响铃又亮灯？14、有 36 支铅笔和40 本练习本，平均奖给若干个三好学生，结果铅笔多出一支，练习本差2 本，获奖的学生有多少人？15、某班学生自制学具，把长144