自信地学习、快乐地探究

1、自信地学习、快乐地探究对数的换底公式和倒数公式教学设计江苏省昆山玉山成人教育中心校 任勤教学内容背景材料：中等职业学校国家审订教材数学2005年6月第3版第一册第135页至137 页。教材内容分析：1、教材直接以一般形式log为例，把它转化为以c为底的对数。而旧教 材是用一个具体对数事例来说明的，与旧教材柑比新教材显得难度较大。2换底公式的应用问题教材分为两个层次。第一层次体现于例7.例9o 它集中解决利用计算器求一般对数问题；第二层次体现于例8,集中解决如何 灵活应用换底公式，找出最简便的解题方法。学生情况分析:根据了解，学生已掌握常用对数和自然对数，并能熟练利用计算器进行计 算。由于学生之

2、间的掌握情况差异较大，部分学生对指数和对数的互化、对数 的基本等式掌握不牢固，这是施教的一个不可忽略的因素。教学目标：知识与技能：较好地掌握和应用换底公式，加强基本解题技能的训练。能力与方法：在具体公式推导过程中，充分发挥学生的主体性，完善学生 的认知过程，培养学生的逻辑推理能力，以及学“活”数学，活学数学的能力。情感与态度：建立良好和谐的师生情感，激发学生学习数学的兴趣，利用 教材资源渗透从特殊到普遍的辨证思想。一、启疑教师：已知lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求呃3二（多媒体出示）i以新问题引起学生的疑问,启发学生思维教师：像bg2 3这样的对数值，是不能直接借助于计算

3、器来计算的，能否将以2 为底的对数，换成以g e或其它数为底的对数呢？这就要学习对数换底公 式。什么是对数换底公式呢？怎样由我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运 用它呢？这就是本节课要解决的问题。板书：对数的换底公式和倒数公式【通过适当的问题,突出已知知识与未知知识之间的联系,以激发学生的学习兴趣和探求 解决问题的欲望,引人新课教师：以求1昭23为例，怎样把对数的底2换成10呢？让学生带着问题思考下 列演算过程（多媒体出示思考提纲）对数形式为2 = 10代入指数形丈为两边取常用对数代入（6）整理学生有了求知的欲望后，教师及时抓住时机创设问题情境,针对换底公式推导的几个步 骤以特別例子步步引入,

4、然后要求学生自己动脑、动手,一个个去解答三.探求学生积极动脑、动手探求前面提纲的答案。在此过程中教师巡视全班，对个别学生适当指点。几分钟后，绝大多数学生都能独立地得出如下的结果： 对数形式为2 = 10” i 代入指数形式为2"二=3v-两边取常用对数10pd = 3整理v代入iog23 = lg3/lg2教师请一个学生在黑板上写出自己的解答结果。只要学生对旧知识基本掌握,老师引导得当,完全有可能由学生主动去探求新知识,独 立地解决新课题四、 集中（组织全班学生对前面的问题进行讨论，得出正确结论）学生：（学生口述，教师板书）log23lg2教师：仔细观察上式的变化，你能发现什么吗？学

5、生：等式两边对数的底数不同了，原来以2为底的对数，经换底变为以10 为底的对数。教师：能否把对数的底2再换成e成或其它呢？多媒体出示）问题一：把1。岳3换成以c为底，得到：问题二：把log23换成以3为底，得到： 问题三：把呃3换成以cq）且 * 1）为底，得到：（学生议论纷纷，课堂气氛活跃，教师巡视，适当指点）学生甲：（学生口述，教师板书）12*3log. 3 =-in 2学生乙：1 log.31log. 3=6=log3 210g3 2学生丙：iog23=*og（c> 0且 e 1）log 2学生初步熟悉对数的换底规律后，教师抓住时机步步紧扣,让学生积极主动地参与教学, 发现问题获得

6、成功体验,增强学习的自信心教师：（鼓励学生积极探求问题）如我们把呃3改为log"（乐b c> 0,1,少1）那么有没有同学能把1。&时奂成以c q 0, e 1）为底的对数呢？（多媒体出示）把1。裁（久b c> q ah 1, e 1）换成以c为底的对数。（学生积极思考、讨论、模仿，教师指点、引导并纠正学生出现的错误）学生：（请一个学生在黑板上写出结论）log. b =lo& b log/(a h c> 0，st5 1, c= 1)教师：很好。这就是对数的换底公式。在学生独立探求的基础上,教师应注意适时地把学生的结论加以概括、集屮,使全班学 生都统一

7、到正确的认识上来（多媒体出示）请同学们回答下列问题，注意找出规律。1. 1。裁=畀（a b> 0,狞1）把对数的底换成以为底的对lgd数（即对数）；2. log,二严（ b> 0,狞1）把对数的底换成以为底的对in 67数（即对数）；3. log,二聲 （ a h c> 0,1,1）把对数的底以换成为log,底的对数。（学生观察、理解、记忆，基本掌握对数换底公式）教师：通过同学们的一番讨论、推导，我们得到了对数的换底公式，那么能否 根据换底公式，把log中的底换成以b为底的对数呢？结果会是怎么样？ 学生：（学生口述，教师板书）log b = 10g/, b =j即 log b

8、xogf a = （ a tx c> 0? 狞 1,b?5 1）log/ log, a教师：（积极鼓励）这叫做对数的倒数公式，并且指出这个等式的意义。教师：请同学们阅读135页，理解、记忆公式（8 （9 （ 10 （ 11）并注意它 们之间的内在联系、规律。学生具有较强的求知欲和好胜心,这正是教师启发学生进行独立探求和创新活动的心理 基础,教学中教师应该创造条件尽量使学生有充分发表意见的“自由”,特别要珍惜鼓励学 生的点滴成功,善于把学生的智慧、积极性等及时地吸收到教学活动中来,以活跃课堂气 氛,培养学生的创新思维,发挥他们的潜力,提高教学效果五、应用教师：前面我们已经得出对数换底公式，

9、下面我们要学习如何用它去解决有关问题。首先，看一看刚才上课吋提出的问题，（多媒体再出示）已知：lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求：log23根据已知条件,要解决这个问题需要什么工具？学生（众）：对数换底公式。教师：对，如何换底？换成以几为底的对数呢？学生：用换底公式换成常用对数（学生口述，教师多媒体演示）lg3 = q4771m5852 lg2 0.3010（在熟练掌握对数换底公式的基础上，让学生阅读、理解课本135页例7,教师巡视指导）例1、（多媒体出示）课本135页例7教师：（归纳）在实际问题中，这类计算都可根据换底公式，直接利用计算器获得结果。请看：例2 （多媒体出示

10、）课本136例9（这是一类根据换底公式，利用计算器计算的问题，教师只需指点，学生阅读 书本，经过讨论即可完成）老师：下面，再看看换底公式的其它应用。例3:（多媒体出示）课本136页例81、计算 log27 3老师：怎样换底？为什么？ 学生甲：换成以10为底的对数;学生乙：换成以3为底的対数； 学生丙：可以直接用对数的倒数公式；（学生有多种回答，教师归纳最基本的儿种解法）lg3 lg3 lg3学生：（学生口述，教师多媒体演示）-（换成常用对数） lg27 lg3? 31g33 '）些丄迅=丄（换成以3为底） 10/27 log3 333 v）= -（直接用倒数公式）log3 27 log

11、, 333 '71 1log27 （27）3=1 （利用对数的基本等式）丿引导学生比较这几种不同的解法，小结利用换底公式去解决有关题冃的一般 思路和方法2 计算 logs g 二学生讨论、练习，教师归纳并予以订正。（多媒体出示）12 nv uji/ 、-3 叫2)1 詩1 z 、（换成常用对数）ig8log 丄 82（利用对数的倒数公式）豐（换成以2为底的对数）教师：通过上面例题练习，我们初步掌握了对数换底公式在解题时，既要掌握 一般的思路和方法，同时注意针对其特征，灵活采用特殊的方法，找出最简便 的解法。下面再做练习。（多媒体出示）（a®次）1 计算下列对数，（1） log

12、16 2 （2） log9l（b层次）2.求证:log,logb clog/= 1 （ a b c是正数且不等于1）（c层次）3.已知：log, = 0.2，计算：log” + log严（a b>0, a 1）（学生两极分化较严重，应采用分层次教学，高层次的学生必须做低层次题目， 低层次的学生可做高层次题目）教师讲评学生的解答从导出公式到解答例题、习题，都是在教师引导下由学生自己完成的,在这样,不仅使 学生能较好地掌握和应用换底公式,而且强化了对学生基本解题技能的训练六.总结和作业：教师：这节课，我们从具体事例出发来推导换底公式，让我们领悟到“转化” 这一个重要的数学思维方法，希望在今后

13、的学习中进一步去体会与运用。（多媒体出示）一般换底公式：log b二哑上（a b c> 0,1? el）“ log, a一般对数换成常用对数：log二器（乐b>0,狞1）lgd一般对数换成自然对数：log,二严（a b> 0, ahl）ina对数的倒数公式：log”b= 即log”b log”a = 1 （a. b> 0, ah 1, b?5 1）log" a（留几分种时间让学生系统熟悉对数换底公式，根据不同层次的学生提出不同 的要求）作业：137页（课内练习4,自编分层次练习题（具体略）（根据学生的学习现状，挤岀五分钟吋间给学生做练习，尽可能减少课外作业 时

14、间）教学设计的说明：这节课的教学设计安排了 “启疑”、“导思”、“探求”、“集中”、“应用”、“总 结和作业”六个环节。它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从 而实现教学冃的和要求，完成教学任务的一种教学方法。这种教学方法一般适 用于那些与前面知识联系紧密的教学内容，只要学生掌握好旧知识，再经过分 析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容。而且采用这种教学方法，学生学 习积极性较高。因而，教学效率高，效果好。同时，对完善学生的认知过程， 提高他们分析问题的能力都大有益处。兴趣决定态度，如果学生对所学的内容 感兴趣，那么他就会积极地探究所学内容，其学习效果就会大幅度地提高。爱 因斯坦说过