论文--高考中求最值问题方法探究

1、存档编赣南师范学院科技学院学士学位论文高考中求最值问题方法探究数学与信息科学系2015 届 数学与应用数学1120151124f *1邵鸿飞指导老师刘育星完成日期2014.12. 25目录内容摘要3关键词3英文摘要31. 弓丨言42. 国内研究现状及评价43. 提出问题44. 高中数学常见的最值问题及解题策略44.1三角函数的最值问题44.2函数的最值问题64.3数列的最值问题74.4平面向量的最值问题8锥曲线的最值问题105 结论115.1结论本文11115.2启示5.3局限性125.4今后努力方向12参考文献13致谢13内容摘要 最值问题是高中数学中的重点问题，它贯穿了高中数学各个知识点，

2、最值问题在 高考屮的地位较为突出。在高考屮各个知识可以通过最值问题为背景来进行考 查，它涉及了高中数学的主要知识和解题方法，它要求了学生要冇浑厚的数学基 本功和比较好的思维能力。本文主耍是针对在高考中常出现的求最值问题和与其 相关的题目进行分析，探讨，取得一些最值问题的解题策略，如数列屮的最值问 题，圆锥曲线的最值问题，平面向量的最值问题，三角函数的最值问题，函数的 最值问题。并且在论文屮选取了一些高考屮的题口进行求解和分析，给研究者最 直观的理解。并希架能够给予参加高考的考生备考和教学工作的老师提供指导。关键词；最值问题解题策略 理解英文摘要 most of the problem is t

3、he focus of high school mathematics problems, which runs through the high school mathematics each knowledge point, most of the problem in the college entrance exami nation in a more promine nt positi on. in the college entrance exami nation in all kno wledge can be obtained through the most value pr

4、oblem as the background to examine, it involves the main knowledge and methods of solving problems in senior high school mathematics, it requires the students to have the basic skills of mathematics simple and honest and good thinking ability. this paperis mainly aimed at often appear in the college

5、 entranee examination in the most value problem and related topics for analysis, discussion,made some of the most value problem solving strategies, such as the most value problem in the sequenee, the most value problem of conic curve, the most value problem of plane vector, the most value problem of

6、 trigonometric function, the value of the problem offunction .and in the paper a selecti on of some of the college en trance exami nation in the title of the solution and analysis, the most intuitiveresearchers understand. and i hope can give students participate in college entrance examination prep

7、aration and teaching teachers to provide guida nee1 引言最值问题是学生们在考试和练习屮最为常见的一种数学问题，也是历年各省 市高考重点考察的对彖之一，在高考中的地位也比较突出。最值问题分布在各个 知识点，具有比较强的技巧性和灵敏性，可以很好的考查学生的思维深刻性和敏 捷性。它与高中数学的各个反正分支都有着广泛的联系，其中以实际问题关系较 为突出，比如，求最大利润，最短时间，最小面积，等等。在这几年的数学高考题中，求最值问题是考试的一个重点，占了数学高考分 数的5%23%,从题目类型上，主要以选择题，填空题，简答题三种形式出现。 在难易程度上，

8、基木有基础题，屮档题，高档题这三种题型。最值问题在考查基 础知识的时候也加强了能力的考查，高考也将注重考查学生对课程内容达到怎样 的程度。因此，求最值问题将是高考中的一个难点，学生不仅耍掌握好各个分支 的知识点述要善于发现题目信息，要冇比较强的思维能力，还要会运用各种数学 技能，灵活的选择合适的解题方法，才能达到事半功倍之效，本文将对高中数学 屮三角函数，圆锥曲线，数列，平面向量，导数，函数等最值问题，进行探讨， 并给出求数学最值问题的解题策略，并为学生的备考和老师的教学提供相应的指 导。2. 国内研究现状及评价国内虽然对求最值问题的求解，己经有了一定量的研究，特别是最值问题常 用的求解方法的

9、归纳比较全面系统。但在这几年的数学高考屮，主要是考查的学 生的学以致用能力，只用常规的求解方法，很难解决数学高考中的求最值问题。 高考中很多求最值的问题，都是耍结合相关知识点的概念，概念、定理、性质等, 才可解决。现在可以查阅的参考文献屮大部分都只讨论了求最值问题的常规求解 方法，以及归纳了个别特殊的最值问题的统一解决方法，并没有深刻的探讨高考 屮数学求最值问题的解题策略。3. 提出问题在高考过程中，题目数量多、难度大、时间少，要想在高考中取得胜利，一定要 做到解题方法的“精”、“练”、“巧但大多数资料并没冇从参加高考的学生 的角度去研究，高考数学中求最值问题的解法。求最值问题的解题方法，还不

10、够 完善，参加高考的学生对求最值问题的解决方法还存在一些闲难，所以，木文将 通过查阅大量相关的资料，站在参加高考考生角度上，对高中数学中的常见的求 最值问题的方法进行整理归纳总结，并进一步的完善求最值问题的解题策略，对 参加高考的学生的备考和老师的教学工作，捉供相应的指导。4. 高中数学常见的最值问题及解题方法4.1三角函数的最值问题在数学高考试卷中，求有关三角函数的最值问题出现的比较频繁，儿乎毎年数学 高考试卷屮都会出现，占据高考分数的3%8%。三角函数的最值问题，主要考 查考生对于三角函数的基础知识的综合运用。难度人，人部分考生对此类题廿毫 无办法。其实此类题口看上去非常的复杂，用常规的最

11、值问题解题策略很难求解, 但是要解决它其实并不难，只耍充分的理解三角函数的概念，概念及性质牢记英 公式，能够灵活的运用余弦定理、正弦定理以及与其相关的三角公式，进行合适 的变形化解，在根据三角函数的概念、定理、性质逐步击破，就可以解决此类问题。所以在解决有关三角函数的最值问题时，主要在于考生在三角函数的性质定 理的深刻理解以及各个三角公式的灵活运用。例1(2013,江酋，理，11).函数y = sin2x + 2sin2«x的最小止周期为t 为。解析；y=sin2x+273 sin2 x=si n2x+巧-vcos2x=2s in (2x)+v33其最小正周期为t二兰二n2评论；本题

12、考查了三角函数的恒等变换，以及基础知识点最小正周期的求法，本 题较为简单，主要是要止确的运用辅助角公式进行恒等变换例 2 (2014,江西，理，17)已知函数 f (x)二sin (x+9 ) +acos (x+2 8),其 中 aer, e e( - 2l, 2l)2 2(1)当a二迈，*二£时，求f (x)在区间0, n上的最大值与最小值；_4f (x)二sin (x+ 0 )+acos (x+2 0 )解析；当a=v2, 0二£吋+s(x+-)_4二sin (x+)4=sinx+並cosx - v2sinx 1 1 v2 .丄vi=-sinx+-l=cosx2_ 2_

13、=sin ( - x) = - sin (x -). 43兀 vvxe0, n,.x-2le-2l441,.sin (x-匹)e - 2,42_- sin (x - ) g - 1,4故f (x)在区间0,兀上的最小值为-1,最大值为爭.评论；本题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的的定义域和值域，两角和 与差的余弦函数。木题难度较大，主要由已知条件利用两角和差的余弦公式，正 弦公式化简函数的解析式为;f(x)7n(疔再由词0“,利用正弦函数的定 义域和值域求得函数的最值4. 2函数的最值问题在高考试卷屮，求冇关函数的最值问题出现的非常多，几乎每年各省市的数学高 考试卷中都会岀现，而且难度一

14、般较大，大多数高考试卷都是以函数的最值问题 作为压轴题。这类题口考查的知识点非常广泛，大多数考查函数的概念，函数的 奇偶性，分段函数，函数的定义域，值域等多方面的知识，并且着重考查考生的 解题能力，运算能力，逻辑思维能力。函数最值问题看上去非常的复杂，其实只 耍掌握好各类函数的基础知识和“配方法”，“单调性”，“导数法”，“均值不等式”, “判别法”，“有界性”，以及函数的图像这儿种方法，函数的最值问题就不难了例3 (2012,海南宁夏，文，21)设函数fg= qjx2(i) 求代力的单调区间(ii) 若沪1, &为整数,且当x>0时,(x&) f )+x+l>0,

15、求斤的最大值解析；(1) f (x)的定义域是(-8, 4-oo), f' (x) =ea -a当a<0时则f (x) >0.f (x)在(-°°, +°°)上单调递增当 a>0 时，则当 xg (-°°, ina)时，f (x) <0,当 xw (-ina, +°°)时，f (x) >0,af (x)在(-°°, ina)上单调递减，在(ina, +°°)上单调递增。(2) /a= 1,(x-k) f (x) +x+l= (x-k) (

16、cx-l) +x+l当 x>0 时,(xk) f (x) +x+l>0 等于k<jj_+x (x>0)ex -1使 g (x)二半1丄+x,贝ij g' (x) =e %7 -e -1(e -1)曲(1) 口j知，函数h (x) =e r-x-2在(0, +-0上单调递増，而且 h (1) <0 , h (2) >0ah (x)在(0, +s)上存在唯一零点。ag' (x)在(0, +8)上存在唯一的零点，设这个零点为a那么 ae (1,2)当 xw (0, a)时 g (x) <0,当 xw (0, a), g' (x) &l

17、t;0,当 xw (a, +8)时,g' (x) >0,/.g (x)在(0, +°°)上的最小值为g (a)g' (a) =0 可得 e" =a+2ag (a) =a+le (2,3)等于k<g (a)ak的最大值为2评论；木题考查了函数的单调性，导数的性质，不等式，根的存在性等多方面知识。木题难度较大，综合性较强，先是利用不等式的性质得到k< ex然后构造函数g (x),再求导得到g (x)存在的唯一的零点，再利用导数的性 质得到k的最大值。43数列的最值问题有关数列的求最值问题也是数学高考的一种题型，出现也比较普遍，曾经在2

18、008 年的江西考卷，宁夏海南考卷和2009年安徽考卷四川考卷出现。此类问题大多 数已选择题和解答题这两种题型出现，出现在选择题的题目难度不人，但出现在 解答题的题口的难度却非常大，对此类问题的解题能力耍求很高，不仅要求考生 对数列的基础知识非常熟悉，述需要要求考生冇比较强的分析能力、思维能力、 解决问题能力和计算能力。针对此类问题，考生必须要熟记并且能够准确灵活的 运用等比数列和等差数列的各个公式。例4 (2010,海南宁夏，文，17)设等差数列色满足a3=5,如=-9。(i )求色的通项公式;(ii )求的前斤项和s“及使得s”最大的序号n的值解析；(1) |±| a+(n- l

19、)d,°3 = 5,a() = 一9 可得m'd+2d = 5, a( +9d =一9a a, = 9, d=2数列a j的通项公式为a”二112n(2)由(1)可知 smf +"s + l)d = l(k"® 2sm= (n-5) 2+25i当n二5时,sm最大评论；木题考查了等差数列的概念，通项公式及前n项和的表达式。本题较为简单,主要是利用前n项和公式得到sm=- (n-5) 2+25,即得出n=5, sm最大例5 (2011,江苏，13)设<ax<a2<-<a 中即為宀成公比为q的等比数列，卫6成公差为1的等差数列

20、，则q的最小值是解析；'：l=a, <a2<a3<< a7a2 a4 %是公差为1的等差数列a6= a2 + 2 > 3的最小值是3j的最小值是3此吋二1而且aptz3,6t5,6/7是公比为q的等比数列，一定有q0 qlj cin3q3 > 3,(7 > v3评论;木题主要考查了等差数列和等比数列的概念以及公式，木题难度较大, 先是利用等差数列的通项公式将j用5表示出来，求出了的最小值再进一步 的求出了 j的最小值，最后利用等比数列的通项公式求出了公比的范围，从而 求出公比的最小值4. 4平面向量的最值问题在考查有关平面向量的求最值问题屮，一

21、般是结合了三角函数进行考查，此类问 题一般以选择题、填空题、解答题出现。考生必须深刻的理解关于平面向量的概 念、性质以及向量积与数量积的儿何意义，要会灵活的运用向量的各种性质，还 要有比较强的论证和运算能力，就可以解决问题。对于平面向量的最值问题，考 生首先应该根据题目中的已知条件，充分的利用向量的性质灵活的变形，在利用 向量积或数量积便可求解。例 6 (2009,江苏，15)设向量 a二(4cosa,sina ), b= (sinp , 4cos0 ) c二(cos0 ,-4sin )3 )(1) 若a与b-2c乖直，求tan (a + 0)的值；(2) 求|b+c|的最大值;解析；由 a

22、与 bc 垂直，a (b2c) =ab-2ac=0即 4sin ( a + 0 ) -8cos ( a + 0 )二0tan ( q + 0 ) =2b+c二(sin0 + cos0;4cos0-4sin0 )i b+c | $ 二sin 20 + 2sin0 cos0 + cos2 0 + 16cos2 0- 32cos0 sin0 + 16sin2 p=17-30sin /?cos /3 = 17-15sin 2/3最大值为32,所以i b+c |的最大值为4血评论;本题考查了向量的基础知识以及向量的内积公式，三角函数的相关公式。本题难度不大，先是由向量的内积公式得到tan (q + 0)

23、 =2,再由内积公式得 到丨b+c|的最大值 例7 (2009,安徽，理，14)给泄两个长度为1的平面向量刃和亦，它们的夹和为120".如图所示，点c在以0为圆心的圆弧矩上变动若解析；在加唱+喘的两边分别作向量积得到ocxoa + yob,其中兀,y w心则兀+ y的最大值是二1 t tx + y =2 ob oc由+可得90c=2dc90c = 2c0st tob%octob- x+y的最大值是2评论；本题主要考查平面向量屮的向量积和数量积的儿何意义，而且灵活多变。 但本题难度不大，先是将向量的两边同时作向量积，再将两式和加，最终得出 x+y的最大值4.5锥曲线的最值问题有关圆锥曲

24、线的求最值问题是一类难度比较大的题型，在高考一般作为压轴题出 现，学生对于这种问题经常丢分，而这种问题的分值一般比较高，大概占据了高 考数学总分的10%左右，它涉及的范围非常广泛，人多是以解答题的形式出现， 它考查考牛对椭鬪，抛物线儿何性质的理解，对直线与抛物线，直线与椭岡的位 置关系等一些基础知识点的掌握程度，它考查了考生解析儿何基本的思想方法以 及综合解题能力。针对这种题目，考生一定要先充分的理解圆锥曲线的概念，定 理，性质，再结合题中的已知条件，综合运用相关的知识进行求解例8 (2009,四川，理,9)已知直线zi:4x-3y + 6 = 0和直线/2:x = -l,抛物 线=4x上一动

25、点p到直线/,和直线12的距离之和的最小值是1137a. 2b.3c. d.516解析：直线l2:x = -l是抛物线y2 =4x的准线，由抛物线的定义可知，点p到直 线j的距离等于点p到抛物线的焦点f (1,0)的距离，所以本题化为在抛物线 y2 = 4x上找一个点p使得p到点f (1,0)与直线厶的距离之和最小，最小值为14-0+61f(l,0)到厶：4兀-3y + 6 = 0的距离,即rfinin = 2 ,所以选择a5评论；木题考查了抛物线的概念与点到直线的距离的知识点。木题难度不大，只 要由抛物线的眾义求到p到f的距离，找到点p，再由知道f到的距离的厶就是 所求的最小值，由点到直线的

26、距离公式计算 例9 (2013,广东，理，20)已知抛物线c的顶点是原点，其焦点尸(0, c) (c>0）到直线厶尸广2二o的距离是设戶是直线厶上的点，过点戶做抛物线 2c的两条切线以和必，其中力，为切点.（1）求抛物线c的方程；（2）当户在直线厶上移动时，求|力川丨刃1的最小值.解析；（1）由题意可知匕m = wc（），c = l.v2 2抛物线c的焦点坐标为（0,1）,抛物线的解析式为a4y（2）点a到焦点f的距离等于点a到准线产-1的距离，|亦二互+ 1,丨胪|二挂+ 1 44|的.| 明=（£ + 1）（寻 + 1）=（普尸+出子1 + 1 =（兀。-2）2+对2兀。+

27、4 + 13 a=2兀一6x（）+ 9 = 2（兀（） hqq当x0=-吋,af-bf取最小值评论；木题考查了抛物线的概念，性质与点到直线的距离的公式以及直线上的点 到抛物线上切点的算法。本题难度较人，先是利用点到直线的距离公式求出焦点 f的坐标，从而得到抛物线的解析式。根据抛物线的性质得到两切点a,b到焦点 f的距离，最后由直线上的点到抛物线上的切点的算法求出了 |af|bf|的最小值5. 结论5. 1结论本文本文对进几年高考数学最值问题的解题策略进行了深入的研究，给出了高考 数学中求最值问题的具体解题策略和解题过程，探讨了高考数学中出现频率较高 的三角函数的最值问题，平面向量的最值问题，圆

28、锥曲线的最值问题和数列的最 值问题以及一些函数的最值问题。从解题方法上讲，最值问题涉及到的知识面非 常广，技巧性强，难度人，解题方法灵活多变，人多数考生很难把握，使用一般 的最借求解方法很难求解，要根据其木身所具有的特点和相关知识的概念，定理, 性质才可以进行解答。从能力上來讲，耍求考生耍有较强的分析能力，观察能力, 解决问题的能力和计算能力。本文的研究有利于学生更加的了解高考数学屮求最 值问题的解题策略，使参加高考的学生在复习备考过程小对准重难点。为考生的 备考和老师的教学工作提供相应的指导。5. 2启示通过对这几年高考数学中与求最借问题相关的试题分析，在求最值问题的专 题复习过程中，应当重视与相关知识的基本概念，基本定理，基本方法，基本性 质的复习和基木能力的提升，尤其是分析能力，运算能力和观察能力的培训和训 练。5.3局限性本文研究了这儿年高考数学屮所需要相关知识的概