专题二：动力学临界极值问题

1、专题二：动力学中的临界极值问题1. 当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件.用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的 关键.2. 临界或极值条件的标志 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程 存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存 在着极值

2、，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3. 动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时， 常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft= 0.(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.例 1 如图所示，质量为mi= 1

3、kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为M= 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为1 = 0.2，地面光滑，现对斜面体施水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力20.6，cos 37 °= 0.8，g= 10 m/s )F的取值范围.(sin【例2】如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为6 kg，m>= 2 kg，A B之间的动摩擦因数 i二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则()A.当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，

4、开始相对运动ABC两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动质疑与反思:(1) 、若 m=2Kg, mB=6Kg,贝U:(2) 、若F作用于B物体，则:【变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为Ft.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是口2mA.质量为2m的木块受到四个力的作用B.当F逐渐增大到Ft时，轻绳刚好被拉断C当F逐渐增大到1.5Ft时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为Ft【变式训练2

5、如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A物体质量为2m B和C物体的质量均为m滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码在保持能达到的最大拉力是(A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下,)1A. . 2 mgB.卩 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg【变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为 m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同时施加两个力，其中F 2 N、F2= (4 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(恥 爪7777777777777777777777777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD.

6、 2.5 s【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m= 4 kg的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m,系统处于静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力 F,使它从 静止开始沿斜面向上做匀加速运动， 已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin 37°= 0.6 ,g= 10 m/s2)专题二：动力学中的临界极值问题1.当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的 状态叫做临界状态；在临

7、界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分 析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的 关键.2 临界或极值条件的标志有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界占；八、)(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在 着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极 值，这个极值点往往是临界点； 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3动力学中的典型临界条件(

8、1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时， 常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft= 0.(4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.【例1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为Mk 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为卩=0.2，地面光滑，现

9、对斜面体施一水平推力F,要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围.(sin 37°= 0.6 , cos 37°= 0.8 ,2g= 10 m/s )审题指导 此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性, 此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力 F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能 性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下找准临界状态是求解此题的关键.解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为Fi,此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为x轴正方向.Fti对物块，£1水平方向有 FNsin 0 Fncos 0 = ma竖直

10、方向有 Fncos 0 + uF©n 0 mc= 0对M m整体有Fi= ( M+ n) ai代入数值得：ai = 4.8 m/s 2, Fi= 14.4 N(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为 水平方向有FN sin 0 + cos 0 = ma竖直方向有 FN cos 0 uFn' sin 0 mc= 0对整体有F2= (M+ m)a2代入数值得 a2= 11.2 m/s 2, F2= 33.6 N综上所述可知推力F的取值范围为：14.4 N < FW 33.6 N答案 14.4 N < F< 33.6 N【例2 如图所示，物体A叠放在物

11、体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为ha= 6 kg,2 kg，A B之间的动摩擦因数 卩二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则()12 N时，开始相对运动A7777777777777777777777777A. 当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B两物体开始没有相对运动，当拉力超过C两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动答案 D解析 当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时， A、B才会发生相对 运动.此时对B有：Ffmax = ymAg= 12 N,而Ffmax= mBa，a = 6 m/s，即二者开始相对

12、运动时的加速度为6 m/s2,此时对A、B整体：F= ( mA+ m)a=48 N，即F>48 N时，A、B才 会开始相对运动，故选项 A B C错误，D正确.质疑与反思：(1)、若 m=2Kg, mB=6Kg,贝U:、若F作用于B物体，则:【变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为Ft.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动,则以下说法正确的是笛()r2m3mr*A.质量为2m的木块受到四个力的作用B. 当F逐渐增大到Ft时，轻绳刚好被拉断C当F逐渐增大到1

13、.5Ft时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为Ft 答案 C解析 质量为2m的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块 m的压力和摩擦力 五个力作用，选项A错误；当轻绳达到最大拉力 Ft时，对m和2m整体，Ft= 3mq再对 三个木块整体，F= (m 2m+ 3m)a，得到F= 2Ft,选项B错误，C正确；对木块 m由1Ff = ma得到Ff = §Ft，选项D错误.【变式训练2：如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力),A物体质量为2m, B和C物体的质量均为m滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝

14、码在保持能达到的最大拉力是(A、B、C三个物体相对静止共同向左运动的情况下,)B.卩 mg1A.尹 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg答案 B解析 因桌面光滑，当A、B、C三者共同的加速度最大时，Fbc= ma才能最大.这时，A、B间的相互作用力Fab应是最大静摩擦力2卩mg对BC整体来讲：Fab= 2卩mg= (rb+ me) a=2ma a=g,所以Fbc= ma=卩mg选项B正确.mi【变式训练3】光滑水平面上并排放置质量分别为 m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同时施加两个力，其中只=2 N、F2= (4 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(777

15、717777777777777777777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD. 2.5 s答案 D解析 两物块未分离时，设 m与m之间的作用力为F,对m： F Fi= ma；对m： F2 F=ma.两个物块分离时，F= 0,即有：一 Fp ma, F2 = ma.代入数据得t = 2.5 s，选项D正确.【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m= 4 kg的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg,弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力 F,使它从静止开始沿斜 面向上做匀加速运动，已知在前 0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力 F的最大值与最小值.(sin 37 °= 0.6 , g= 10 m/s 2)解析 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上