专题：一类动点轨迹问题的探求

1、专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于PA PB =2a，我们可以进一步研究:PAPA-PB =2a,PA|_PB =2a,2a，各自的轨迹方程如何?PB1引例：已知点M(x, y)与两定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为-，那么点M的坐标应满足什2么关系？(必修2P103探究拓展探究 已知动点M与两定点A、B的距离之比为'C 0)，那么点M的轨迹是什么?背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥 曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之

2、一类题1 :(1994,全国卷)已知直角坐标平面上点Q(2 , 0)和圆 C:x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数A(入0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力解：如图，设 MN切圆于N，则动点M组成的集合是P= M |MN |= A|MQ |，式中常数 入0.因为圆的半径 |ON|=1 ,所以 |MN |2=|MO|2|ON|2=|MO|2 1.设点 M 的坐标为(x, y), U Jx2 + y2 -1 =九 J(x - 2 f + y2整理得(入2 1)(x2+y2) 4 #x+(1+

3、4 於)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.一一8分当入 =1时，方程化为x=-，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（？ , 0）,44当入工1时，方程化为（x22 2 22)+y = -11 3' 2 2-它表示圆,该圆圆心的坐标为0），半径为12分类题2 : （ 2008，江苏）满足条件AB = 2 , AC = #2bC的MBC的面积的最大值是 类题3 : （2002，全国）已知点P到两定点M（T,0）、N（1,0）距离的比为2 , 点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程| PM | 厂解：设P的坐标为（x, y），由题意有2

4、，即| PN |.（x 1）2 y2 = 2 . （x -1）2 y2，整理得 x2 y2 -6x 1 = 0因为点N到PM的距离为1 , | MN尸2所以. 3-<3PMN =30，直线PM的斜率为，直线PM的方程为y（x 1）33f 3222(x 1)代入 x y -6x 1 二 0整理得 x -4x 1=0解得x = 23 , x = 2 一 3则点 P 坐标为（23,13）或（2 -、3一13）（2 ： = 3, 1 - 3）或（2 - 3,1 - -、3），直线 PN 的方程为 y = x-1 或 y- -x 1.类题4 : （2006，四川）已知两定点 A（-2,0）, B（

5、1,0）, 如果动点P满足条件PA =2 PB ,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 、亠一MP|厂类题5 : （2011 ,浙江）P,Q是两个定点，点M为平面内的动点，且=人（几：0且几#1）,mq|点M的轨迹围成的平面区域的面积为S ,设S二f（'），试判断函数的单调性.引例：（2011 ,北京）曲线 C是平面内与两个定点 斤（-1,0）和F2（1,0）的距离的积等于常2数a （a 1）的点的轨迹给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称；1 2 若点P在曲线C上，则 F1PF2的面积不大于a2其中正确命题的序号为 冃景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的

6、距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval ）,乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多 世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土1675年他在研究土星及其星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是 卫星的运行规律时发现的。探究：设两定点为Fi,F2，且卩店2 =2，动点P满足|PFPF? =a2(a工0且为定值),取直线卩店2作为x轴，RF2的垂直平

7、分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x, y)，贝U(x1厂y2、. (x1)2y2 =a2整理得：(x2 y2)2 -2(x2 -y2) =a2 -1解得：y2 = (-x2 -1) . 4x2 a2 (1 - a _ x2 _ 1 a )于是曲线C的方程可化为y2 = ( -x2 -1 . 4x2 a2 (1 - a _ x2 _ 1 a )对于常数a -0,可讨论如下六种情况：(1 )当a=0时，图像变为两个点 Fd-1,0), F2(1,0)；(2 )当0 ：a ”：1时，图像分为两支封闭曲线，随着a的减小而分别向点 £, F2收缩；(3 )当a=1时，图像成8字形自相交叉，

8、称为双纽线；(4)当1 ：a ”：、2时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；(5 )当a=、2时，与前种情况一样，但曲线中部变平；(6 )当a ''2时，曲线中部凸起。图I -】77北京高考题的背景即为本研究的4 6里研究的结论;学有余力的同学可作进一步思考:思考1 :若将“两定点”之一变为“定直线”思考2 :若将“两定点”之一变为“定直线”思考3 :到定点的距离与到定直线的距离的，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么?，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么?k倍之和为定值的定点轨迹是什么？思考4 :到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是

9、什么?思考5 :到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1. （2009湖南）在平面直角坐标系 xOy中，点P到点F（3,0 ）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和-（I）求点P的轨迹C;（H）设过点F的直线I与轨迹C相交于M , N两点，求线段 MN长度的最大值。/ 2 2解（I）设点 P 的坐标为（x, y），则 d =4（x -3） -y +3| x-2 |别为 kAF = -2,6 ,当点p在G上时,由知 PF当点P在C2上时,由知 PF=3

10、 x若直线I的斜率k存在，则直线I的方程为目二k（x -3）(i)当 kw kAF ,或 k >kBF，即k W-2-.6时，直线I与轨迹C的两个交点M（ Xi，yi），N（ x2，y2）都在Ci上，此时由知1IMF I= 6 -x12从而 I MN 匸 IMF 1+ INF 1=1INF I= 6 -x22/ 1 (6 - 冷)+21 (6 - -x21)=12 -(2Xi+ X2)y 二 k(x -3)2222由 x2 y2 得(3 4k )x -24k x 36k -108=0则为,如是这个方程的两根,136 27所以 x1+ x = 24k 2 * IMN 1=12 -23+4k

11、(Xi + x2) =12 -12k23 4k2MN =12 12k23 4k2=121210011当且仅当k=26时，等号成立。(2)当kAE: k : kAN, -2'、6 : k : 2 6时，直线L与轨迹C的两个交点皿任1), N(X2,y2)分别在G,C2上，不妨设点 M在G上，点C2上，则知,1MF =6为，NF =3 + x221 1MF=6X1 c6 _x° =EFNF=3/ £3 + 2 =AF设直线AF与椭圆G的另一交点为E(Xo,y。),则Xo ：X1,X2 <2.2 2所以MN = MF + NF £ EF + AF = AE

12、。而点A，E都在G上，且kAE =-2.6,有(1)知笹普,所以皿若直线L的斜率不存在，则 X1= X2=3，此时MN综上所述，线段 MN长度的最大值为100112.( 2011,湖南文科高考试题)已知平面内一动点距离的差等于1.(I)求动点P的轨迹C的方程;100111100=12(捲 x2) = 9 ：211P到点F (1,0)的距离与点P到y轴的(n)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线1(2,设h与轨迹C相交于点A,B , J与因为当k乞2、6,或k _2、6时,k2 _24,轨迹C相交于点D, E，求AD, EB的最小值.21 .解析：(I)设动点P的坐标为(x, y),由题意为.(

13、x-1)2 y2 -|x| = 1.化简得 y2 =2x 2|x|,当 x _0时，y2 =4x;当x : 0时,y=0.、2所以动点P的轨迹C的方程为，y =4x(x_0)和y=0(x：0).(II)由题意知，直线 h的斜率存在且不为 0，设为k，则h的方程为y二k(x-1).1 y = k (x - 12 222由'2，得 k x -(2k4)x k -0.y 4x设A(X!,力)，B( x, y2),则为,X2是上述方程的两个实根，于是4x*ix? =2 2 , Xi X2 =1.k1因为li _ 12，所以12的斜率为-一 k2设 D(X33),B(X4, y4),则同理可得 X3 *4=2 4k