《复变函数与积分变换》教学的研究

1、    复变函数与积分变换教学的研究    冯丽萍【摘 要】复变函数与积分变换是工程数学的一门基础课程，本文针对该课程课时少而内容多的特点，对这门课程的教学提出几点个人看法。【关键词】复变函数；积分变换；教学复变函数与积分变换课程是大学本科理工科类专业的一门基础课。复变函数论主要是在研究流体力学、电力学、空气动力学、热力学以及理论物理学中发展起来的，为解决这些学科的一些实际问题起了相当大的作用。复变函数与积分变换理论和数学的其他分支也有密切联系。复变函数是高等数学的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有着重要的应用；积分变换中的傅立叶变换在微分方程、

2、积分方程、概率与数理统计论、泛函分析学以及数论等学科中都是重要的工具。即使是最简单的函数，比如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数等，也只有在复变函数中才能体现其本质。另外，作为一种特别有用的工具，复变函数当中的留数理论可以用来解决很多高等数学中难以解决的问题。因此，复变函数与积分变换以它的完美的理论与精湛的技巧成为大学数学的一个重要组成部分。虽然复变函数与积分变换这门课程有着重要的作用，不过大部分高校对此课程设置的课时都比较少，基本上都是三十二学时或者四十八学时，相对于高等数学来说，这些课时是非常有限的。在有限的时间内，如何能让学生充分利用每周的少量课时，理解和掌握这门课程的精髓，并为以

3、后的各门专业课打下坚实的基础，这一点对于每一位授课老师以及学生来说都是极其重要的。以下根据我任教十几年来对该门课程的理解，简单谈谈我对复变函数与积分变换教学的几点看法。1 总结同一概念和性质在复变函数和高等数学中的相似与不同，加强理解和记忆复变函数与积分变换这门课程的内容主要有两部分，前半部分是复变函数，后半部分是积分变换。其中复变函数以理论为主，积分变换以应用为主。复变函数是以高等数学为基础，同时也是高等数学中实数域向复数域的扩展，因此复变函数中的大部分概念都是和高等数学的概念类似，性质也基本上都是相同的。其中第一章复变函数的概念中，区域的概念，复变函数的概念，复变函数的极限的概念，复变函数

4、的连续性以及闭区间上连续函数的性质等和实数域中相似；第三章复变函数的积分中，积分的概念和实数域的定积分，重积分的概念一致，都是通过对所求变量按照“分割，近似替代，求和，取极限”这四个过程来定义的；第四章级数中，复变函数的幂级数，泰勒级数也与高等数学中函数的级数，泰勒级数的概念一致。在讲授这些内容的时候，任课老师可以先和同学们一起简单的回忆高等数学中的概念和性质，与复变函数结论有区别的地方可以重点说明，接着讲解新内容，相似点可以直接类比，对于不同的地方需要重点强调，而且可以启发学生去思考不同之处的根源。复变函数中的正弦函数和余弦函数是无界函数，指数函数是周期函数，对数函数是多值函数等，这些内容如

5、果任课教师在讲台上只是一味的照本宣科，学生会觉得这是内容的重复，听起课来肯定兴趣不高；如果老师能充分调动学生的积极性，让他们自己去带着问题思考，带着问题听课，让他们自己找到相似点和区别，不仅师生之间可以有良好的互动性，学生也会对自己总结的这些知识加深印象。2 把握侧重点，强调课程的特色复变函数与积分变换这门课的课时一般不多，但是它包含的内容却很多，因此要想在比较少的时间内将所有的内容都详细的介绍，那肯定是不可能的。授课老师在上课之前应该掌握该课程的侧重点，合理的安排好每个章节的授课时间。在第一章复变函数中，复数的辐角和复数的模，复数的三角表示和几何表示以及复数的运算是以后各章内容的基础，这部分

6、内容只有讲透，学生才能在以后的学习中有个扎实的基础。复数域中的无穷远点是唯一的一个点，很多课时少的学校将这部分内容作为选讲内容，但我个人认为这是个基础知识，无穷远点可以在很多时候简化计算量，是个很有用的工具，而且在积分变换的内容中也会涉及到这方面的知识，这个知识点需要强调一下；第二章解析函数中，解析函数以及解析函数的充要条件是重点，也是研究复变函数在孤立奇点处留数的前提；第三章复变函数的积分，这部分内容可以简单介绍原理，为以后介绍洛朗级数和留数做前提；至于用柯西积分公式，柯西古萨定理和高阶导数公式去计算封闭曲线的积分可以简单让学生理解；第四章级数，洛朗级数是重点，任课老师要让学生理解洛朗级数和

7、泰勒级数的联系和区别，并学会如何将同一复变函数在不同点，不同的圆环域内，展开成洛朗级数；第五章留数是个新的概念，也是复变函数的核心，对学生来说是个全新的知识，任课老师在讲授这部分内容时可以适当放慢速度，利用解析函数和洛朗级数的相关理论让学生理解核心概念-留数的定义，掌握利用留数和洛朗级数去解决积分问题的方法。留数是复变函数理论当中一个重要知识点，留数理论也可以用来解决一些高等数学中很难求解的积分问题。这样学生可以感受到复变函数除了是实数域中理论的拓展，还可以反过来解决实数域中的很多难题。3 积分变换是一个工具，侧重于应用积分变换中主要有两个积分变换-傅立叶变换和拉普拉斯变换。这两个变换是相互联

8、系又有区别。傅立叶变换是由周期函数的傅立叶级数推广得到的，拉普拉斯变换是在傅立叶变换的基础上优化得来的，这一部分的概念可以简单讲解。积分变换部分关键是要让学生学会利用这两个工具解决一些实际问题，比如在现代信号处理的应用等等；也可以增加一些时尚的和生活实际的应用问题，提高学生的学习兴趣。当然这也对授课老师提出了较高的要求，要求教师能够对积分变换的可能的应用领域以及在其他实际中的用途等多方面的知识都有了解，以方便在教学中随时可以调动学生的学习积极性。4 结合多媒体，缩短板书时间；缩短上课的周期，提高效率复变函数中有部分概念需要很强的空间想象能力，例如基本初等函数的实部与虚部、复数的模与辐角、复球面

9、的概念，函数在孤立奇点处的留数等；积分变换部分，工程上经常出现的单位脉冲函数，这些对于刚刚接触到这门课程的学生来说，都是是非常抽象的。如果可以通过多媒体软件展示这些概念，就会直观的多，学生也容易理解。对工科的大部分学生来说，复变函数与积分变换只是一个解决问题的工具，很多结论没有必要要求学生去掌握具体原因，只需要学会并熟练运用结论就可以了。比如第三章的柯西-古萨定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式等这些结论，学生只要能会运用就可以了。但是这几个结论相对来说都很长，如果授课老师板书到黑板上需要浪费很多时间，如果只是照着课本念一下，学生又没有什么印象。利用电子ppt，在每次需要用的时候可以直接拿出来，而且可以针对每个结论，对应的举例说明，那样就可以节省不少的时间。最后对于小学时的课程，希望能够缩短上课的周期，变成前半学期或者后半学期教学。这一点部分高校已经开始实行，一周一次的课程教学效果远远有一周两三次的效果好。当然授课老师在课堂上为了增加学生的学习兴趣，可以适当渗透一些现代的数学思想，为学生进一步学习现代数学知识提供一些接口；联系其他相关课程的知识和工程实际应用，以加强学生的综合应用能力。比如利用留数计算积分是复变函数理论中一个重要知识点，课堂上除了详细介绍这些之外也可以介绍一下留数计算的物理应用，如在数字滤波器性能分析和形状设