1994考研数二真题及解析

1、born to win1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 ,每小题 3 分, 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上.) (1) 若2sin21,0,( ),0axxexf xxax在(,)上连续 ,则a . (2) 设函数( )yy x由参数方程32ln(1),xttytt所确定 , 则22d ydx . (3) cos30( )xdf t dtdx . (4) 23xx e dx . (5) 微分方程2(4 )0ydxxx dy的通解为. 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题3 分, 满分 15 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项

2、符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设220ln(1)()lim2xxaxbxx, 则 ( ) (a) 51,2ab (b) 0,2ab(c) 50,2ab (d) 1,2ab(2) 设322,1( )3,1xxf xxx, 则( )f x在点1x处的 ( ) (a) 左、右导数都存在 (b) 左导数存在 , 但右导数不存在(c) 左导数不存在 , 但右导数存在 (d) 左、右导数都不存在(3) 设( )yfx是满足微分方程sin0 xyye的解 , 且0()0fx, 则( )f x在 ( ) (a) 0 x的某个领域内单调增加 (b) 0 x的某个领域内单调减少(c

3、) 0 x处取得极小值 (d) 0 x处取得极大值(4) 曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有 ( ) (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条born to win(5) 设43422222sincos,(sincos)1xmxdx nxx dxx,23422(sincos)pxxx dx,则有 ( ) (a) npm (b) mpn(c) nmp (d) pmn三、 ( 本题共 5 小题 , 每小题 5 分, 满分 25 分.) (1) 设()yf xy, 其中f具有二阶导数 , 且其一阶导数不等于1, 求22d ydx. (2) 计算31420(1)

4、xxdx. (3) 计算2lim tan ()4nnn. (4) 计算sin22sindxxx. (5) 如图 , 设曲线方程为212yx, 梯形oabc的面积为d, 曲边梯形oabc的面积为1d, 点a的坐标为( ,0)a,0a, 证明：132dd. 四、 ( 本题满分9 分) 设当0 x时, 方程211kxx有且仅有一个解, 求k的取值范围 . 五、 ( 本题满分9 分) 设324xyx, (1) 求函数的增减区间及极值；(2) 求函数图像的凹凸区间及拐点；(3) 求其渐近线；(4) 作出其图形 . xoabcy212yxborn to win六、 ( 本题满分9 分)求微分方程2siny

5、a yx的通解 , 其中常数0a. 七、 ( 本题满分9 分)设( )f x在0,1上连续且递减 , 证明：当01时 ,100( )( )f x dxf x dx. 八、 ( 本题满分9 分)求曲线23 |1|yx与x轴围成的封闭图形绕直线3y旋转所得的旋转体体积. born to win1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 ( 本题共 5 小题 ,每小题 3 分, 满分 15 分 .) (1) 【答案】2【解析】2sin21axxex在0 x时是初等函数 , 因而连续； 要使( )f x在(,)上连续,( )fx在0 x处也连续 ,这样必有0lim( )(0)xf

6、xf. 由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,0 x时,sin xx；1xex. 2200sin 21sin21limlim()axaxxxxexexxx0022limlim22xxxaxaaxx, 从而有2a. (2) 【答案】(1)(65)ttt【解析】dydydtdydxdtdtdxdtdx2232352111ttyttttxt, ()65(1)(65)111xtxxtytttyxtt. 【相关知识点】 复合函数求导法则： 如果( )ug x在点x可导 , 而( )yf x在点( )ug x可导, 则复合函数( )yfg x在点x可导 , 且其导数为( )( )dyfug xdx或dyd

7、ydudxdu dx. (3) 【答案】3sin 3(cos3 )xfx【解析】原式(cos3 ) (cos3 )(cos3 ) ( sin3 ) 33sin3(cos3 )fxxfxxxfx. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttf tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 ,则( )( )( )( )( )f ttfttft. (4) 【答案】221(1)2xxec, 其中c为任意常数born to win【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解. 显然是2xe先进入积分号 , 原式22222211()()22xxxx d ex ee d x22

8、1(1)2xxec其中c为任意常数 . 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题, 如果选择不当可能引起更繁杂的计算, 最后甚至算不出结果来. 在做题的时候应该好好总结, 积累经验 . 【相关知识点】分部积分公式：假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数, 则,uv dxuvu vdx或者.udvuvvdu(5) 【答案】4(4)xycx,c为任意常数【解析】这是可分离变量的方程. 分离变量得0(4)dxdyx xy, 两项分别对x和对y积分得到114lnln,4xycx化简有44xycx, 即4(4)xycx,c为任意常数 . 二、选择题 ( 本题共 5 小题 ,每小题

9、3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】 (a) 【解析】 方法 1：将极限中的分子用泰勒皮亚诺公式展开得2222ln(1)()()()2xxaxbxxo xaxbx221(1)()()2a xb xo x, 由假设 , 应该有101()22ab, 故由此51,2ab, 故应选 (a). 方法2：用洛必达法则.220ln(1)()limxxaxbxx为“00”型的极限未定式, 又分子分母在点0处导数都存在 , 所以 , born to win0121lim2xabxxx原式左边20(1)(2 )2lim2 (1)xaab xbxxx( 若10a, 则原式极限为, 必有10a) 122,2

10、b51,2ab. 故应选 (a). (2) 【答案】 (b) 【解析】 方法 1：因32( ),(1)( )3fxxxf x左可导 ,312(1)23xfx. 又211lim( )lim1(1)( )xxf xxff x不右连续( )f x在1x的右导数不存在, 故选 (b). 方法 2：2(1)3f, 而211lim( )lim1(1)xxf xxf, 所以 ,( )f x在1x点不连续 ,故不可导 , 但左 , 右导数可能存在, 这只需要用左, 右导数定义进行验证 .2113112( )(1)3(1)limlim,1122( )(1)33(1)limlim2.11xxxxxf xffxxx

11、f xffxx故( )f x在1x点左导数存在 , 但右导数不存在, 故应选 (b). (3) 【答案】 (c) 【解析】由于( )fx满足微分方程sin0 xyye, 当0 xx时, 有0sin00()()xfxfxe. 又由0()0fx, 有0sin0()0 xfxe, 因而点0 x是( )f x的极小值点 , 应选 (c). (4) 【答案】 (b) 【解析】用换元法求极限, 令1tx, 则当x时,0t, 且有2201limlimarctan,(1)(1 2 )4txtttyett0limxy, born to win所以y轴和4y是曲线的两条渐近线. 而1x和2x并非曲线的渐近线, 因

12、当1x和2x时,y分别趋向于2e和142e. 故应选 (b). 【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim( )xf xa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim( )xaf x, 则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有( )lim,lim( )xxf xabfxaxx存在且不为, 则yaxb为斜渐近线 . (5) 【答案】 (d) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质, 被积函数是奇函数, 积分区间关于原点对称,则积分为 0, 故0m, 且由定积分的性质, 如果在区间, a b上, 被积函数( )0f x, 则( )0

13、 ()baf x dxab. 所以4202cos0nxdx,4202cos0pxdxn. 因而pmn, 应选 (d). 三、 ( 本题共 5 小题 , 每小题 5 分, 满分 25 分.) (1) 【解析】方程两边对x求导 , 得(1)yfy, 两边再求导 , 得2(1)yfyfy, 由于一阶导数不等于1, 所以10f. 以1fyf代入并解出y,得3(1)fyf. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果( )ug x在点x可导 , 而( )yf x在点( )ug x可导 , 则复合函数( )yfg x在点x可导 , 且其导数为( )( )dyfug xdx或dydy dudxdudx. (2)

14、【解析】用换元积分法. born to win观察被积函数的特点, 可考虑引入三角函数化简. 令2sinxt, 则2cosxdxtdt. 当0 x时,0t；当1x时,2t, 故原式4201cos2tdt13 13()24 2 232. 【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：2200(1)!,!2sincos(1)!,!nnnnnnixdxxdxnnn为偶数为奇数，.注：对于双阶乘!n的定义如下 : 当n为奇数时 ,!1 3nn；当n为偶数时 , !24nn. (3) 【解析】 方法 1：用三角函数公式将2tan()4n展开 , 再化为重要极限1lim(1)xxex的形式 , 利用等价无

15、穷小因子替换, 即0 x时,tan xx,从而求出极限. 221tan2tan2lim tan ()limlim 12241tan1tannnnnnnnnnnn221 tan4tan124tan22212tan1 tanlim221 tan422tanlim 121tannnnnnnnnnnneen. 方法 2： 先取自然对数 , 求出极限后再用恒等式lim ln( )lim( )xfxxef x.因为221tan2tan2limln tan ()limlnlimln 12241tan1tannnnnnnnnnnn222tantan4limlim42221 tan1tannnnnnnnn, 于

16、是2ln tan ()442lim tan ()lim4nnnnneen. (4) 【解析】 方法 1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sincos, 并利用换元积分,结合拆项法求积分,得born to winsin22sin2sin(cos1)dxdxxxxx22sin11cos2sin(cos1)2(1)(1)xdxxuduxxuu(22sin1cosxx)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)uududuuuuuu12ln |1|ln |1|8(1)uucu12ln 1cosln 1cos81cosxxcx, 其中c为任意常数 . 方法 2： 换元cosxu后, 有

17、原式22sin12sin(cos1)2sin(cos1)2(1)(1)dxxdxduxxxxuu.用待定系数法将被积函数分解: 221(1)(1)11(1)abduuuuu22()(2)()(1)(1)ab uad uabduu, 01120,421abadabdabd. 于是 ,2111212()ln 1ln 1811(1)81duuucuuuu原式12ln 1cosln 1cos81cosxxcx. (5)【解析】 对梯形oabc的面积为d, 可用梯形面积公式()2hab, 其中h为梯形的高 ,a、b分别为上底和下底长度. 对于曲边梯形oabc的面积则用积分式求解. born to win

18、222231011()(1)22,22111(32)().2326aaaadaaadx dxaa由于22312aa, 所以221132aa, 由此 , 2222221(1)3(1)3 1323(32)322226aadaaaadaa. 四、 ( 本题满分9 分) 【解析】方程211kxx的解即为32( )1xkxx的零点 . 要证明方程211kxx有且仅有一个解, 只需要证明( )x是单调函数, 且它的函数图像仅穿过x轴一次就可以了. 以下是证明过程. 对( )x求一阶导数 , 有2( )32(32)xkxxxkx. 当0k时,( )0 x,( )x单调减少 ,(0)10, lim( ),xx

19、( )x在0 x有唯一的零点；当0k时 ,( )x在2(0,)3k单调减少, 在2(,)3k单调增加,224()1327kk, 而(0)10, lim( ),xx当且仅当最小值2()03k时 ,( )x才在0 x有唯一零点,这时应该有239k. 总之 ,当0k或239k时, 原方程有唯一实根. 五、 ( 本题满分9 分) 【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点, 根据这些点将函数的定义域分成不同区间 , 然后根据y在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外, 还要注意有没有斜渐近线. 作函数图形

20、时要能综合(1) 、(2) 、(3) 所给出的函数属性, 尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点. born to win2344824,1,0yxyyxxx. 无定义点：0 x, 驻点：2x. (,0)0(0,2)2(2,)y+ 无定义0 + y+ 无定义+ + + y上升无定义下降极小上升函数在(,0)(2,)单调增加 , 在(0,2)单调减少 , 在(,0)(0,)凹 , 在2x取极小值23xy；由于0lim,xy所以0 x为垂直渐近线 . 由于24lim1,lim()lim0,xxxyyxxx所以yx是斜渐近线 . 粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有lim( )

21、xf xa,则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim( )xaf x, 则xa为铅直渐近线；斜渐近线：若有( )lim,lim( )xxf xabfxaxx存在且不为, 则yaxb为斜渐近线 . 六、 ( 本题满分9 分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程, 对应的齐次方程的特征方程220ra有两个根为12,r rai. 当1a时, 非齐次方程的特解应设为sincosyaxbx. 3 xyo 2 yxborn to win代入方程可以确定221sin,0,11xabyaa. 当1a时, 应设sincosyxaxxbx, 代入方程可以确定10,cos22xabyx. 由此 ,所求的通

22、解为当1a时,122sincossin1xycaxcaxa；当1a时,12cossincos2xycxcxx. 【相关知识点】1. 二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程( )( )( )yp x yq x yfx的一个特解 .( )y x是与之对应的齐次方程( )( )0yp x yq x y的通解 , 则*( )( )yy xyx是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )y x, 可用特征方程法求解：即( )( )0yp x yq x y中的( )p x、( )q x均是常数 , 方程变为0ypyqy

23、. 其特征方程写为20rprq, 在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r, 则通解为1212;rxr xycec e(2) 两个相等的实数根12rr, 则通解为112;rxycc x e(3) 一对共轭复根1,2ri, 则通解为12cossin.xyecxcx其中12,c c为常数 . 3. 对于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yp x yq x yf x的一个特解*( )yx, 可用待定系数法 , 有结论如下：如果( )( ),xmf xpx e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kxmyxx qx e的特解 , 其中( )mqx是与( )mpx相同次数的多项式, 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或 2. 如果( )( )cos( )sinxlnf xep xxp xx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)( )cos( )sinkxmmyx erxxrxx, born to win其中(1)( )mrx与(2)( )mrx是m次多项式 ,max,ml n, 而k按i( 或i) 不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 七、 ( 本题满分9 分)【解析】 方法一： 用积分比较定