1995-1999年数学一考研真题

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)=_. (2)= _. (3)设则=_. (4)幂级数的收敛半径=_. (5) 设 三 阶 方 阵满 足 关 系 式且则=_. 二、 选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线,及平面则直线(a) 平行于(b)在上(c)垂直于(d) 与斜交(2)设在上则或的大小顺序是(a)(b)(c)(d)(3)设可导则是在处可导的(a) 充分必

2、要条件(b)充分条件但非必要条件(c)必要条件但非充分条件(d) 既非充分条件又非必要条件2sin0lim (13)xxx202cosxdxt dtdx()2,abc()() ()abbcca2112(3)nnnnnxr,a b16,ab aab a1003100,41007ab:l321021030 xyzxyz: 4220,xyzl0,1()0,fx(0),(1),(1)(0)ffff(0)(1)ff(1)(0)(1)(0)ffff(1)(1)(0)(0)ffff(1)(0)(1)(0)ffff(1)(0)(1)(0)ffff()fx,()()(1sin),f xfxx(0)0f()fx0

3、 x(4)设则级数(a)与都收敛(b)与都发散(c)收敛 ,而发散(d)收敛 ,而发散(5) 设则必有(a)(b)(c)(d)三、 (本题共 2 小题 ,每小题 5 分,满分 10 分) (1)设其 中都 具 有 一阶 连续 偏导 数 , 且求(2)设函数在区间上连续 ,并设求四、 (本题共 2 小题 ,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分 . (2)将函数展开成周期为4 的余弦函数 . 五、 (本题满分7 分 ) 设曲线位于平面的第一象限内上任一点处的切线与轴总相交 ,交点记为已知且过点求的方程 . 六、 (本题满分8 分 ) 设函数在平面上具有一阶连

4、续偏导数,曲线积分与1(1) ln(1),nnun1nnu21nnu1nnu21nnu1nnu21nnu1nnu21nnu11121311121321222321222312313233313233010100,100 ,010 ,001101aaaaaaaaaaaaaaaaaaabpp12a p p= b21a p p = b12p p a = b21p p a = b2(,),(, e ,)0,sin,yufx y zxzyx,f0.z.dudx()fx0,110(),fx dxa110()().xdxfx fy dy,zds22zxy222xyx()1(02)fxxxlxoy, lmy.

5、a,m ao al33(,),22l(,)qx yxoy2(,)lxydxq x y dy路径无关,并且对任意恒有求七、 （本题满分8 分）假设函数和在上存在二阶导数,并且试证 : (1)在开区间内(2)在开区间内至少存在一点使八、 （本题满分7 分）设 三 阶 实 对 称 矩 阵的 特 征 值 为对 应 于的 特 征 向 量 为求九、 （本题满分6 分）设为阶矩阵 ,满足是阶单位矩阵是的转置矩阵求十、填空题 (本题共 2小题 ,每小题 3 分 ,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)设表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则的数学期望=_. (2)设和

6、为两个随机变量,且则_. 十一、 （本题满分6 分）设随机变量的概率密度为t( ,1)(1, )( 0,0 )(0 ,0 )2(,)2(,),ttxydxq x y dyxydxq x y dy(,).q x y()fx()gx,a b()0,()()()()0,gxfafbgag b(,)a b()0.gx(,)a b,()().()()ffgga1231,1,1101,1.aan(aai in, aa),0,a.aix2x2()exxy340,0,00,77pxypxp ymax(,)0pxyx, 求随机变量的概率密度()xfxe0 x00 xxexy().yfy1996年全国硕士研究生入

7、学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设则=_. (2)设一平面经过原点及点且与平面垂直 ,则此平面方程为_. (3)微分方程的通解为 _. (4)函数在点处沿点指向点方向的方向导数为 _. (5) 设是矩 阵 , 且的 秩而则=_. 二、 选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)已知为某函数的全微分,则等于(a)-1 (b)0 (c)1 (d)2 (2)设具有二阶连续导数,且则(a)是的极大值(b

8、)是的极小值(c)是曲线的拐点(d)不是的极值也不是曲线的拐点(3)设且收敛 ,常数则级数2lim ()8,xxxaxaa(6,3, 2),428xyz22exyyy22ln()uxyz(1,0,1)aa(3,2, 2)ba43a()2,ra102020 ,103b()rab2()()xay dxydyxya()fx0()(0)0, lim1,xfxfx(0)f()fx(0)f()fx(0,(0)f()yfx(0)f()fx,(0,(0)f()yfx0(1, 2,),nan1nna(0,),221(1)(tan)nnnnan(a) 绝对收敛(b)条件收敛(c)发散(d) 散敛性与有关(4)设有

9、连续的导数且当时与是同阶无穷小 ,则等于(a)1 (b)2 (c)3 (d)4(5)四阶行列式的值等于(a)(b)(c)(d)三、 (本题共 2 小题 ,每小题 5 分,满分 10 分) (1)求心形线的全长 ,其中是常数 . (2)设试证数列极限存在 ,并求此极限 . 四、 (本题共 2 小题 ,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分其中为有向曲面其法向量与轴正向的夹角为锐角. (2)设变换可把方程简化为求常数五、 (本题满分7 分 ) 求级数的和 . 六、 (本题满分7 分 ) 设 对 任 意曲 线上 点处 的 切 线 在轴 上 的 截 距 等 于求的一般表达式. ()fx2

10、20,(0)0,(0)0,( )()( ),xfffxxtf t dt0 x,()fxkxk1122334400000000abababba12341234a a a ab b b b12341234a a a ab b b b12123434()()a ab ba ab b23231414()()a ab ba ab b(1cos)ra0a1110,6(1,2,),nnxxxnnx(2),sxz dydzzdxdys22(01),zxyxz2uxyvxay2222260zzzxx yy20,zu v.a211(1)2nnn0,x()yfx(,()xfxy01( ),xft dtx()fx七、

11、 （本题满分8 分）设在上具有二阶导数,且满足条件其中都是非负常数是内任意一点 .证明八、 （本题满分6 分）设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置 .证明(1)的充分条件是(2)当时是不可逆矩阵 . 九、 （本题满分8 分）已知二次型的秩为 2, (1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程表示何种二次曲面. 十、填空题 (本题共 2小题 ,每小题 3 分 ,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由和的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品 ,则该次品属生产的概率是_. (2)设是两个相互独立且均服

12、从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望=_. 十一、 （本题满分6 分）设是 两 个 相 互 独 立 且 服 从 同 一 分 布 的 两 个 随 机 变 量 ,已 知的 分 布 率 为又设(1)写出二维随机变量的分布率: 1 2 3 1 2 ()fx0,1(),(),fxafxb,a b,c(0,1)( )2.2bfca,taiin,n,t2aa1.t 1t , a222123123121323(,)55266fxxxxxcxx xx xx xc123(,)1fxxxababa,21(0, () )2n()e,1(),1, 2, 3.3piimax(,),min(,).xyxy3 (2)求

13、随机变量的数学期望x().ex1997年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)=_. (2) 设 幂 级 数的 收 敛 半 径 为3,则 幂 级 数的 收 敛 区 间 为_. (3)对数螺线在点处切线的直角坐标方程为_. (4)设为三阶非零矩阵,且则=_. (5)袋中有50 个乒乓球 ,其中 20 个是黄球 ,30 个是白球 ,今有两人依次随机地从袋中各取一球 ,取后不放回 ,则第二个人取得黄球的概率是_. 二、 选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选

14、项中,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)二元函数,在点处(a) 连续 ,偏导数存在(b)连续 ,偏导数不存在(c)不连续 ,偏导数存在(d) 连续 ,偏导数不存在(2)设在区间上令则(a)(b)(c)(d)2013sincoslim(1cos) ln(1)xxxxxx1nnna x11(1)nnnnaxe2(,)(e,)212243,311tab,abot(,)fx y22(,)(0, 0)0(,)(0, 0)xyx yxyx y(0, 0),a b()0,()0,()0.fxfxfx1231( ),( )(),()( )(),2basfx dx sf bbas

15、f af bba123sss213sss312sss231sss(3)设则(a) 为正常数(b)为负常数(c)恒为零(d) 不为常数(4)设则三条直线(其中)交于一点的充要条件是(a)线性相关(b)线性无关(c)秩秩(d)线性相关线性无关(5)设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4 和 2,则随机变量的方差是(a)8 (b)16 (c)28 (d)44 三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)计算其中为平面曲线绕轴旋转一周所成的曲面与平面所围成的区域 . (2)计算曲线积分其中是曲线从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的. (3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新

16、技术的人进行的,设该人群的总人数为在时刻已掌握新技术的人数为在任意时刻已掌握新技术的人数为将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求四、 (本题共 2 小题 ,第(1)小题 6 分 ,第(2)小题 7 分 ,满分 13分 ) (1) 设 直线在 平 面上 ,而 平 面与 曲 面相 切 于 点2s i n()es i n,xtxfxt d t()fx111122232333,abcabcabc1112223330,0,0a xb yca xb yca xb yc220,1, 2, 3iiabi123, 123, 123(,)r 12(,)r 123,

17、 12, xy32xy22(),ixydv220yzxz8z()()(),czy d xxz d yxyd zc2212xyxyzzzc,n0t0,xt( ) (x t( )x t0,k( ).x t:l030 xybxayz22zxy求之值 . (2)设函数具有二阶连续导数,而满足方程求五、 (本题满分6 分 ) 设连续且为常数 ),求并讨论在处的连续性 . 六、 (本题满分8 分 ) 设证明(1)存在 . (2)级数收敛 . 七、 (本题共 2 小题 ,第(1)小题 5 分 ,第(2)小题 6 分 ,满分 11 分 ) (1)设是秩为 2的矩阵是齐次线性方程组的解向量 ,求的解空间的一个标

18、准正交基. (2)已知是矩阵的一个特征向量. 1)试确定参数及特征向量所对应的特征值. 2)问能否相似于对角阵?说明理由 . 八、 （本题满分5 分）设是阶可逆方阵 ,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为(1)证明可逆 . (2)求九、 （本题满分7 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗 ,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互(1,2, 5),a b()fu(esin)xzfy22222e,xzzzxy().fu()fx10,( )(),xfxt dt0()lim(xfxa ax()x()x0 x11110,()(1, 2,),2nnnaaanalimnxa11(1)nnnaab5412

19、3,1,1, 2, 3,1,1, 4,1,5,1,8, 9tttxb0 xb01112125312aba,a baanaij.bb1.ab(1)0 x01x其 它独立的 ,并且概率都是设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、 分布函数和数学期望 . 十、 （本题满分5 分）设总体的概率密度为其中是未知参数是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量 . 2.5xxx()fx112,nxxxxn1998年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)=_. (2)设具有

20、二阶连续导数,则=_. (3)设为椭圆其周长记为则=_. (4)设为阶矩阵为的伴随矩阵为阶单位矩阵.若有特征值则必有特征值 _. (5)设平面区域由曲线及直线所围成 ,二维随机变量在 区 域上 服 从 均 匀 分 布 , 则关 于的 边 缘 概 率 密 度 在处 的 值 为_. 二、 选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设连续 ,则=(a)(b)(c)(d)(2)函数不可导点的个数是(a)3 (b)2 (c)1 (d)0 (3)已知函数在任意点处的增量且当时是的高阶无穷小 ,

21、则等于20112limxxxx1()(),zfxyyxyfx2zx yl221,43xy,a22(234)lxyxydsan*,0,aaa, ena,*2()aed1yx20,1,eyxx(,)x yd(,)xyx2x()fx220()xdtfxtdtdx2()xfx2()xfx22()xfx22()xfx23()(2)fxxxxx()yy xx2,1yxyx0 x,x(0)y(1)y(a)(b)(c)(d)(4) 设 矩 阵是 满 秩 的 , 则 直 线与 直 线(a) 相交于一点(b)重合(c)平行但不重合(d) 异面(5)设是两个随机事件,且则必有(a)(b)(c)(d)三、 (本题满分

22、5 分 ) 求直线在平面上的投影直线的方程 ,并求绕轴旋转一周所成曲面的方程. 四、 (本题满分6 分 ) 确定常数使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度 ,并求五、 (本题满分6 分 ) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求 ,需确定仪器的下沉深度从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为体积为海水密度为仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式六、 (本题满分7 分 ) 24e4e111222333abcabcabc333121212xaybzcaa

23、bbcc111232323xaybzcaabbcc,a b0()1,()0,(|)(|),pap bp bap ba(|)(|)pabpab(|)(|)p abpab()()()pabpa p b()()()p abp a p b11:111xyzl:210 xyz0l0ly,0 x42242(,)2()()x yxyxyxxyaij(,)ux y(,).ux y(yv,m,b,(0).k kyv().yy v计算其中为下半平面的上侧为大于零的常数. 七、 (本题满分6 分 ) 求八、 （本题满分5 分）设正向数列单调减少 ,且发散 ,试问级数是否收敛 ?并说明理由 . 九、 （本题满分6 分

24、）设是区间上的任一非负连续函数. (1)试证存在使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积. (2)又设在区间内可导 ,且证明 (1)中的是唯一的 . 十、 （本题满分6 分）已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程求的值和正交矩阵十一、 （本题满分4 分）设是阶矩阵 ,若存在正整数使线性方程组有解向量且证明 :向量组是线性无关的. 十二、 （本题满分5 分）已知方程组22221 2(),()axdydzzadxdyxyz222zaxy, a2sinsinsinlim.1112xnnnnnnna1(1)nnna11()1nnna()yfx0,10(0,1),x00

25、,x0()fx0,1x()yfx()fx(0,1)2()(),fxfxx0 x2222224xayzbxyxzyzxyzp2244,a b.pan,kkxa0,1.ka01,k a a() 的一个基础解析为试写出线性方程组() 的通解 ,并说明理由 . 十三、 （本题满分6 分）设两个随机变量相互独立 ,且都服从均值为0、方差为的正态分布 ,求随机变量的方差 . 十四、 （本题满分4 分）从正态总体中抽取容量为的样本 ,如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大 ? 附:标准正态分布表1.28 1.645 1.96 2.33 0.900 0.950 0.975 0

26、.990 十五、 （本题满分4 分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分 ,标准差为 15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:分布表0.95 0.975 1111221,222112222 ,221122,22000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax11121,221222,212,2(,) ,(,) ,(,) .tttnnnnnnbbbbbbbbb1111221,222112222 ,221122,22000nnnnnnnnnbybybybybybyby

27、byby,xy12xy2(3.4, 6 )nn(1.4, 5.4)n221()e2tzxdtz()xt ()()pp t ntnp35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 1999年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)=_. (2)=_. (3)的通解为=_. (4)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是_. (5)设两两相互独立的三事件和满足条件:且已知则=_. 二、 选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符

28、合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设是连续函数是的原函数 ,则(a) 当是奇函数时必是偶函数(b)当是偶函数时必是奇函数(c)当是周期函数时必是周期函数(d) 当是单调增函数时必是单调增函数(2)设,其中是有界函数 ,则在处(a) 极限不存在(b)极限存在 ,但不连续(c)连续 ,但不可导(d) 可导(3)设,2011lim ()tanxxxx20sin()xdxtdtdx24exyyynaan,a bc1,()()(),2abcpap bp c9(),16p abc()p a()fx,()fx()fx()fx,()fx()fx,()fx()fx,()fx()fx,()f

29、x21cos0( )() 0 xxfxxx g xx()gx()fx0 x 01()12212xxfxxx01()cos,2nnas xanxx其中,则等于(a)(b)(c)(d)(4)设是矩阵 ,是矩阵 ,则(a) 当时,必有行列式(b) 当时 , 必 有 行 列 式(c)当时,必有行列式(d)当时,必有行列式(5)设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则(a)(b)(c)(d)三、 (本题满分6 分 ) 设是由方程和所确定的函数,其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求四、 (本题满分5 分 ) 求其中为正的常数 ,为从点沿曲线到点的弧 . 102() cosnafxnxdx(0,1, 2,)n5()2s12123434amnbnmmn|0abmn|0abnm|0abnm|0abxy(0,1)n(1,1)n102pxy112p xy102pxy112p xy(),()yy xzz x()zxfxy(,)0fx y zff.dzdx(e sin()(e cos),xxliyb xydxyax dy,a bl(2, 0)aa22yaxx(0, 0)o五、 (本题满分6