19考研数一真题和答案

1、2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . 1. 下列函数中在0 x处不可导的是（）（a）( )sinf xxx（b）( )sinf xxx（c）( )cosf xx（d）( )cosf xx2. 过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22zxy相切的平面为（）（a）01zxyz与（ b ）022zxyz与2（c）1xyxyz与（ d ）22xyxyz与23. 023( 1)(21)!nnnn（）sin1cos12sin1c

2、os12sin12cos12sin13cos1abcd4. 设2222(1)1xmdxx，221xxndxe，22(1cos )kx dx，则（）（a）mnk（b）mkn（c）kmn（d）knm5. 下列矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是（）（a）111011001（b）101011001（c）111010001（d）1010100016. 设,a b是n阶矩阵，记()r x为矩阵x的秩，(,)x y表示分块矩阵，则（）（a）(,)( )r a abr a（b）(,)( )r a bar a（c）(,)max (), ( )r a br a r b（d）(,)(,)ttr a br a

3、b7. 设随机变量x的概率密度( )f x满足(1)(1)fxfx，且20( )0.6f x dx则0p x( ) （a）0.2 （b）0.3 （c）0.4 （d）0.5 8. 设 总体x服从正态分布2(,)n,12,nxxx是来自总体x的简单随机样本，据此样本检测，假设0010:,:,hh则（）（a）如果在检验水平0.05下拒绝0h，那么在检验水平0.01下必拒绝0h；（b）如果在检验水平0.05下拒绝0h，那么在检验水平0.01下必接受0h；（c）如果在检验水平0.05下接受0h，那么在检验水平0.01下必拒绝0h；（d）如果在检验水平0.05下接受0h，那么在检验水平0.01下必接受0h

4、。二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . 9. 若1sin01tanlim1tankxxxex，则_k。10. 设函数( )f x具有二阶连续导数，若曲线( )yf x过点(0,0)，且与2xy在点(1,2)处相切，求10( )_xfx dx。11、 设函数( , , )f x y zxy iyz jzxk，则(1 ,1,0)_rotf。12. 设l是曲面2221xyz与平面0 xyz的交线， 则_lxyds。13. 设二阶矩阵a有两个不同的特征值，12,是a的线性无关的特征向量，且满足21212()a，则_a。14. 设随机事件ab与相互独立

5、，ac与相互独立，bc,1()()2p ap b，1()4p ac abc,则()_p c。三、解答题： 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分10 分） 求不定积分2arctan1xxeedx. 16. （本题满分10 分） 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。17. （本题满分10 分） 设是曲面22133xyz的前侧，计算曲面积分33(2)ixdydzydzdxz dxdy. 18. （本题满分10 分） 已知微分方程( )yyf

6、x，其中( )f x是r上的连续函数。（i）若( )f xx，求方程的通解； （ii ）若( )f x是周期为t的函数，证明：方程存在唯一的以t为周期的解。19. （本题满分10 分） 设数列nx满足110,1(1,2,3,)nnxxnxx een。证明nx收敛，并求limnnx。20. （本题满分11 分） 设二次型2221231232313(,)()()()fxxxxxxxxxax，其中a是参数。（i）求123(,)0f x xx的解； （ii）求123(,)f x xx的规范型。21.（本题满分11 分） 设a是常数，且矩阵1213027aaa可经过初等列变换化为矩阵12011111ab

7、。(i) 求a； （ii ）求满足apb的可逆矩阵p？22.（本题满分11 分） 设随机变量,x y相互独立，x的概率分布为1112p xp x，y服从参数为的泊松分布。 令zxy， （i） 求( , )co v x z； （ii）求z的概率分布。23. （本题满分11分） 设总体x的概率密度为1( ;),2xfxex，其中(0,)为未知参数，12,nxxx为来自总体x的简单随机样本， 记的最大似然估计量为。 （i）求； （ii ）求()e和()d。答案解析1. 【答案】 (d) 【解析】根据导数定义，a. 000sin( )(0)limlimlim0 xxxxxxxf xfxxx，可导；b.

8、000sin( )(0)limlimlim0 xxxxxxxf xfxxx, 可导；c. 20001cos1( )(0)2limlimlim0 xxxxxf xfxxx，可导；d. 200011cos122limlimlimxxxxxxxxx，极限不存在。故选（d）. 2. 【答案】（b）【解析一】设平面与曲面的切点为000(,)xy z，则曲面在该点的法向量为00(2,2, 1)nxy，切平面方程为000002()2()()0 xxxyyyzz切平面过点(1,0,0)，(0,1,0)，故有000002(1)2(0)(0)0 xxyyz， （1）000002(0)2(1)(0)0 xxyyz，

9、 （2）又000(,)xyz是曲面上的点，故22000zxy， （3）解方程（1） （2） （3） ，可得切点坐标(0,0,0)或(1,1,2)。因此，切平面有两个0z与222xyz，故选（ b）. 【解析二】由于xy不经过点(1,0,0)和(0,1,0)，所以排除（ c） （d） 。对于选项（ a） ，平面1xyz的法向量为(1,1, 1)，曲面220 xyz的法向量为(2 ,2, 1)xy，如果所给平面是切平面，则切点坐标应为1 1 1(,)2 2 2，而曲面在该点处的切平面为12xyz，所以排除（a）. 所以唯一正确的选项是（b） .3.【答案】（b）【解析】因为21200( 1)( 1

10、)sin,cos,(21)!(2 )!nnnnnnxxxxnn而00023212(1 )(1 )(1 )( 21) !( 21 ) !( 21 ) !nnnnnnnnnnn00( 1)( 1)cos1 2sin1(2 )!(21)!2nnnnnn，故选（b） 。4.【答案】（c）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。22222222222(1)122(1)111xxxxmdxdxdxxxx，2222(1cos )1kx dxdx，令( )1,(,)22xf xex x，则( )1xfxe，当(, 0)2x时，( )0fx，当(0,)2x时，(

11、)0fx，故对(,)22x，有( )(0)0fxf，因而11xxe，222211xxndxdxe，故kmn。应选（c）. 5.【答案】（a）【解析】记矩阵110011001h，则秩()3r h，迹()3tr h,特征值1（三重）。观察,a b c d四个选项，它们与矩阵h的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2reh,()2rea，()1reb()1rec, ()1red。如果矩阵a与矩阵x相似，则必有kea与kex相似（k为任意常数），从而()()r kear kex） ，故选（ a）, 6.【答案】（a）【解析】把矩阵,a ab按列分块，记1212(,),(,)n

12、naab，则向量组12,n可以由向量组12,n线性表出，从而12,n与12,n，12,n，等价，于是(,)()r a abr a，故选（a） 。7.【答案】（a）【解析】由(1)(1)fxfx可知概率密度函数( )f x关于1x对称，结合概率密度函数的性质( )1f x dx及已知条件20( )0.6f x dx，容易得出02010( )( )( )0.22p xf x dxf x dxf x dx，故选（a） 。8.【答案】（d）【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平”的含义。统计量_0(0,1)xnn,在检验水平0.05下接受域为_00.025xun, 解得接受域的区间为_0.0250

13、.025(,)xuxunn；在检验水平0.01下接受域的区间为_0.0050.005(,)xuxunn。由于0.0250.005uu，0.01下接受域的区间包含了0.05下接受域的区间，故选（d） 。9.【答案】2【解析】00111 tan12tanlimlnlimln 1sinsin1 tansin1 tan01 tanlim1 tanxxxxkxkxxkxxxxeeex012tan2limsin1 tan2xxkxxkeek10.【答案】2(ln21)【解析】由已知条件可得：(0)0,(1)2,(1)2ln2,fff故11110000( )( )( )( )xfx dxxdfxxfxfx

14、dx10(1)( )(1)(1)(0)ff xfff2(ln21)11.【答案】(1,0, 1)【解析】( , , )ijkrotf x y zy iz jxkxyzxyyzzx故(1,1,0)(1,0, 1)rotf。12.【答案】3【解析】先求交线l:22210 xyzxyz，由于曲面方程与平面方程中的, ,x y z满足轮换对称性，因此在曲线l上, ,x y z具有轮换对称性。又知2222()2()0 xyzxyzxyyzzx12xyyzzx由轮换对称性可得：111()23663lllxydsxyyzzx dsds。13.【答案】1【解析】设12,对应的特征值分别是12,，则222221

15、212112212()aaa，221122(1)(1)0，由于12,线性无关，故22121,1，从而a的两个不同的特征值为1,1，于是1 11a。14.【答案】14【解析】()()()()()()()p ac abcp abcacp ac abcp abcp abp cp abc()()( )()1()()()()()( )()4p abcp acp a p cp a p bp cp abcp a p bp c1()112()1144( )22p cp cp c, 15.【解析】221arctan1arctan12xxxxeedxede22222222311arctan1arctan12211

16、1arctan1221(1)11arctan1122111arctan1(1)11222111arctan1(1)1262xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeee dedeeeeeeee deeeededeeeeec16.【答案】面积之和存在最小值，min143 3s。【解析】设圆的半径为x， 正方形的边长为y， 三角形的边长为z， 则2432xyz，三个图形的面积之和为2223( , , )4s x y zxyz，则问题转化为“在条件2432xyz，0,0,0 xyz下，求三元函数2223( , , )4s x y zxyz的最小值”。令2223( 2432)4lxyzxyz解方程

17、组220240330224320 xyzlxlylzlxyz，得到唯一驻点143 3243 32 343 3xyz由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和为min143 3s. 17.【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。222331(0)xyzx曲面前侧是一个半椭球面，补平面2211:0,3xyz，取后侧 ，则113333(2)(2)ixdydzydzdxz dxdxdydzydzdxz dxdy由高斯公式可得13322(2)(133)xdydzydzdxz dxdyzdxdydz其中22( , , ) 0133x y zxyz，由“先二后一”法可得2

18、2222122220131131212423000002410(1 33)(133)31(1 3)2()42341421245xyzxxyzdxdydzdxyzdydzdxdrrdrrrdxxxdx而133(2)0 xdydzydzdxz dxdy。故1445i.18.【解析】（i）若( )f xx，则yyx，由一阶线性微分方程通解公式()()( )p x dxp x dxyeq x edxc得()1dxdxxyexedxccex。（ii ）由一阶线性微分方程通解公式可得( )xxyef x e dxc，由于()y xt在( )xf x e dx中无法表达出来，取0( )( )xxty xef

19、 t e dtc，于是()0()( )x tx tty xtef t e dtc()0()0000( )( )( )()( )( )tx txttttutttxxttu ttxxttutee f t dte f t dtcee f t dtef ut duceee f t dte f u duce若方程存在 唯一 的以t为周期的解，则必有()( )y xty x，即000( )( )( )txxxttutxteee f t dte f u duceef t e dtc0( )ttttee f t dtcec0( )1ttte f t dtce. 由于0( )1ttte f t dte为一常数，

20、可知当且仅当0( )1ttte f t dtce时，( )y x以t为周期，故微分方程存在唯一的以t为周期的解。19.【证明一】因为10 x，所以1211xxeex。根据拉格朗日中值定理，存在1(0,)x，使得111xeex，即2xee，因此210 xx。完全类似，假设10nnxx，则12111(0)nnxxnneeexx，即210nnxx，故数列nx单调减少且有下界，从而数列nx收敛。设limnnxa，在等式11nnxxnx ee两边取极限，得1aaaee，解方程得唯一解0a，故lim0nnx。【证明二】首先证明数列nx有下界，即证明0nx：当1n时 ，10 x。 根 据 题 设1211ln

21、xexx， 由111xex可 知2ln10 x；假设当nk时，0kx；则当1nk时，11lnkxkkexx， 其中1kxkex， 可知1ln10kx。根据数学归纳法，对任意的nn，0nx。再证明数列nx的单调性：1111lnlnlnlnnnnnnxxxxnnnxnnneeexxxexxx e，( 离 散 函 数 连 续 化 ) 设( )1(0)xxfxexex， 则 当0 x时 ，()0 xfxx e，( )f x单调递减，( )(0)0f xf，即1xxexe。从而11lnln10nnxnnxnexxx e，故1nnxx，即数列nx的单调递减。综上，数列nx的单调递减且有下界。由单调有界收敛

22、原理可知nx收敛。设limnnxa， 在 等 式11nnxxnx ee两 边 同 时 令n， 得1aaaee，解方程得唯一解0a，故lim0nnx。20.【解析】（i）由123(,)0f x xx可得1232313000 xxxxxxax对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得11111111101101101110011002aaaa当2a时，123(,)0f x xx只有零解：(0,0,0)tx。当2a时，102011000a，123(,)0f x xx有非零解：( 2, 1,1)txk，k为任意常数。（ii ）当2a时，若123,x xx不全为 0，则二次型123(,)f x x x

23、恒大于0，即二次型123( ,)f x xx为正定二次型，其规范型为222123123(,)f yyyyyy。当2a时，22212312323132221231213(,)()()()22626f x xxxxxxxxaxxxxx xx x二次型对应的实对称矩阵213120306b，其特征方程为2213120(1018)0306eb解得特征值12357,57,0，可知二次型的规范型为2212312(,)f z zzzz。21.【解析】（i）由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故()()r ar b。对矩阵,a b作初等行变换，得121212130010127033000aaaaaaaa，121212011011011111013002aaabaa，显然( )2r a，要使( )2r b，必有202aa。（ii）将矩阵b按 列 分块：123(,)b，求解矩阵方程apb可化为解三个同系数的非齐次线性方程组：,1,2,3jaxj。对下列矩阵施以初等行变换得122122106344(,)130011012111272111000000a b，易知，齐次线性