2013年考研数学一真题及参考答案(完整版)

1、2013 数学一硕士研究生入学考试1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中 k， c为常数，且0c，则（）a. 12,2kcb. 12,2kcc. 13,3kcd. 13,3kc2.曲面2cos()0 xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平面方程为（）a. 2xyzb. 0 xyzc. 23xyzd. 0 xyz3.设1( )2f xx，102( )sin(1,2,)nbf xn xdx n，令1( )sinnns xbn x，则9()4s（）a .34b. 14c. 14d. 344.设221:1lxy，222:2lxy，223:22lxy，224:22lxy为四条逆时针方向的平

2、面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxiydxxdy i，则1234max,iiiia. 1ib. 2ic. 3id 4i5.设 a,b,c 均为 n 阶矩阵，若ab=c ，且 b 可逆，则（）a.矩阵 c 的行向量组与矩阵a 的行向量组等价b 矩阵 c 的列向量组与矩阵a 的列向量组等价c 矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的行向量组等价d 矩阵 c 的列向量组与矩阵b 的列向量组等价6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）a. 0,2abb. 0,ab为任意常数c. 2,0abd. 2,ab为任意常数7. 设123,xxx是 随 机 变 量 ，

3、且1(0,1)xn，22(0,2 )xn，23(5,3 )xn，22 (1,2,3)iippxi，则（）a. 123pppb. 213pppc. 322pppd132ppp8.设随机变量( )xt n,(1, )yfn，给定(00.5)aa，常数 c满足p xca，则2p yc( ) 9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)确定，则01lim()1nn fn。10.已知 y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解y=。11.设224sin()sincostxtd ytytttdx为参数 ，则。12.21

4、ln(1)xdxx。13.设 a=(aij)是 3 阶非零矩阵，a为 a 的行列式， aij为 aij的代数余子式.若 aij+aij=0(i，j=1,2,3） ，则 a。14.设随机变量y 服从参数为1 的指数分布，a 为常数且大于零，则py a+1|ya= 三解答题：（15） （本题满分10 分）计算dxxxf)(10，其中 f(x).)1ln(1dtttx(16)(本题 10 分) 设数列 an满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaan nan，s（x）是幂级数0.nnna x的和函数（1）证明：( )( )0;sxs x（2）求( ).s x 的表达式（17） （本题满分10

5、分）求函数的极值yxexyyxf)3(),(3. (18)(本题满分 10 分) 设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（i）存在.1)(1 ,0f），使得（）存在1,1( )1.ff（），使得（ ）19.(本题满分10 分 ) 设直线 l 过 a （1,0,0） ， b （0,1,1） 两点将 l 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。（1）求曲面的方程；（2）求的形心坐标。20.（本题满分11 分）设101,101aabb，当 a,b 为何值时，存在矩阵c 使得 ac-ca=b, 并求所有矩阵c。21.（本题满分11 分）设 二 次 型221231 12233112233(,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x， 记123aaa，123bbb。（1）证明二次型f 对应的矩阵为2tt；（2）若,正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122yy。22.（本题满分11 分）设随机变量x 的概率密度为21,03,( )0,xxf xa其他令随机变量2,1,12,1,2xyxxx（1）求 y 的分布函数；（2）求概率p xy. 23.(本题满分11 分 ) 设 总 体x 的 概 率 密 度 为23,