(新)高中数学极坐标与参数大题(详解)

1、参数方程极坐标系解答题1已知曲线 C： + =1，直线t 为参数）考点： 专题 ： 分析：解答：解：（ ）对于曲线 C：=1，可令 x=2cos 、y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为，（ 为参数） ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程）过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30°的直线，交 l于点 A，求|PA|的最大值与最小值参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系坐标系和参数方程（）联想三角函数的平方关系可取x=2cos、y=3sin得曲线 C的参数方程，直接消掉参数 t得直线 l 的普通方程；（）设曲线 C 上任意一点 P（ 2cos， 3sin）由点到直

2、线的距离公式得到 P到直线 l 的距离，除以|PA|的最大值与最小值sin30°进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得对于直线 l：由 得： t=x2，代入 并整理得： 2x+y 6=0；P 到直线 l 的距离为（ ）设曲线 C 上任意一点 P（ 2cos， 3sin）其中 为锐角当 sin（ +）=1时， |PA|取得最大值，最大值为点评：当 sin（ +）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标

3、方程为：，曲线 C 的参数方程为：（ 为参数）（ I）写出直线 l 的直角坐标方程；（ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值考点 ： 参数方程化成普通方程专题 ： 坐标系和参数方程分析： （1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答：解：（ 1） 直线 l 的极坐标方程为：( sin，cos)x y+1=0 =，=，（2）根据曲线 C 的参数方程为：为参数）得（x 2） 2+y2=4 ，它表示一个以（ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为：d= ，曲线 C上的点到

4、直线 l 的距离的最大值=点评：3已知曲线C1：t 为参数），C2：为参数）本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题1）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；2）若 C1 上的点 P对应的参数为t= ，Q为 C2上的动点，求PQ中点 M 到直线 C3：（t为参数）距离的最小值考点 ： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题 ： 计算题；压轴题；转化思想分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1 表示一个圆；曲线 C2 表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C1的参数方程得点

5、 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出 Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出 M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线 的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解答：解：（ 1）把曲线 C1：t 为参数）化为普通方程得：22x+4)2+(y3) 2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（4， 3），半径为参数） 化为普通方程得：=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，把 C2：焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t= 代入到曲线 C1的参数方程得： P（ 4，4），把直线

6、C3：（t 为参数）化为普通方程得： x 2y7=0，设Q 的坐标为 Q（8cos，3sin），故 M （ 2+4cos， 2+ sin）所以 M 到直线的距离 d= = ，（其中 sin= ，cos= ） 从而当 cos= ， sin= 时，d 取得最小值点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题， 灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化 简求值，是一道综合题4在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A ， B 两点， P 是圆 C上不同于 A

7、 ， B 的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求 PAB 面积的最大值考点： 专题 ： 分析：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程坐标系和参数方程 ）由圆 C 的极坐标方程为，化为 2=，把代入即可得出（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出d，再利用弦长公式解答：解：（ ）由圆 C 的极坐标方程为，化为 2=代入可得：圆 C 的普通方程为圆心坐标为（x 2+y 2 2x+2y=0 ，即（ x1）2+（y+1）2=2圆心极坐标为1， 1），； ）由直线 l的参数方程t 为参数），把 t=x代入

8、y=1+2 t可得直线 l 的普通方程：圆心到直线 l 的距离 ，|AB|=2=点 P 直线 AB 距离的最大值为点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三 角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆的参数方程为 为参数）以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，直线的极坐标方程为 求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值6在直角坐标系 xoy 中，直线 I 的参数方程为坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = cos（+ ）（1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M

9、（ x ， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值t 为参数），若以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用专题 ：计算题；压轴题分析：由题意椭圆的参数方程为 为参数），直线的极坐标方程为 将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值解答：解：将 化为普通方程为（4 分）点 到直线的距离（6分） （ 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为 ，最小值为（10 分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程 进行求解，这也是每年高考必考的热点问题考点：参数方程化成普通方

10、程解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为t 为参数），消去 t ，专题 ：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析：（1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即 可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值可得， 3x+4y+1=0 ；由于 = cos（ + ）= （ ）， ），半径为r=圆心到直线的距离 d= = ，=2故弦长为 2=；2）可设圆的参数方程为：为参数），则设 M （则 x+y=，=sin（），），2 2 2即有 2=cos sin，则有 x2+y2x+y=0 ，其圆

11、心为（由于 R，则 x+y 的最大值为 1点评： 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计 算能力，属于中档题7选修 4 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为 （）写出点 P的直角坐标及曲线 C 的普通方程；（）若 Q为C上的动点，求 PQ中点 M 到直线 l：（t为参数）距离的最小值考点专题分参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程坐标系和参数方程1）利用 x= cos， y= sin即可得出；2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式

12、及三角函数的单调性即可得出，解 答：解 （1）P 点的极坐标为点 P 的直角坐标 把 2=x2+y2=3， y=sin代入可得，即 曲线 C 的直角坐标方程为2）曲线 C 的参数方程为为参数），直线 l 的普通方程为 x 2y7=0设 ，则线段 PQ 的中点那么点 M 到直线 l 的距离点 M 到直线 l 的最小距离为 点 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的 评： 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题8在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为参数）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）

13、求圆 C 的极坐标方程；）直线 l 的极坐标方程是 （sin+）=3 ，射线 OM：=与圆 C 的交点为 O ，P，与直线 l 的交点为Q，求线段 PQ 的长考点： 专题 ： 分析：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系直线与圆I）圆 C 的参数方程为参数）消去参数可得： （ x 1） 2+y 2=1把 x= cos， y= sin代入解答：化简即可得到此圆的极坐标方程II ）由直线 l 的极坐标方程是 （sin+）=3 ，射线 OM：可得普通方程： 直线 l ，射线 OM 分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出把 x= cos， y= sin代入化简得： =2cos，即

14、为此圆的极坐标方程（II ）如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 （ sin+）=3 ，射线 OM：解：（ I）圆 C 的参数方程为参数）消去参数可得： （x1） 2+y2=1=可得普通方程：直线 l ，射线 OM联立联立，解得，解得，即 Q 或P点评：识与基本方法，属于中档题两点间的距离公式等基础知9在直角坐标系立极坐标系，曲线xoy 中，曲线 C1 的参数方程为C2 的极坐标方程为sin( +=4 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；2）求得椭圆上的点2）设 P为曲线 C1上的动点，求点 P到 C2上点的距离的最小值，

15、并求此时点P的坐标考点：简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=cos、y=sin，把极坐标方程化为直角坐标方程到直线 x+y 8=0 的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的 的值，从而求得点 P的坐标解答：解：（ 1）由曲线 C1：可得，两式两边平方相加得：即曲线 C1 的普通方程为：由曲线 C2：得：即 sin+cos=8，所以 x+y 8=0， 即曲线 C2 的直角坐标方程为： x+y 8=0到直线 x+y 8=0 的距离为（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆

16、上的点所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。当时， d的最小值为，此时点 P的坐标为 点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值 域，属于基础题10已知直线）求圆心l 的参数方程是C 的直角坐标；=2cos（ + ）考点：简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x ， sin=y ， 2=x2+y 2，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心 C 的直角坐标 （II ）欲求切线长的最小值

17、，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可）由直线 l 上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值解答：解：（I）， ， 圆 C 的直角坐标方程为 ， 圆心直角坐标为5 分）II）直线 l 的普通方程为 ，圆心 C 到直线 l 距离是点评：体会在极坐标系和平面直角直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（10 分）本题考查点的极坐标和直角坐标的互化， 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化11在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，

18、 x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C1的方程为 （4sin）=12，定点 A （ 6， 0），点 P是曲线 C1上的动点， Q为 AP的中点（1）求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）直线 l与直线 C2交于 A，B两点，若 |AB|2 ，求实数 a的取值范围考点 ： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程专题 ： 坐标系和参数方程Q 的轨迹 C2 的分析： （1）首先，将曲线 C1 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围解答： 解：（ 1

19、）根据题意，得曲线 C1 的直角坐标方程为： x2+y2 4y=12，设点 P（x，y）， Q（x，y）， 根据中点坐标公式，得，代入x2+y24y=12，得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为： （x3）2+（y1） 2=4，（2）直线 l 的普通方程为： y=ax ，根据题意，得解得实数 a 的取值范围为： 0 ， 点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、 直线的参数方程， 直线与圆的位置关系等知识， 考查比较综合， 属于中档题， 解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解12在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系 圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为 =4

20、sin ，cos （） =2 已知直线 PQ 的参数方程为tR 为参数），求 a，（）求 C1与 C2交点的极坐标；）设P为 C1的圆心， Q为 C1与 C2交点连线的中点， b 的值考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程专题 ： 压轴题；直线与圆分析： （I）先将圆 C1，直线 C2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可； （II）由（I）得， P与 Q点的坐标分别为（ 0，2），（1，3），从而直线 PQ的直角坐标方程为 xy+2=0 ，由参 数方程可得 y= x +1，从而构造关于 a，b 的方程组，解得 a，b

21、的值解答： 解：（ I）圆 C1，直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4，x+y4=0，得，C1与 C2 交点的极坐标为（ 4，）（II）由（I）得， P与Q点的坐标分别为（ 0，2），（1，3）， 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x y+2=0 ，由参数方程可得 y= x +1，解得 a= 1，b=2点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础 题13在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P（4， 2）且倾斜角为 非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线（）（）的直线；在极坐标系C 的极坐标方程为 =4cos 写

22、出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程； 若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N，求 |PM|+|PN|的取值范围以坐标原点 O 为极点，x轴解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为t 为参数）曲线 C 的极坐标方程 =4cos可化为 2=4 cos把 x=cos，y=sin代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即（ x2）II ）把直线 l 的参数方程为曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N，2=16（ sin+cos） 16> 0， sincos>0，又 0 ，），又 t1+t2= 4( sin+cos)， t1t2=4点评：t 为参数

23、）代入圆的方程可得：22+y =42t +4( sin+cos) t+4=0 |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=，|PM|+|PN|的取值范围是 本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 系， C 的极坐标方程为 =2 sin （）写出 C 的直角坐标方程；t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标考点： 专题 ： 分析：点的极坐标和直角坐标的互化坐标系和参数方程I）由 C 的极坐标方程为 =2 sin化为 2=2，把代入即可得出； 解答：（II ）设

24、 P函数的性质即可得出解：（ I）由C 的极坐标方程为 2=2，化为配方为，又 C=2 sin x2+y2=，=3点评：利用两点之间的距离公式可得 |PC|=，再利用二次II ）设 P，又 C =因此当 t=0 时， |PC|取得最小值 2 此时 P（ 3，0） 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题|PC|=2 ，15已知曲线 C1 的极坐标方程为 =6cos，曲线 C2 的极坐标方程为（）把曲线 C1，C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （ ）求弦 AB 的长度= （pR），曲线 C1， C2相交于

25、A，B 两点考点 ： 简单曲线的极坐标方程专题 ： 计算题分析： （ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1 的直角坐标方程（ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（2 2 2cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得曲线 C2 及曲线3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度解：（ ）曲线 C2：（pR）表示直线 y=x，曲线 C1： =6cos，即 2=6cos 所以 x2+y2=6x 即（ x3） 2+y 2=9）圆心（ 3， 0）到直线的距离）P为直线 l 上一动点，当 P到圆心 C的距离最小时，求 P的直角坐标r=3 所以弦长 AB= = 弦 AB

26、的长度 以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等点评： 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化， 基本方法，属于基础题l 的极坐标方程为16在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线圆 C 的参数方程为为参数， r> 0） ）求圆心 C 的极坐标； ）当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为 3 考点： 专题 ： 分析：解答：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系计算题（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 本关系，消去 可得曲线 C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可 （2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点 最后