(完整版)高数汇总.doc

1、高等数学公式导数公式：(tgx) sec2 x(ctgx) esc2 x(secx) secx tgx (cscx)cscx ctgx(ax)(log a x)a x In a1x In a(arcsin x)(arccos x)(arctgx )(arcctgx )基本积分表：tgxdxIn cosxj CCctgxdx ln| sin x Csecxdx In secx tgxcscxdxdxa xdxx adxa x dx牛IYa xIn cscx ctgx| C1Xarctg caa1 x|a j1In1chi2a .1x a1a xInc2aa xXarcsin_cadxsec2 x

2、dx 9x C2 COS乙 Xdx22 sin x xCSCxdxctgx Csecx tgxdxsecx Cesc x ctgxdxcscx Ca Xdxa2LCIn ashxdxchxCchxdxshxcHx In( x v?x2 a2) CIn2sin n xdx2xdxfl_ In2Xa2dxX =22 a*' 2a2 dxA2a221 2 a乙x2 dx42x2002COSnna2 ln( x2三角函数的有理式积分:2sin x ，cos x 1 u ,1 u21 u2al In2x2 a 2X arcsin_ cdx1 u2-些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx 双曲

3、余弦：chx 双曲正切：thx arshx ln( xarchx ln( x arthx 11IL12 1e心2exe x2shx ex echx ex eV x2 1)三角函数公式:诱导公式：lim sin x 1X 0XHm (1 4)x e 2.718281828459045.XX角A sincostgctg-a-sin acos a-tg a -:tg a90° acos asin a:tg a q! a90° +acos a-sin actg a -:g a180° asin a-cos atg a -(tg a180° +a-sin a-co

4、s atg actg a270 ° -a-cos a-sin aHg a t? a270 ° +a-cos asin actg a -£ a360 ° -a-sin acos a-tg a -:tg a360 ° +asin acos ag actg a和差角公式:和差化积公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg ()1 tgtgctg ()eta1JLCtgCtgsinsin2 sin cos22sinsin2 cos-sin22coscos2 coscos22COSCOS2 sin-sin2 2

5、倍角公式:sin 22 sin coscos22 cos21 1 2sin 2cos2sin2sin 33sin4sin3Ctg 21cos34 cos33 cosctg 22ctgtg33tgtgtg 22tg1 3tg 21 tg半角公式:sin 2tg 21 cossinsin1 coscos 2j cos'2Ctg 2I1 cos1 cossin1 cossin1 cos止弦宦理：JbcRsin Asin B sinC2余弦定理:2 2 2cab 2ab cosC反三角函数性质：arcsinxarccosx2arctgx arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公

6、式:拉格朗日中值定%)柯西中值定理：f(b)f(a)F(a)f(a) f(f()F()(bn(uv) ( n) CnkU (n k)V(k)k 0u(n)v nu(n i)v n(n 1) u(n 2)vn(n 1)( n k 1) iim k)v 依)UV(n)2!k!屮值定理与导数应用：当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds v* 1 y 2 dx,其中y tgMM弧长。M点的曲率：K直线：K 0;lims 0HIsrlk 1/23y )半径为a的圆：KLo定积分的近似计算：aba矩形法：f ( x) b-(yo yiyn 1 )anba11梯形法：f

7、 ( x) A-(y°yn )yiyn Jan2ba抛物线法：f(x)b-(yoyn )2( y2 Y4yn 2 ) 4( yi y3平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量;a3nyn 1 )定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p Amim2引力：F k r2 ,k为引力系数 _b函数的平均值：y f(x)dx b a aI均方根：J f2 (t )dtVb aa空间解析几何和向量代数:空间2点的距离:dMi M22 2 2X2 XI y ( V2 yi )(Z2 zi )向量在轴上的投影：Prju ABAB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr ju ( a

8、i a? ) Pr j ai Pr ja2abab cosclxbxa ybyazbz，是一个数量,两向量之间的夹角:COScabaxbxaybyazbzax 2 aY2 az2 bx 2a b sin例：线速度:ax向量的混合积:abc (abxdybybzcx代表平行六面体的体积平面的方程:1、2、3、点法式：A(x Xo ) 一般方程：Ax ByY截距世方程：ya bB(yCzyo)C (zzo)平面外任意一点到该平空间直线的方程:二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2y2q3、双曲面:by2bz2b*0,其中nc cos ,为锐角时,A, B，C，Mo ( xo，yo，zo )面的距离:

9、C2 1y yoz ZOz (,p, q 同号)2单叶双曲面：百亠1C2z2b2C 2(1马鞍面)2 2双叶双曲面：Xy a2b2Byo* A2 B2t,其中sX xom, n, p;参数方程：y yoz zomtntPt多元函数微分法及应用du Xf X(X, y) XU UUdx dy _ dzy zf y ( x, y) yZZ全微分：dz dx _ dyxy全微分的近似计算：z dz 多元复合函数的求导法:dz z u z v z fu(tXv(t) JT_vTz f u( X, y), v( X, y)当'/、时，uu u(x, y) vv(x, y)uuVdu 一dx dy

10、dvdxxyX隐函数的求导公式：F隐函数 F ( x, y) ,-dyX ,dxFyZF隐函数，F ( x, y, z) 0xFz隐函数方程组：F(",u,v)0G( x, y,u,v)0u_zXVVXVdyyd 2VH +耳dydx2X Fyy fydx匹yFzFFT(F ,G)uVFu FvJ(u,v)GGGu GvuVy L (F ,G) X J (u, x) V L (F ,G) y J (u, y)2(F ,G)XJ( X, v)A(F ,G)yJ(y, v)微分法在几何上的应用:X空间曲线yzX X(t)在点M (xo，yo , zo )处的切线方程：(t)(to)(to

11、 ) (to )(to )( z zo )0在点M处的法平面方程：(to)(x xo) (to )( y yo)若空间曲线方程为:F(x, y, z) 0,则切向量TG ( x, y, z) 0Fy GyFxGxFxGxFyG>曲面 F ( x, y, z) 0 上一点 M(xo,yo,zo),则: 1、过此点的法向量：n Fx(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：:Fx (xo, yo, zo)(x xo) Fy (xo , yo , zo )( y yo )X xoy yoZ ZoFz (xo , yo ,

12、 ZO )( zzo )Fx (xo , yo , zo ) Fy ( xo , yo , zo ) Fz( x0 , yo, z0)方向导数与梯度:ff函数z f(x, y)在一点p( X, y)沿任一方向1的方向导数为:f CCS sin1 xy其中为轴到方向的转角。X1函数 z f (x, y)在一点 p( X, y)的梯度：gradf ( x, y) _Xi _t jtx y它与方向导数的关系是:_，其中e cos i sin j，为方向上的1单位向量。f一是gradf ( x, y)在1上的投影。1(x, y)d(X, y) d多元函数的极值及其求法：对于X轴IxD平面薄片(位于xo

13、y平面)对z轴上质点M平面薄片的转动惯量:(X, y) d(0,0,a), (a对于y轴Iy0)的引力：FX2 ( x, y)dDFx,Fy,Fz ,其中:(x, y) xd3(x, y) ydFzftl(X，y) xd3D(X2 y2a2)2柱面坐标和球面坐称：D(X2 y2a2)2D (x2 y2a2)2设 f x ( xo , yo ) f y ( xo , yo ) 0,令：，yo，yof xx ( xo , yo ) )为极大值 )为极小值 无极值 不确定A, f xy ( xo , yo )AC则：ACACB 2B 2B 2A 0, (xo o时，A 0, (xo0时，0时，重积分

14、及其应用：f (x, y)dxdyf (r cos ,r sin)rdrdDD122曲面z f(x, y)的面积A1ZZdxdyD 1Ixy-MxXD(X, y)dMydB, f yy (xo , yo ) Cy (x, y)d，yM平面薄片的重心：x 皿DDx r cos柱面坐标：y r sin , f ( x，y, z) dxdydz F ( r , , z)rdrd dz, z z其中：F (t，z) f (r cos , r sin ，z)x r sin cos球面坐标：y r sin sinz r cosdv rd r sind dr r2 sin drd df ( x, y, z)

15、dxdydzF (r ,2,)r sin drd11車心：XX dv,yy dv,MM转动惯量：lx(y2 z2)dv,Iy2r(,)dddF (r,)r2sindr00 01zz dv,其中MxdvM(x2 z2)dv,Iz(：x2y 2 ) dv曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f(x, y)在L上连续，L的参数方程为：X(t)侧：y(t)f(x, y)dsf (t),(t)J2 (t)2(t )dt() 特殊情况：x tLy (0第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分):设的参数方程为XL.(t),则:(t)P(x, y)dx Q(x, y)dyL两类曲线积分之间的关P (t)

16、, (t)(t) Q (t), (t)系：Pdx Qdy(P cos Q cos L,其中)ds和分别为上积分起止点处切向量的方向角。 L格林公式：_0_卫)dxdv 。(丿axayFdx QdyD X y,即:X格林公式:E)dxdyy°Pdx Qdyy，QX平面上曲线积分与路径无关的条件:E 时，得到门的面积:2DydxdyDJ-o2lxdy ydx、是一个单连通区域；1 G、,在内具有一阶连续偏导数，且_3=上。注意奇点，如 ,应2 P(x, y) Q( x, y) Gx y(0,0)减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积:在2Xp,=时，Pdx Qdy才是二兀

17、函数u( x, y)的全微分，其中:y(X, y),通常设Yu( x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dyX。 y0 o(xo , y0 )曲面积分:对面积的曲面积分:f (x, y, z)dsf x, y, z( x, y)l zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyD对坐标的曲面积分:'',其中：P(x, y, z)dydz Q(x, y, z) dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z)dxdy,取曲面的上侧时取正号； D Rx, y, z(x, y)dxdyP(x, y, z)dydzQ(x, y, z)dzdxPx( y, z),

18、 y, zdydz,取曲面的前侧时取正号; DQx, y( z, x), zdzdx,取曲面的右侧时取正 号。 Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos Rcos ) ds高斯公式:PR( -Q-)dv o Pdydz Qdzdx Rdxdy o(Pcos Q cos Rcosxy z高斯公式的物理意义散度:div-ay通量与散度：R即:单位体积内所产生的流体质量，若divO,)ds则为消失通量:因此,(P cos Q cosR cos )ds 高斯公式又可写成：div AdvA ndsAndsAndsR QPRQP()dydz)dzdx(

19、)dxdyo PdxQdyy zZXXydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：XyzXyzpQRpQRR关的条件:空间曲线积分与路径无PRdz斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:_P旋度：rotA向量场沿有向闭曲线A常数项级数：zR的环流量：。Pdx QdyORdz A t ds等比数列:等差数列：1调和级数：iJ-3n 1q 1 q(nUnn 2丄是发散的n级数审敛法:根植审敛法(柯西判别法):时，级数收敛时，级数发散时，不确定1时，级数收敛"时，级数发散交错级数U1 U2U3 U4(或U1 U 2 U3,Un 0)的审敛法莱布尼兹定理:、正项级数的审敛

20、法1设：lim丽7，则n、比值审敛法：2设： lim U n i ,则U n时，不确定1、定义法：3Sn U1 U2 Un ； lim Sn存在，则收敛；否则发散。如果交错级数满足Un U J ,那么级数收敛且其和S U1 ,其余项5的绝对值丹Un lo lim un 0!绝对收敛与条件收敛：Ul U2 Un ，其中Un为任意实数；I(2) U1 U2 U3Un如果(2)收敛，贝0(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而收敛，则称 为条件收敛级数。调和级数：I发散，而 4L收敛；nn级数：丄收敛；n21 怡1时发散p级数：n p p 1时收敛幕级数:1 X X2X3xn|x|1时

21、，收敛于一1 X|x|1时，发散,如果它不是仅在原点收敛, R时收敛R吋发散，其中R称为收敛半径。R时不定也不是在全对于级数(3)aoai x a2 x2 an x11/卩数轴上都收敛，则必存在R,使'x0时,求收敛半径的方法：设lim3 nan,其中an, an 1是(3)的系数，则0时，R时，R 0函数展开成幕级数：，f (X )/、函数展开成泰勒级数： f ( x) f (xo )( x xo )0 (x XO)22!T " )(X0)( Xxo) n!f(n()余项：Rn(X X0 )n I,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：UmR(n 1)!nf (0)，f(

22、n) (0) nxo 0时即为麦克劳林公式：f ( x) f (0)f ( 0) xxX2!n!一些函数展开成幕级数：(1 x) m1 mx m(m 1) x m(m 1)xn(1x1)2!n!( 1)«?nsin x xIX1(x)3!5!(2n1)!欧拉公式：ixCOSXj cosx i sin x或eix2sin x2三角级数：f(t) AoAn sin( n tj(an cosnx bn sin nx)n 12n 1其中，aoa Ao, an An sin n, bnAn COS n,tXo正交性：任意两个不同项的乘积1, sin x,cos x,sin 2x, cos2x

23、sin nx, cosnx 上的积分=0。傅立叶级数:f(x)ao2 n(an cosnx bn sin nx),i周期 2f(x)cosnxdx(n0,1,2 )其中bnf ( x)sinnxdx1,2,3 )11 321225214262正弦级数:0,bn余弦级数:bn0,an22 3242f ( x) sin nxdxf (x) cosnxdx0周期为21的周期函数的傅立叶级数:2(相加)62 (相减)12123f(x)f(x)aobn sin nx是奇函数an cosnx是偶函 数f ( X) 时 (an COS 44节 bn sin),周期 212n1 11n xanf ( x) cosdx(n0,1,2 )其中1 111n xbn4f (x)s indx(n1,2,3 )1 11微分方程的相关概念：一阶微分方程:y f (x, y)或P(x, y)dxQ(x, y)dy 0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为的形式，解法:g ( y)dy f (x)dxg ( y) dy f ( x)dx 得:G( y) F (x) C 称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程