角平分线的性质典型例题

1、【典型例题】例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ;（2） BO BC （要求：不用三角形全等判定）.分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平 分线上的点，由此可打开思路.证明：（1）vZ C=Z C = 90° （已知）， ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）.又 AO AC （已知），点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线 上）. / ABC=Z ABC.（2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, 180&

2、#176; （/ C+Z ABC = 180° （/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理） 即/ BAC=Z BAC, ACL BC, ACL BC, BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用， 但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.例 2.女口图所示，已知 ABC中, PE/ AB交 BC于 E, PF/ AC交 BC于 F, P是 AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由.A分析：判定一条射线是不是一个角的平分线

3、，可用角平分线的定义和角平分 线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用 平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证.解：AD平分Z BAC D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在Z EPF的平分线上. Z 1 = Z 2.又 PE/ AB / 1 = Z 3.同理，/ 2二/4./ 3=Z 4,二 AD平分/ BAC评析：由角平分线的判定判断出PD平分/ EPF是解决本例的关键.“同理” 是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.例3.如图所示，已知 ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平 分/ BAC请说明理由

4、.由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.解：AP平分/ BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D. BM是/ABC的角平分线且点 P在BM上， PD= PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理 PF= PE,a PD= PF. AP平分/ BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角 的平分线上的P点处，距公路400m现分别以公

5、路、铁路所在直线为 x轴、y 轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是4oom点p在第四象限，求点p的坐标时要注意符号.解：（1）v点p在公路与铁路所夹角的平分线上，点p到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点p到公路的距离是4oom点P （学校）到铁路的距离是400m（2）学校所在位置的坐标是（400， 400）.评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在 ABC中，/ C= 90°, AOBC, DA平分/ CAB

6、交BC于D, 问能否在AB上确定一点巳使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E, 并给出证明；若不能，请说明理由.分析：由于点D在/ CAB的平分线上，若过点D作DEL AB于E，则DE= DC于 是有BD+ DE= BD+ DC= BO AC,只要知道AC与 AE的关系即可得出结论.解：能.过点D作DEIAB于丘，则厶BDE勺周长等于AB的长.理由如下： AD平分/ CAB DCL AC, DEL AB DC= DE在 Rt ACD和 Rt AED中, Rt AC坠 Rt AED( HL). AO AE又 AO BC,二 AE= BC. BDE的周长=B» DE BE= B» DC+ BE= BC BE= AE BE= AB.评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论， 寻找与要解决 的问题之间的联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化. 这是初 中几何中常用的一种数学思想.【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结 论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟 悉了，