第十四章整式的乘除与因式分解教材分析

1、4第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于课程标准中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等 式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础， 同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学 段占有重要地位。2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：|现实世界、其他学科、数学中的问题惜境L幕：同底数幕的乘法、冨的乘方、积的乘方r单项式乘以单项式j I整式乘除运算一-多项式窄以单项式|分配眸-多项式乘以多项式

2、乘法公式*平方差公式L幕：同底数需的除法、零指数完全平方公式整式除法-单项式除以单项式j分配诽多项式除以单项式L因式分解的倉义因式分解一L提公因式法因式分解的方法一公式法从上 面 可 以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运 算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要 转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幕的运算与有理数的运算，因此幕的运 算是学好整式乘除的基础。3、教学目标课程标准目标人教材具体目标目标1:了解整数指数幕的意义和基本 性质，会进行简单的整式乘法运算 （其 中的多项式相乘仅指一次式相乘）目

3、标1:掌握正整数幕的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言 正确地表述这些性质，并能 运用它们熟练地进行计算掌握单项式 乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘 多项式的法则，并运用它们进行计算目标2：会推导乘法公式：（a+b）（a- b）=a2- b2； （a+b）2=a2+2ab+b2， 了解公式的几何背景，并能进行 简单 计算目标2:会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算目标3:会用提公因式法、公式法（直 接用公式不超过二次） 分解因式（指 数是正整数）.目标3:理解因式的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的 变形，掌握提

4、公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步骤，能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解 目标4:掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算目标解析：解析每个目标 目标1中课标对整式乘法运算的要求 其中的多项式相乘仅指一次式相乘， 是对多 项式与多项式相乘的难度作一个要求。 目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们 注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导 公式。 目标3中，课标要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超

5、过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十 字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情 况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义， 了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的 自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法一一提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了 “十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想， 培养学生认真观察、

6、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力， 使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议 老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 课标总目标与人教材具体目标整体要求偏低 ，建议从两个方面把握： 课标是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但课标是同一个，从中考角 度讲，中考内容一定不能超出课标要求的范围，因此应以课标为准绳把握教学目标。 课标是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段 应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不 同层次的教学目标。4、

7、本章教学重点、难点本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活 应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。5、课时安排本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）：15.1整式的乘法4课时15.2乘法公式2课时15.3整式的除法2课时15.4因式分解3课时数学活动小结2课时6教学要求 基本要求-会识别、能计算：经历幕的运算性质、整式的乘法法则、乘法公式的探索过程，能够进行简单的整式乘法 运算(特别是利用乘法公式进行计算)掌握三个对象以内的数字指数的幕的运算，如：a a2 (a2)3掌握可转化为幕的运算的数字简单问题，如：272 34掌握三个以内单项式的乘法

8、运算，如：-3ab2 2a3b (_2ab)2掌握一个单项式与一个二项式的乘法运算，如：3x2y (2xy2 -3xy)掌握两个一次二项式的乘法运算(特别是应用乘法公式的)，女口： (x+3)(x _2); (a +2b)(a _2b); (3m _n)经历整式除法法则的探索过程，会进行简单的整式除法运算理解因式分解的意义，感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形掌握因式分解的方法提取公因式法和公式法(直接使用公式不超过两次)并能熟练地运用这些方法进行简单的因式分解.略高要求-会运用性质解决相关问题能灵活地运用三个幕的运算性质进行计算，并能弄清各性质之间以及它们与合并同类项 之间的区别与联系.能

9、根据运算性质、法则进行整式的加、减、乘、除、乘方较简单的混合运算能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.如: 415X 0.2515= (4X 0.25) 15=,;(利用乘法交换律和结合律，逆用积的乘方性质简化运算) 98X 102= (100-2)X( 100+2)=,;1022= (100+2) 2=,.(利用乘法公式将数的运算简化)能综合运用两个乘法公式进行计算，并把公式推广到三个数的情况.女口： P155 例 5:运用乘法公式进行计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c) 2体会代数与几何图形之间的联系，能用几何图形解释代数恒等式，从中体会数学的整体 性.如平方

10、差公式和完全平方公式.较高要求-知识的灵活应用能够逆用幕的运算性质进行简化计算.女口： P164第7题：若2m=a , 32n = b,则23m+10n =.(用a、b的代数式表示)会逆用乘法公式解决问题.女口： P171第9题：若4y2 +my +9是一完全平方式，求 m值.2 + 2女口 ：已知x-y=-10，求x -xy的值.(可以整体代入)2能够综合应用本章的知识适当进行等式的恒等变形.女口： P157 第 7 题：已知 a+b=5，ab=3,求 a2 +b2 的值.女口：已知x+5y=6 ,求x2+5xy+30y的值.(利用因式分解，两次整体代入) 女口：在(x2+ax+b)(2x2

11、-3x-1)的积中，x3项的系数是-5，x2项的系数是-6，求a，b的值.(求待定系数的值)知道在实数范围内分解因式.如P172 11.(无特别说明都是指在有理数范围内分解因式) 7、教学建议把握教学要求，重视 “过程”的教学为减轻学生负担，培养学生的创新精神和实践能力，新的课程标准中对于那些对后续学 习意义不大、学得很早但用得很晚，以及过繁过难的内容进行了删减或降低要求。教学中要 注意准确把握教学要求，避免将删掉或降低难度的内容重新拣回。本章整式乘除的运算性质、 除法运算性质、乘法公式的得出过程， 一般都是从数的运算， 归纳得到式的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程。在性质

12、和公式发 生过程的教学中， 要重视上述归纳的过程教学， 使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式。 应是学生在理解的基础上加以记忆，在运用的基础上予以巩固。改变教学方式，加强学生的自主活动教材中安排了大量的“探究”和“思考”栏目，以“观察归纳 类比概括”为主要线索呈现运算法则的探索过程。在探索活动中体会整式运算的规律，教学中应注重学 生对算理的理解，能够合理安排运算顺序，寻找简捷的运算途径，有意识地培养学生的推理 能力和表达能力。在本章教学中，可以通过设置合理的问题情境，引导学生观察、思考、探究和归纳；通 过设置恰当数量和难度的符号运算， 促进学生对算理的理解和基本运算技能的掌握； 通过“探 究

13、”栏目，让学生体验获得结论的过程，获得成功的喜悦和信心；通过“思考”栏目可以拓 展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。在学习活动中要充分信任学生，努力发挥 他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思 考，善于思考，是学好数学的先决条件。渗透思想方法，注意数学知识间的内在联系本章主要涉及的数学思想方法有： 转化思想、数形结合思想、 类比思想、分类讨论思想、 一般到特殊再到一般的基本数学思想等。“转化思想”的使用在本章中极为突出。例如多项式的乘除法都是先转化为单项式的乘 除，再转化为有理数的乘除与同底数幂的乘除法。 由此可以看出， 在整式的乘除法的学习中， 只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用转化方法的前提下，才能够 顺利地取得较好的效果。在教学中，还要注意代数与几何之间的内在联系。数形结合，实际上就是抽象与直观的 结合。在以运算为主的“整式的乘除”一章中，抽象的运算公式、性质和法则借助于图形， 就可以直观地反映它们的含义，揭示它们的本质，便于学生理解，增强记忆效果。比如教材 在介绍单乘多、多乘多、平方差公式、完全平方公式时，都是先通过计算，得出用符号语言 表达的法则，然后用文字语言加以概括和总结，最后用图形语言给出直观解释，将文字、符 号、图形这三种数学语言的有机结合，有利于